碳限额与交易政策下变质品的联合定价和库存策略

2020-08-21江文辉王亚娜李延来

计算机集成制造系统 2020年7期

江文辉,王亚娜，李延来+,徐菱

(1.西南交通大学交通运输与物流学院，四川成都 611756;2.西南交通大学综合交通运输智能化国家地方联合工程实验室，四川成都 611756)

0 引言

变质品在日常生活中随处可见，如水果、蔬菜、肉类、牛奶等食物以及药品、挥发性液体等。由于仓储设施、保鲜条件、产品特性以及外界环境等因素的客观存在，产品的变质现象不可避免，最终导致产品无法实现其预期目的而失去价值。据报道，商品的变质使美国零售业每年损失约300亿美元[1]。因此，对变质品实施有效的库存控制，对于提高企业利润水平和减少资源浪费具有重要的意义。

Ghare等[2]基于常数变质率和常数需求率首次提出了变质品的库存模型。随后，Covert等[3]和Tadikamalla[4]将常数变质率拓展到时变情形，Shah[5]又将模型拓展到缺货情形。但是大多学者对变质品库存建模都假定产品的需求率为常数且规划时域无限，而实际上产品具有生命周期的特性，在产品的导入期、成长期、成熟期和衰退期，其需求随时间不断变化。此外，随着时代的发展和科技的进步，产品的流行趋势不断变化、更新速度不断加快，导致很多产品的生命周期越来越短，如时尚类、季节性产品和电子产品等，其规划时域或销售周期一般都是有限的。因此，探讨时变需求下有限规划时域内变质品的库存控制问题具有重大的现实意义。Dave等[6]首次探讨了有限规划时域内线性时变需求和常数变质率的库存问题;随后，Sachan[7]又将文献[6]的模型拓展到允许缺货情形，但他们的模型均假定零售商进行等周期补货。Hariga[8]进一步松弛了等周期补货的假设，并证明了最优补货策略的唯一性，模型同样允许短缺，但短缺量将被全部延迟订购;Teng等[9]考虑短缺量部分延迟订购，对文献[8]的模型进行了推广;罗兵等[10]考虑需求率和采购价格均随时间变化，探讨了有限规划时域内零售商进行等周期补货情形下的库存控制问题;Chern等[11]和Gilding等[12]考虑了通货膨胀和时间价值、Palanivel等[13]考虑了非瞬时变质产品，分别对上述模型进行了拓展; Wu等[14]针对梯形时变需求环境，探讨了有限规划时域内两仓库系统的库存策略，模型假定变质品有时变变质率且短缺量部分延迟订购，相关研究还有文献[15-16]。

除时间因素外，价格作为影响需求的又一重要因素不容忽视。Chen等[17-18]使用动态规划技术研究了有限规划时域内变质品最优定价和订货策略;Hsieh等[19]考虑通货膨胀和时间价值，假设需求同时受时间和价格影响，构建了一个有限时域内变质品的定价和订购模型;Dye等[20-21]引入商业信用的概念研究了不同情形下有限规划时域内的定价和订货策略，并利用粒子群算法求解问题;段永瑞等[22]假设有限规划时域内制造商进行等周期生产与销售，且市场需求同时线性依赖于时间与价格，分别讨论了需求随时间增大和减小两种情形下的变质品联合生产与定价策略;Dye等[23]引入参考价格的效应，假设需求同时受时间、价格和参考价格的影响，研究了有限规划时域内变质品的联合定价和订购策略，模型假定零售商进行等周期补货且不允许缺货;Wu等[24]考虑某变质品在其整个生命周期内的需求随时间变动状况满足梯形函数，探讨了梯形时变需求下的订购和定价策略。

虽然上述研究成果为企业解决有限规划时域内变质品的定价和库存策略提供了很好的参考，但是随着全球气候逐渐的变暖，温室效应的加剧，许多国家相继出台了相关法律，以限制二氧化碳等温室气体的排放。我国作为制造业大国，一直致力于降低二氧化碳的排放，相继颁布了相关政策。如2013年在北京、天津、深圳等7个省市启动了碳排放权交易市场，2014年发改委发布《国家应对气候变化规划(2014-2020年)》，提出将继续深化碳排放权交易试点，加快建立全国碳排放交易市场。企业作为二氧化碳排放的主体，在碳政策的实施过程中扮演着重要的角色，碳政策约束下其经营决策环境和运营目标也将发生变化。因此，基于碳政策下企业的库存控制问题又是一个崭新的课题。碳限额与交易政策是目前实施效果最为显著、应用最广的一种碳政策。该政策下，碳排放权被当作是可供买卖交易的商品，当企业的实际碳排放量超过碳限额时，可以通过购买碳排放权维持其生产运营；反之，则可以售出剩余的碳排放权，获得额外收益。Hua等[25]在碳限额与交易机制下对传统经济订货批量(Economic Order Quantity, EOQ)模型进行拓展，考虑订货、存储、生产过程中的碳排放，构建了包含交易成本的EOQ模型，并分析了碳限额和碳交易价格对零售商订货量、订货成本和碳排放量的影响;Chen等[26]利用EOQ模型框架对比分析了不同碳政策(碳限额、碳税、碳抵消、限额与交易)对零售商订购决策的影响，相关研究还有Benjaafar等[27]、蓝海燕等[28]、戢守峰等[29]、张李浩等[30]。上述文献均以非变质品为研究对象，而Dye等[31]首次考虑了碳限额与交易政策对变质产品库存模型的影响，构建了以无限规划时域内企业平均利润最大化为目标的库存模型，模型允许缺货且短缺量部分延迟订购。基于有限规划时域内等周期补货，柏庆国等[32]构建了碳限额与交易政策下变质品的库存优化模型，并给出了零售商实现高利润和低排放的条件，模型假设需求率为常数且不允许缺货;柏庆国等[33]又进一步考虑变质品的销售价格随时间变动和货栈存储空间有限的现实情形，以有限规划时域内总利润最大化为目标分别构建了碳限额与交易政策和碳税政策两种情形下的库存优化模型。但以上文献均未涉及时变需求和定价决策。

综上所述，考虑碳限额与交易政策这一现实背景，针对有限规划时域内变质品的联合订购和定价问题尚鲜有学者探讨。鉴于此，本文考虑一个允许缺货且短缺量部分延迟订购的变质品库存系统，假定产品需求同时受时间和价格影响，以总利润最大化为目标构建碳限额与交易政策下零售商的联合定价和库存优化模型，以为零售商解决有限规划时域内最优订货次数、最优订货时间点以及每个订货周期的最优销售价格的问题。本文的主要贡献在于：

(1)对比当前有限规划时域内变质品的联合定价和库存优化模型，本文探讨了碳政策对零售商库存和定价策略的影响。

(2)引入定价决策，并同时考虑缺货、零售商可以进行非等周期补货等现实情形，拓展了当前碳政策下的库存优化模型。

(3)结合EOQ模型的相关性质和Nelder-Mead算法设计了一个寻找最优解的两阶段迭代算法；同时对比了考虑碳政策和无碳约束两种情形下零售商的最优策略，并分析了碳政策对零售商库存与定价策略的影响，获得了一定的管理启示。

1 假设和符号说明

1.1 基本假设

(1)考虑有限规划时域H内单一变质产品的库存系统，订货提前期为零。

(2)产品的变质率为常数，在整个规划时域H内，已变质产品立即离开库存系统不会被修缮或补充。

(3)每个订货周期内允许缺货且短缺量延迟订购，并假定消费者延迟订购率是关于等待时间x的非增函数β(x)，且满足0≤β(x)≤1。

(4)市场需求率g(t,p)是关于价格和时间的函数，即g(t,p)=α(p)f(t)。在规划时域H内f(t)非负，α(p)是关于价格p的任意非负、连续、递减的凸函数。此外，假设pα″(p)+2α′(p)<0，即收益率函数pα(p)是关于p的严格凹函数。

(5)在碳限额和交易政策下，当零售商的碳排放量大于碳配额时，零售需要购买一定的碳排放权，即支付超额碳排放成本；反之，零售商可以出售一定的碳排放权获得额外收益。

1.2 符号定义

2 模型构建

本文基于碳限额与交易政策，探讨有限规划时域内变质品的联合定价和库存问题。如图1所示，有限规划时域H内，零售商可以进行n次非等周期订货来满足相应订货周期内的需求，第i(i=1,2,…,n)个订货周期的开始时刻为si-1且库存水平为0，时间段[si-1,ti]为缺货时期。由于库存缺货，到达的需求将发生部分延迟订购，时间段[ti,si]为库存持有时期，该时期由于市场需求和产品变质的共同作用导致产品库存水平不断下降直至在si时刻库存水平下降为0，零售商在ti时刻需要向上游供应商订购qi单位的产品用来满足第i周期内的总需求。

具体地，在第i个订货周期的库存持有时间段[ti,si]内，市场需求和产品变质的共同作用使得库存水平不断减少，直至在si时刻降低为零，满足如下微分方程：

I′(t)=-α(pi)f(t)-θI(t),ti≤t≤si。

(1)

利用边界条件Ii(si)=0,i=1,2,…,n，可求解上述微分方程为：

(2)

同理，在第i个订货周期的缺货时间段[si-1,ti]内，需求的延迟订购导致库存水平的不断下降，可以用如下微分方程来描述这一变化过程：

I′(t)=-β(ti-t)α(pi)f(t),si-1≤t≤ti。

(3)

利用边界条件Ii(si-1)=0,i=1,2,…,n，求解上述微分方程为：

(4)

利用式(3)和式(4)，可以求得第i个订货周期[si-1,si]内的累积库存持有量CIi和订购量qi分别为：

f(t)[eθ(t-ti)-1]dt，

(5)

f(t)eθ(t-ti)dt。

(6)

由此可知，在第i个订货周期[si-1,si]内，各成本要素和收益构成分别如下：

(7)

定义X=C-E表示有限规划时域内库存系统的总碳排放量和碳配额的关系。X>0表示库存系统的碳排放量小于碳配额;X<0表示库存系统的碳排放总量大于碳配额;X=0表示库存系统的碳排放总量等于碳配额。进而可利用cpX描述零售商在碳限额与交易政策下支出(获得)的额外成本(收益)。

综上所述，在整个有限规划时域[0,H]内库存系统的总利润

SCi-LCi-DCi)+cpX。

(8)

式中：p={p1,p2,…,pn};s={s1,s2,…,sn-1};t={t1,t2,…,tn}。特别地，当cp=0时，上述模型将退化为无碳约束下变质品的联合定价和库存优化模型。注意到目标函数TP(n,s,t,p)中含有整数变量n，本文将采用两阶段优化方法求解此类问题。在第一阶段，对于任意给定可行的订货周期次数n，最大化目标函数TP(s,t,p|n)求解最优定价策略p*和最优订货策略s*,t*；在第二阶段，设计迭代算法求解最优订货周期次数n*。一阶段中对于任意给定可行的补货周期次数n，有限规划时域[0,H]内库存系统的规划问题可以描述为

maxTP(s,t,p|n)；

(9)

s.t.

si-1

s0=0,sn=H,

i=1,2,…,n。

(10)

其中：式(9)为目标函数；约束条件式(10)表示相应决策变量的取值范围，这里pu为定价决策的价格上限。此时，规划问题的目标函数中不再含有离散的整数变量n，但是仍含有3n-1个决策变量和2n个约束条件，因此不可能求出问题的解析解。

Nelder-Mead算法[34]作为一种非线性优化问题的直接搜索算法，无需目标函数的任何导数信息，本文将利用Nelder-Mead算法求解上述规划问题。

3 模型求解

3.1 Nelder-Mead算法的基本原理

Nelder-Mead算法的主要思想是：对于含有N个决策变量的最小化问题minF(x1,x2,…,xN)，通过构造单纯形来逼近问题的最优解，每构造一个单纯形，确定其使目标函数值最大的顶点和最小的顶点，然后通过反射(refection)、扩张(expansion)、收缩(contraction)和压缩(shrink)4项操作构造新的单纯形，最终单纯形将逼近问题的最优解。算法具体步骤描述如下：

步骤1输入参数α,γ,ρ和σ，分别表示反射、扩张、压缩和收缩系数，各自的取值为α=1,γ=2,ρ=σ=0.5。

步骤3反射。计算点xN+1的反射点xr=x0+α(x0-xN+1)，如果反射点xr的函数值F(xr)满足F(x1)≤F(xr)≤F(xN+1)，用反射点xr代替xN+1，然后进行下一轮迭代。

步骤4扩张。若反射产生了新的最小值，即F(xr)≤F(x1)，则对反射点进行扩张操作，生成产生新的顶点xe=x0+α(x0-xN+1)；若F(xe)≤F(xr)，则用扩张点xe代替最差点xN+1，否则扩张失败，并用xr代替xN+1，然后返回步骤3。

步骤5收缩。若F(xN)≤F(xr)≤F(xN+1)，用xr代替xN+1并进行收缩操作；若F(xr)≥F(xN+1)，则不用xr代替xN+1，而是直接进行收缩操作，具体收缩点计算公式为：xc=x0+ρ(xN+1-x0)；若满足F(xc)≤F(xN+1)，则用xc代替xN+1，然后返回步骤3。

步骤6压缩。对于在步骤5中产生收缩点xc，若满足F(xc)>F(xN+1)，则表明收缩失败，需要进行压缩操作。对于单纯形的每个顶点(最优点x1除外)进行如下压缩操作：xi←σxi+(1-σ)x1,i=2,3,…,N+1，然后返回步骤3，重新计算每个顶点的函数值，再进行下一轮反射、扩张、压缩和收缩操作。

3.2 最优定价策略和最优补货策略的求解

Nelder-Mead算法在求解优化问题时具有很强的寻优能力，且不需要目标函数的任何导数信息，但它对搜索初始点的选取要求也很高。因此，本节将首先给出一种生成初值点的方法。

i=1,2,…,n。

(12)

证明对总利润函数TP(p|s,t,n)求关于pi,i=1,2,…,n的二阶导数，

(13)

i=1,2,3…,n,j=1,2,3…,n。

(14)

由式(13)和式(14)可构造TP(p|s,t,n)关于pi,i=1,2,…,n的黑塞矩阵

由定理1可知，对于给定的0=s0

maxTP(s,t|n)；

(15)

s.t.

si-1

s0=0,sn=H,

i=1,2,…,n。

(16)

(17)

其中Δ为扰动因子，通常Δ=0.05。如前文所述，Nelder-Mead算法通常是用来求解无约束最小优化问题，因此需要利用罚函数法对式(15)和式(16)进行转化，结果如下：

(18)

式中：μ是罚因子，为足够大的正整数。进而求解规划问题(15)和(16)等价于求解式(18)的最小化。

算法1确定零售商的最优订购与定价策略。

步骤1初始化生成由2n个顶点构成的初始单纯形x0。

步骤2计算每个点处的目标函数值TP(xi),i=1,2,…,2n。

步骤3回顾3.1节所述Nelder-Mead算法基本步骤，对x0实施反射、扩张、压缩和收缩4项操作。

3.3 最优订货周期次数的求解

设计迭代算法求解最优订货周期次数n*，参考经典缺货情形下EOQ模型的相关性质和文献[11,19,21-22,31-32]的处理方法，首先对最优订货周期次数n*的搜索初始值进行近似估计，以避免搜索的盲目性。由3.2节可知，对于允许缺货且缺货部分延迟订购下的变质品库存系统，单位产品的库存成本和缺货成本可以分别表示为ch+θ(cv+cd)和β(1)cs+[1-β(1)](p-cv+cl)，代入经典缺货情形下EOQ模型计算公式可得到最优订货周期次数n*的估计值为：

(19)

综上所述，可给出求解最优订货周期次数n*的算法(算法2)，具体求解步骤如下：

算法2确定零售商的最优订货周期次数。

4 算例分析

考虑3种不同的时变需求函数，本章将给出3个不同算例来分析碳限额与交易政策下变质品的最优定价和库存策略，并验证本文所给出求解算法的有效性。此外，本文也将求解无碳约束下零售商的定价和库存策略,并与碳限额与交易政策下的最优策略作对比。所有算例的求解过程将利用MATLAB软件完成。

表1 两种情形下零售商的最优策略(算例1)

同理求解算例2可得：在碳限额与交易政策下的零售商的最优订货周期次数，最优订购量和最大利润分别为4，266.47,2 081.30，无碳约束下零售商的最优订货周期次数，最优订购量和最大利润分别为6，324.95,1 904.68。两种情形下零售商的最优定价策略、最优补货策略如表2所示。图4和图5分别给出了两种情形下的库存运作系统。

表2 两种情形下零售商的最优策略(算例2)

求解算例3可得：在碳限额与交易政策下的零售商的最优订货周期次数，最优订购量和最大利润分别为4，1 491.64,20 228.00，无碳约束下零售商的最优订货周期次数，最优订购量和最大利润分别为7，1 734.51，19 651.39。两种情形下零售商的最优定价策略、最优补货策略如表3所示，图6和图7分别给出了两种情形下的库存运作系统。

表3 两种情形下零售商的最优策略(算例3)

由上述3个算例的计算结果，可以得到如下结论：

(1)对于3种形式的时变需求函数，在碳限额与交易政策下，零售商的最优订购周期次数、最优订购量和总的碳排放量均小于无碳约束下零售商相应的最优订购周期次数、最优订购量和总的碳排放量；但零售商在碳限额与交易政策下的最优定价高于无碳约束下的定价。易知，在考虑碳约束情形下，单位产品的成本(包括采购成本和库存持有成本)有所增加，此时零售商必定会增加其零售价格，而价格的增加将导致需求的减少，零售商也会减少其订购量和订购频率。可见，零售商在碳政策下的定价和库存策略已发生改变，需要及时做出相应的调整。

(2)在碳政策下，当零售商的碳排放总量大于碳配额时，零售商获得的利润将不大于无碳约束下可获得的利润，反之，零售商获得的利润将不小于无碳约束下可获得的利润。这是因为当碳排放量大于碳限额时，零售商需要支付额外成本购买一部分碳排放权来维持其运营，结果将导致零售商的利润受损。相反地，当碳排放量大于碳限额时，零售商可以通过出售剩余的排放权获得额外收入。

进一步，由上述结论可知，采用碳限额与交易机制的碳政策，一方面给予企业选择购买或出售碳排放权的机会，提高了企业对碳排放管理的灵活性，另一方面也赋予政府制定碳配额的权力，从而实现了对企业碳排放的限制管理，达到保护环境的目的。此外，注意到在碳限额与交易政策下，企业的利润受初始碳配额的影响较大，因此，政府只有制定合理的碳配额政策，才能有效地激励企业进行低碳经营，形成政府和企业双赢，最终实现社会、环境的和谐与可持续发展。

下面将对相关参数进行灵敏度分析。保持其他参数取值不变，每次仅改变指定参数的取值，变化幅度分别为增加(减小)15%、增加(减少)30%和增加(减少)50%。表4～表6所示为3个不同算例的相关参数取值变化对零售商最优订货周期次数、最大利润TP和碳排放总量E的影响。

表4 相关参数的灵敏度分析(算例1)

表5 相关参数的灵敏度分析(算例2)

表6 相关参数的灵敏度分析(算例3)

由表4～表6的计算结果可知：

(1)当库存成本参数θ、ch、cs、cl增加时，总利润TP将随之减少。显然，θ、ch、cs和cl均为库存系统的成本结构参数，对利润具有负效应，其取值的增大必定带来利润的损失。

(3)当参数θ和ch增加时，零售商将通过降低其库存持有量来同时减少产品的变质成本和库存持有成本，进而减少利润损失，而较低库存持有量又产生较少的碳排放，因此总碳排放量E将随θ和ch增加而减少。相反，当参数cs和cl增加时，零售商需要支付较大的缺货代价，因此，零售商有动力增加其库存持有量，最终导致碳排放总量E逐渐增加。

5 结束语

近年来，“低碳生活，保护环境”已成为社会可持续发展的主题，同时政府部门也在不断加强对企业生产与经营活动的管理，并相继出台了一系列的碳政策来限制二氧化碳等温室气体的排放。碳限额与交易政策是一种以市场为基础的减排政策，在有效管控企业碳排放的同时，也将影响企业的生产/库存策略和定价策略。基于此，本文在碳政策下探讨了有限规划时域内变质品的联合定价和库存问题。