面向支撑力分布的桁架结构设计方法

曹 浩，莫 蓉，万 能

(西北工业大学 机电学院，陕西 西安 710072)

0 引言

桁架结构是在飞机、船舶、空间飞行器等产品中被广泛使用的基础结构。为满足日益严格的设计条件，桁架结构日趋复杂。因此桁架结构的优化设计既是重要的研究课题，也是工程人员面临的现实问题[1-3]，对桁架结构的优化设计进行研究十分必要。

最早关于桁架优化问题的讨论出现在1904年，Michell[4]提出了实现最轻桁架结构的条件，即Michell准则,满足该准则的桁架称为Michell桁架。由于使用解析法求解Michell桁架较难实现，Dorn等[5]引入数值方法实现了桁架结构的拓扑优化，即基结构法。在此基础上，Rozvany等[6-7]结合优化准则法[8]提出优化布局理论，以实现桁架结构尺寸、形状及拓扑的综合优化。文献[9-10]在后续的研究中针对多种复杂工况与优化目标进行了探讨。此外，学者们针对特殊优化目标的桁架优化问题也进行了讨论，如文献[11-12]针对具有各向异性力学特性的复合材料构建的桁架结构进行的参数优化分析。随着现代优化算法的发展，启发式算法也被引入这一领域[13-14]，如Degertekin[15]基于改进和谐搜索算法实现桁架结构尺寸优化；Li等[16]使用改进粒子流算法实现了桁架形状与尺寸的优化。这些启发式算法非常适用于无法用函数明确表示设计变量与优化目标关联的情形，因此在桁架优化设计中得到了大量应用。此外，Kulkarni等[17]使用复杂网络动力学中多代理系统求解优化桁架结构；Beghini等[18]使用图式静力模型评估桁架结构各部件状态，并以之实现桁架结构的优化设计。

上述研究使桁架结构优化设计与实践都取得了很大进展。但当前对桁架结构优化的研究主要关注其轻量化与制造经济性，更多目标设计优化的研究仍有待完善，其中包括对有支撑力分布要求的杆系结构设计。

桁架结构的支撑力分布在许多问题中都具有实际意义。在一些桁架式夹持工装以及某些建筑支承桁架的设计中，其约束位置的支承力不仅要求能够满足桁架结构的强度要求，还必须实现特定支承力分布以实现一种功能性的压力输出。如桁架式塔吊会由于某支撑点位于薄弱区域而要求在该处的支撑力不能大于特定值。此外，在许多复杂曲面如大型顶棚以及桥梁的支撑桁架设计中，也需要合理的支撑力分布规划。然而，当前对以支撑力分布为目标的桁架设计的研究并不充分，现有方法主要将支撑力分布视作一个总体成本目标或稳定性目标[9，19]，在其他类似领域针对支承力进行优化的方法，则主要采用运动校核与满应力法[20-21]。而桁架结构通常处于静态工况，且特定支撑力条件下结构通常不是满应力的，因此这些方法并不适用于满足支撑力分布目标的桁架结构优化设计。此外，外部施加力对桁架在固定点处产生的支撑力有很大的影响，因此在桁架设计中也应该将其作为重要的影响参数进行考量，而当前对外部施加力的研究主要集中于确定结构条件下外部施加力自身的优化，缺少对外部施加力与结构优化问题相结合的研究[23]。综上所述，需要研究考虑桁架结构与外部施加力因素实现特定载荷分布的设计方法。

为此,本文提出一种面向桁架结构支撑力分布为设计目标的优化设计方法。该方法以最小化实际支承与设计目标之间误差为设计目标，将力学求解与启发式算法相结合，首先由刚度方程推导出一种搜索方向求解算法，再以该方向与启发式算法相结合进行优化搜索。本方法可以求解满足特定支撑力分布条件的桁架结构，并计算出相应的外部施加力条件，从而帮助设计人员精确实现相应的产品设计，避免冗长的经验试错过程。

1 面向支撑力分布的设计问题建模

(1)

为简化计算，以平方形式替代式(1)中的绝对值形式，则本设计目标可以表示为式(2)的形式，从而将设计目标转化为一个优化问题。

(2)

式中：p为实际支撑力分布与期望分布之间的均方偏差；wi为第i个被约束DOF处支撑力的权重因子。该权重因子表达了该点处的支撑力在期望中的重要程度，权重取值总和为1。权重的选择依据工业实际给出，对于具有明确数值要求的支撑力，其权重因子取较大值，应不小于0.7；对其余数值要求不明确的支撑力，其权重因子取较小值。

该目标函数的约束条件包括桁架的约束条件，在式(3)中以约束自由度集合中所有元素位移u均为0表示。

ui=0,i∈S。

(3)

此外，桁架中的应力σmax也不应超过最大许用应力σ，

σmax<σ。

(4)

式(2)的求解结果应表达为桁架结构与外部施加力的参数。理论上，这些参数可以被视为均方偏差p的函数，表示为

p=p(A1,A2,…,Aq;F1,F2,…,Fn)。

(5)

式中：A1,A2,…,Aq为桁架结构中各杆件的横截面；q为杆件总数；F1,F2,…,Fn为施加于该桁架结构的外部力，n为外部力总数量。

在实际计算中，很难获得式(5)的显式表达。因此，需要使用启发式算法，通过搜索的方式进行求解。为进行搜索，首先需要确定搜索的范围，对于杆件截面而言，其规格限制即为搜索范围，但对于外部施加力而言，搜索范围并不明确。

为此，引入一种估计外部施加力搜索范围的策略。首先考虑一个理想的，已经实现期望支撑力分布的桁架结构。若在该桁架结构上施加一个单位外部力分量em，其中m∈{x,y,z}，即任意空间坐标方向。该外部力分量将导致桁架结构在各个约束点处形成一个新载荷分布，该载荷分布可以由期望的载荷分布进行表达，如式(6)所示。

(6)

(7)

(8)

(9)

定义

(10)

则外部施加里的搜索范围可以表达为

(11)

其中m∈{x,y,z}。

式(2)～式(5)共同构成面向支撑力分布的设计问题模型。与一般结构优化模型相比，本模型将优化目标定义为实际支撑力分布与设计分布之间的差异最小，实现直接以支撑力分布作为设计目标。此外，本模型还将外部施加力纳入优化模型，并推导出如式(9)～式(11)所示的外部施加力搜索范围。

理论上，基于上述截面与外部力的搜索范围，使用基因算法或粒子流算法等启发式算法即可获得满足设计要求的外部施加力和零件截面，但该求解过程中会用到大量的力学计算，使得计算过程非常缓慢。为此，Abad等[24]提出定向搜索方法,该方法通过虚功原理计算一个搜索方向，再通过迭代的方式实现优化设计。受此方法启发，本文提出一种能够满足本设计问题的定向搜索方法。

2 基于最小化载荷分布均方偏差的定向搜索方法

本文提出一种面向支撑力分布设计的定向搜索算法，该方法以当前实际支撑力分布与期望的支撑力分布进行比较，并经由两者的差值给出当前设计方案的调整方向。

首先考虑载荷已经确定的情况下桁架结构杆件截面的优化。直接由数值方法入手，先由有限元理论中的总体刚度方程组K×U=F引入约束位置支承力的表达。其中：K为总体刚度矩阵，U为各单元结点DOF的位移矢量，F为各自由度上对应的力矢量。在此基础上，引入杆件截面积密度因子a，并将每个单元的局部刚度矩阵表示为该因子的线性函数。由于总体刚度矩阵由局部刚度矩阵叠加而成，对于总体刚度矩阵中的任一元素，都可表达为各杆件截面积密度因子的函数。

(12)

fi=Ki×U=Ki(a1,a2,…,aq)×U

(13)

将支撑力表达为式(13)的形式后，式(2)的极小值求解即可表达为以各零件截面积密度为变量的偏微分方程组的形式：

(14)

该方程组可以按如下方式进行整理：

(15)

(16)

在每一个迭代步中，本方法将多个截面面积的搜索转化为单一方向上的线性搜索，提高了总体的搜索效率。提出的求解方法总流程如下：

(1)给定设计条件，包括桁架结构的几何布局、外部力施加点、支撑点位置以及这些位置上对应的期望支撑力值等。

(2)基于设计条件建立桁架结构的数学模型并进行约束，由期望支撑力确定基准输入载荷。

(3)通过式(6)～式(11)计算输入载荷的可用搜索区间，并将其网格化，得到离散的输入载荷集合，并由规格表获得可用的截面面积搜索区间。由于求解初期并不能确定载荷的优解区间，可以采用均匀划分的间隔分割载荷区间。对于取值范围较大的方向，采用较大间隔，取值范围较小的方向采用较小间隔。基于这样的间隔进行若干次迭代计算后，再在最关注的取值位置采用较密网格划分，以获得更精确的求解。

(4)初始化所有参数值。

(5)通过有限元方法对桁架结构进行分析，并使用式(16)计算当前搜索方向。

(6)结合搜索方向与启发式算法求解式(2)所示最小偏差值。以粒子流算法为例，在粒子流优化方法的每个迭代步，各粒子均会形成其特定的下一步优化方向。该方向与上一步所计算出的搜索方向进行叠加，构成新的搜索方向。在实际应用中，上一步所计算获得的搜索方向需要用步长λ进行降权。

(7)迭代第(5)步与第(6)步，直到结果满足设计需求。

本方法基于结构受力的有限元方程推导，结合问题本身特性，可知所求是一个凸函数优化问题。因此，在约束条件也是线性的情况下，本流程第(4)步参数值可以使用随机选取的方式初始化，但取值会影响迭代计算的收敛速度。当约束条件限制使优化变量的可行域非凸时，计算结果可能收敛至局部最优。这时可以使用正交表方法在可行域选取多个初始值进行迭代计算，以避免这种情形发生。

需要注意的是，式(13)是在式(2)的基础上推导得出的。因此，该方法只调整桁架结构中与支撑点直接相连部分的杆件截面，其余部分零件尺寸并不受到影响。考虑到与支撑点相连的杆件对支撑力分布产生的影响最大，这种调整方式对于本问题而言是合理的，因此可以将支撑力分布这一设计问题视为一个局部设计问题。后续案例分析也证明了支撑力分布设计的这种局部性特征。

3 面向支撑力分布的桁架结构设计案例分析

为验证所提方法的有效性，本章将针对一个25杆桁架算例进行研究，展示所提方法使用的方式，并用于展示现有方法与所提出方法之间的对比。

25杆桁架结构是面向桁架的优化设计中的常用典型算例，其几何信息如图1所示。在节点i和节点j处施加两个沿z向的外部力从而生成系统压力。在本实例中，支撑力要求在节点a、b、c、d四点上分别为2 N、4 N、6 N、8 N，方向沿z轴向上，且在x向与y向上的支撑力尽可能小，这样的要求存在于地面状况复杂的桁架结构构建中。不失一般性，可以设置z向支撑力权重为0.7，垂直与z向的支撑力权重为0.3。其余规范与前例相同。

在外部施加力不变的情况下，使用所提方法对该桁架结构进行优化。如表1所示为25杆桁架结构使用5种方法进行优化后的设计参量，表1的第2列给出了优化后的各杆件截面的结果。在这种情形下，前述4个支撑点在进行结构优化后相比设计需求的均方偏差为8.65。

表1 25杆桁架结构使用不同方法进行优化后的设计参量

作为对比研究，在同样条件下使用了粒子群优化方法完成同样的求解工作。粒子群优化方法需要调用大约400次有限元方法才能够将设计结构优化至接近本方法优化结果，而本方法在该设计过程中只调用了20次有限元分析过程。使用粒子群优化的设计结果列于表1中的第3列作为对照。

在此基础上，将外部施加力也作为设计参数纳入考量，以获得更合理的结果。相似地，经由式(6)计算得到外部力的搜索范围为：在z向上为2～18 N，在垂直于z向上为-12～12 N。在该条件下，直接使用所提方法以获取优化的杆件截面积与外部施加力所需的搜索时间会长于粒子群优化方法。这是因为在对外部施加力的许用范围进行搜索时，进行了大量不必要的杆件截面优化计算。更合理的方法是通过粒子群优化获取一个近似解，在该近似解的基础上，使用所提方法求解一个相对精确的优化结果。通过这种混合方法对该25杆结构与外部施加力的综合优化结果列于表1的第4列。作为对照，单一粒子群方法的优化结果列于第6列。

此外，自适应采样与本方法的结合可以获得更为精确的优化结果。该混合方法的优化结果列于表1的第5列。在这种情况下，优化的迭代过程较长，但是在外部施加力数量较少的情况下，该计算过程相对较小，符合实际工程情况。

如图2所示为上述各种优化方法的收敛性能。可以看到，所提方法与粒子群优化方法的结合可以实现较快的收敛，优化后的结果也较好。如图3所示为桁架底部四个约束点支撑力优化前后的对比，其中图3a给出了各种方法对25杆结构进行优化后的4个固定点处支撑力分布结果。可以看到，所有优化方法都在一定程度上实现了支撑力的优化分布设计。此外，从结果可以看到，在z向上支撑力分布的变化影响到了水平方向支撑力的分布。图3b所示为这些支撑力加权后的分布结果。

除此之外，值得注意的是所提方法只影响到桁架结构中那些与固定点直接相连的杆件，实例优化结果证明了该策略的有效性。这说明支撑力分布在一定程度上可以看作是一种局部问题。作为对照，对该25杆桁架整体使用粒子群优化方法进行优化设计，其结果如表2所示。可以看到，整体粒子群优化方法收敛较慢，优化所得结果与所提混合方法相似，进一步说明了所给出的局部调整策略的有效性。

表2 使用全局粒子群方法与给定最大均方偏差进行结构优化的25杆桁架结构参量

4 结束语

针对桁架结构支撑力分布的优化设计是一个有实际需求，但当前研究较少的问题。本文在构建该问题优化模型的基础上，借鉴最小二乘法思想，利用桁架结构总体刚度方程推导了求解该优化问题的数值方法，引入松弛因子法解决问题中各因素之间相互影响从而无法直接求解的困难。除了对桁架结构本身的优化设计外，还考虑了施加的外部力对这一问题的影响，并通过实例表明了输入载荷的选择不仅会影响约束点支承力的分布与设计目标间的误差，还会影响这一分布的稳定性，并从理论上推导出了可行输入载荷范围。实例结果证明，所提优化设计方法能够有效地寻求最稳定合理的载荷输入，并在任意确定的载荷输入条件下均可有效求解桁架结构的最优尺寸，使得其约束点的支承力最接近设计目标。与传统启发式算法相比，所提方法可以显著减少求解所需计算工作。未来，将进一步扩展研究领域，考虑对更多结构类型支承力分布的优化设计。