响应面分析法在相似模拟试验配比中的应用

钟慧伟，袁 永，王圣志，滕 龙，马冯超

（1.煤炭资源与安全开采国家重点实验室，江苏 徐州221116；2.中国矿业大学 矿业工程学院，江苏 徐州221116）

当前，相似模拟[1-3]试验方法是针对矿山压力的主要研究方法之一，是以相似理论为基础的模型试验技术。该方法可以详细的研究工作面在推进过程中巷道与工作面的岩层中所发生的机理现象，实现使用少量人力物力即可进行各种条件下的模拟工作，且花费时间少，被应用于国内的诸多矿山中。但在相似材料配比的确定过程中，一般很难有效地确定试验配比使配制出来的试验材料达到预想的物理力学性质，需反复试验并调整，并且还需要考虑影响配比过程中的各个因素间的交叉影响，耗费大量的时间，这给相似模拟试验带来一定的困难，同时严重影响试验数据的准确性。

目前的计算机技术不断发展，数值计算水平也进一步深入，在矿山工程的计算模型变得越来越复杂，所以急需要1 种新的高效的数学规划方法来应对这一局面。而响应面分析法正好可以很好地解决这一重大难题，该方法的优点在于能够有效减少试验的次数，试验所需材料的成本低，而且试验结果准确性较高，可适用于解决多变量多因素问题的试验[4-6]。因此，采用响应面分析法中的Box-Behnken 试验设计建立抗压强度试验模型，对模型进行回归分析和方差分析来进一步确定抗压强度的最优化配比。

1 响应面分析法

响应面分析法（Response surface method，简称RSM）通过中心组合试验，采用多元线性回归的方法，将试验中的各个因素及其交叉因素进行多项式拟合，再根据函数的响应面等值线和回归方程确定试验的最佳参数组合[4,7-8]。

该方法可有效减少试验次数，具有精度高、成本低的优点，成为解决多变量多因素问题的一种有效试验设计分析方法。主要包括Box-Benhnken（BBD）、均匀外壳设计（Uniform Shell Design，USD）、中心组合设计（Central Composite Design，CCD）3 种，本文采用的为BBD 设计。

2 单因素试验设计

根据参考资料，确定影响物理力学性质的主要因素：含砂量、石膏量以及水泥掺量。通过3 种影响因素的单因素试验[9]来确定影响因素的范围取值，然后才可以使用BBD 中心组合设计法来设计试验。单轴压缩试验[10-12]结果如图1～图3。

图1 含砂量对抗压强度的影响曲线Fig.1 Influence curve of sand content on compressive strength

不同含砂量的试件所对应的不同抗压强度的变化范围，最小值为3.38 MPa，最大值为4.11 MPa。根据图中曲线的变化趋势，可知含砂量对相似材料的影响情况，即在小范围内模拟试验材料的抗压强度随着含砂量的变化，呈现略微增大再显著减小。

图2 水泥掺量与抗压强度的关系曲线Fig.2 Relation curve between cement content and compressive strength

图3 石膏含量与抗压强度的关系曲线Fig.3 Relation curve between gypsum content and compressive strength

当相似材料中含砂量与石膏用量固定后，随着相似材料中水泥掺量的增大，试验试件的抗压强度以及抗弯强度也均出现显著增加的情况。这是由于在相似材料中增加水泥用量后，相似材料中形成的水泥凝胶量也就随之增多，而接触面积大小的决定因素之一就是水泥凝胶量，因此当水泥凝胶量增大，促进了其与骨料的接触面积的增大，进而就提高了水泥凝胶与骨料间的黏聚力，也就展现出试验试件的抗压强度增大[13-14]。

模拟试验材料的抗压强度随着材料中石膏含量的增加，在小范围内逐渐增大的趋势，这是由于熟石灰粉中加入水时，熟石灰粉与水发生化学反应生成二水硫酸钙，由于该化学反应消耗水，减少了模拟材料中游离状态水的存在；并且石膏粉遇到水后形成凝胶，同样起到增大材料内部凝胶体与骨料间的接触面积的作用，进而提高材料内部的黏聚力，试验试件的抗压强度也随之增长[13-14]。

3 试验结果与分析

3.1 响应面分析法进行试验分析

按照试验设计步骤以及测试方法完成了对试件的单因素试验，不含水泥试件的材料力学性质见表1 和含水泥试件的材料力学性质表2。

表1 不含水泥试件的材料力学性质Table 1 Mechanical properties of materials without cement

表2 含水泥试件的材料力学性质Table 2 Mechanical properties of materials containing cement

通过试验数据可以明显的发现水泥的加入对试件的抗压强度影响很大。因此，选取抗压强度作为响应面分析试验的主要考察指标，响应面设计的零点则选用单因素试验中取得抗压强度最大值时所对应的试验条件，然后再采用Box-Behnken 试验设计对抗压强度进行响应面分析[15]。

结合单因素试验结果，运用响应面分析试验，分别选取了含砂量、水泥掺量和石膏用量作为响应因子，设定抗压强度为响应值，利用Design Expert 8.0.6 Trial，软件设计本次试验，并将试验结果进行回归近似和方差分析，找出试验中的主效应和交互相应，并求出最大抗压强度对应的最佳组合。

具体的试验设计方法是以含砂量（A）、水泥掺量（B）和石膏用量（C），3 个相应响应因子进行响应面分析设计，3 种自变量±Level 根据单因素试验结果取值。试验共分为17 组，其中试验编号从1#至12#为析因试验，试验编号13#至17#为中心试验。其中试验的前12 组的试验点是析因试验的析因点，是自变量取值在三维结构的立方体每条棱的中点；试验的后面几组13#～17#组的试验点为零点，是设计区域的中心点（注意：零点试验应尽量重复5 次以上试验来估计试验误差）[10]。

按照之前制定的试验方案进行抗压试验后，响应面分析法设计方案与试验结果见表3。

表3 响应面分析设计方案和测试结果Table 3 Response surface analysis design scheme and test results

通过运用响应面分析法设计试验方案并得出试验结果后，将试验结果输入到软件的Response 1 项中，再使用Design Expert V8.0.6 Trial 软件中Analysis 的ANOVA 方差分析功能对表中的3 个因素A、B、C 和相应值Y 进行多元化回归分析。

由分析可得：

式中：R2为判定系数，代表响应面与真值之间的差异度；AdjR 为模型校正决定系数，代表该模型拟合度；C.V.为抗压强度的变异系数,表示试验的精确度，系数越小表示试验可靠性越高。

对试验结果回归分析，得到抗压强度与各因素的关系：

抗压强度的方差分析结果见表4。

由表4 可知，以抗压强度为响应值时，模型P值＜0.000 1＜0.01，表明此模型极为显著；所用模型和所做试验的拟合程度（指二者的差异程度）是用失拟项来表示的，本模型中失拟项P 值=0.030 8＜0.1，这表明所做的模型失拟项差异不显著，即试验数据与模型不相关的情况不显著或表述为拟合过程中非正常误差所占的比例较小，模型可信。

表4 抗压强度的方差分析Table 4 Variance analysis of compressive strength

同时模型的复相关系数R2=0.980 4，也就是说该模型与实际试验近似度的差异性为0.019 6，根据响应面分析的应用理论与差异性可以判断出，模型的拟合程度较好；模型的校正决定系数AdjR=0.965 2，可以认为该模型的回归方程可模拟与解释96.52%的相应值变化，仅仅存在总差异的3.48%不能解释，说明试验模型的拟合优度高；抗压强度的变异系数为C.V.，用来表示试验的精确度，当差异系数越小时，这就表明所做试验的可靠性越高，就能够用模型的回归方程代替试验真实点对试验结果进行分析。

回归方程中，A、B、C 的P 值小于0.1，说明这3种因素对模型抗压强度的影响相对显著，其中含砂量，水泥掺量，石膏用量这3 个因素对抗压强度的影响呈现递减趋势，即：P（A）＞P（B）＞P（C）。具体响应面分析结果如图4。

利用Design-Expert8.0.6 Trial 软件中的Optimization 中Numerical 功能来确定抗压强度模型的优化方案，求出模型的最优化值。响应面最优化设计方案见表5。

图4 响应面分析三维图Fig.4 3D figure of response surface analysis

表5 响应面最优化设计方案Table 5 Response surface optimization design scheme

3.2 验证响应面最优化方案设计

以响应面中最优化方案中的3 个因素为试验条件进行试验验证。即依照配比号437 制作3 个试验 试件，分别进行3 组平行试验。响应面最优化设计方案验证结果见表6。

表6 响应面最优化设计方案验证结果Table 6 Verification results of response surface optimization design scheme

通过3 组试验，计算出抗压强度的平均值为6.32 MPa，与响应面试验最优化设计预测结果的偏差为1.22%，与理论最优化预测结果相近，这证明基于运用响应面分析法设计的相似模拟试验具有较高的拟合性与准确性，响应面分析法可以应用于寻求最佳的试验配比方案。

4 结 论

1）单因素结果表明相似材料模型中配制合适比例的含砂量、水泥掺量和石膏用量可以较大程度的提高模型的抗压强度。

2）在响应面试验设计中，以抗压强度作为因变量所得到的含砂量、水泥掺量和石膏用量这3 种因素的最佳组合表明，这3 种因素的影响力度为含砂量、石膏用量和水泥掺量依次递减。

3）通过响应面分析法建立的预测模型，并得到相似材料模型抗压强度的最佳配比号为437。即当含砂量定为1 600 g 时，水泥掺量为120 g、石膏用量为280 g 所配制出来混合材料制成的相似模型，理论上的抗压强度为6.25 MPa。经过对响应面分析设计方案的试验验证，所得到的抗压强度的平均值为6.32 MPa，与理论数据相差1.22%，与理论值相差很小，表明运用响应面模型分析抗压强度的变化规律所进行的模拟准确性较高，模拟可信。即：响应面分析法可应用于相似模拟试验。