初中生几何证明中逻辑推理错误及对教学的启示探析

侯肖玲

【摘 要】在核心素养背景下，对初中数学教学的要求越来越高，教师不仅要教授学生基础的数学知识，更要注重对学生的数学逻辑推理能力的培养，从而有效落实数学核心素养的培养目标。在初中数学中，几何证明题可以较好地锻炼学生的逻辑推理能力。本文以三角形内角和定理的证明为例，分析了在初中几何证明中学生容易出现的逻辑推理错误，并总结了相关的教学经验。

【关键词】初中;几何证明;逻辑推理错误;教学启示

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2020）16-0173-02

初中阶段正是学生的思维方式、行为习惯和价值观念形成的关键时期。但数学理论本身具备一定的抽象性和严谨性，对学生逻辑思维有较高的要求，所以教师需要利用一定的教学手段提高学生的逻辑推理能力。

1   初中生幾何证明中的逻辑推理错误分析

1.1  循环论证

初中生的逻辑思维还不够成熟，对数学问题的理解仍然处于形象思维阶段，所以在几何证明中，学生时常会出现循环论证的情况。循环论证可以理解为在证明时，要证明结论的论据本身，则需要通过要证的结论才可以实现。如下面的错误证明情况。

如图1所示，在△ABC中，沿着BC边向C的方向作延长线，那么∠1就是∠A+∠B的和，此情况可以总结为在三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。就此得出三角形内角和定理，即由于∠ACB与∠1的和为180°，所以∠A+∠B+∠ACB=180°，也就是三角形内角和为180°[1]。

此种循环论证的方式在学生论证过程中很容易出现。证明时，学生会将三角形内角和定理作为推理根据。但是从湘教版初中数学教材编排情况来看，运用此定理进行证明并不合理，因为此定理是经过一系列证明后得出的，而学生将它直接运用到证明中，显然是不符合逻辑的，所以不能用∠ACB与∠1的和为180°来证明三角形内角和定理。

1.2  偷换概念

学生在几何论证过程中会使用另外一个概念替换问题中的某些概念，使得问题概念的具体内涵发生改变。如结合等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°，所以∠A+∠B+∠C=180°，最终得出三角形内角和为180°。该证明选用的等边三角形属于特殊类三角形，使用此类三角形进行推理，就混淆了一般和特殊的关系，这是较为典型的逻辑推理错误。

2   对初中几何证明教学的启示

2.1  强化学生对公理化方法的理解

只有在同一个公理体系中进行证明，才可以判断几何证明中的逻辑推理是否正确，否则很容易出现错误。如对于三角形内角和定理，在证明过程中，需要先利用平行线具有的性质论证观点，然后在此基础上得到三角形内角和为180°。从这一公理系统看，是可以使用上述方法证明三角形内角和定理，但从初中数学教科书的公理系统看，使用此种逻辑就会出现循环论证的误证。因此，初中数学教师需要从教学的本质出发，更细致地讲解平面几何的公理体系，让学生更好地感受几何的逻辑美，体会逻辑推理的强大力量[3]。

2.2  灵活利用思维导图，明确命题逻辑关系

平面几何具有较强的逻辑性，可以提升学生的逻辑推理能力。从新课程改革看，初中数学教科书在难度编排上主要呈现螺旋式的上升状态。这样的过渡能促使学生思维逐步由感性认知向理性认知转变。而为了更好地提高学生的逻辑推理能力，教师可以为学生设立核心问题，而后引导学生围绕核心问题将相关内容通过思维导图画出来。这样不仅有助于帮助学生构建新的知识网络，完善学生的知识体系，同时也可以使学生更好地将新旧知识相连接，有效理清知识之间的逻辑关系，增加逻辑推理能力。

2.3  引导学生分辨特殊和一般

学生会因在几何证明中混淆了特殊和一般的关系而导致错误。如在证明三角形内角和定理时，使用特殊三角形——等边三角形并不能完全证明结论;而在推理过程中，利用矩形推导三角形内角和定理，也忽视了四边形、多边形体现出来的性质。因此，教师在实际教学中需要正确引导学生分析特殊与一般的关系，使学生进一步探索规律，找到更加合适的解决问题的方法。此外，特殊化处理后，教师还需要引导学生将结论或方法推广到一般中去。

总之，在初中几何证明教学中，教师需要让学生懂得探究特殊问题的目的在于发现规律，弄清特殊和一般的关系，并学会灵活转换到问题的解决中，从而培养学生的逻辑推理能力，提升学生的数学思维。

【参考文献】

[1]马维俊.初中几何证明分析方法简析[J].课程教育研究，2020（2）.

[2]黄喆，陈飞，梁珍，陈永明.几何证明——初中数学分叉点研究之三[J].数学教学，2019（10）.

[3]秦晓.例谈初中几何证明中“辅助线的自然生成”[J].数学教学通讯，2019（11）.