一个容易被忽略的物理背景下的数学模型例析

陈国祥

【摘 要】《普通高中數学课程标准（2017年版）》在阐明数学核心素养之数学建模中指出，通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达、发现和提出问题，感悟数学和现实之间的关联;能学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践经验;能认识数学模型在科学、社会、工程技术等诸多领域的作用……同时用相当的篇幅介绍了很多基于数学表达的经济模型和社会模型，包括指数函数模型（存款贷款模型、人口增长模型）、线性回归模型（经济增长模型）、线性规划模型（投入产出模型）等。可见，让学生了解数学模型并学会用它解决实际问题是数学建模的育人价值的体现。

【关键词】高中数学;模型;例析

【中图分类号】G633.7  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2020）16-0152-03

人教版必修4在《平面向量》一章利用力的合成引入向量的加法运算，并利用向量的加法运算解决实际问题。而对于向量减法运算的物理背景并未提及，也没有利用向量的减法解决实际问题的具体事例，这总让人感到有些遗憾[1]。

众所周知，向量加法运算的物理背景是力的合成，向量的减法运算的物理背景是力的分解。那么，除了力的分解之外，向量减法运算还可以用来解决哪些实际问题？

实数的减法所得到的差其实是被减数在减数的基础上增加的量。那么，对于向量的减法而言，其所得到的差自然就是在一个向量的基础上增加的向量，这自然让人们想到了相对运动这一概念。

万物皆在运动，没有绝对静止的物体。运动是绝对的，静止是相对的。物理学有一种运动被称为相对运动。它指的是某一物体对另—物体而言的相对位置的连续变动，即此物体相对于固定在第二物体上的参考系的运动。因此，向量的减法这一数学模型其实是一个物体的运动（速度、位移、加速度等）相对于另一个物体的相对运动（速度、位移、加速度等）。下文通过具体事例研究利用向量的加减法解决物理背景下相对运动的各类问题。

例4 南海是我国的南大门，祖国的领土神圣不可侵犯。假设我海军驱逐舰某日正朝着正南方向巡逻时发现正前方4海里的水域有一艘不明身份的敌舰正在以40海里/小时的速度，沿着北偏西60°方向行进，侵入我国南海水域。正在执行巡逻任务的我军驱逐舰当时的行进速度为30海里/小时，为提高命中率，欲用鱼雷从敌舰右侧垂直方向将敌舰击沉（这里先不考虑鱼雷的导航功能），假设鱼雷的发射速度可以在40～65海里/小时内任意选择，请问我军鱼雷能否按要求击沉敌舰？如果能，请求出鱼雷的发射速度和发射方向。

由于，故我军鱼雷能按要求击沉敌舰，鱼雷的发射速度为45.8海里/小时，发射的方向与我军舰行进方向的夹角为49.1°。

备注：通过对以上两个例子进行剖析，能进一步理解向量的加减法在解决运动的合成与分解及相对运动等综合物理问题中的应用价值。

生活离不开数学，数学无处不在。在物理解题中，可以运用数学方法将物理问题转化为数学问题，将“物理模型”转化成“数学模型”，然后运用数学的方法进行求解或论证，再将数学结论回归到物理问题中进行验证，从而完成物理问题的求解。数学不仅是解决物理问题的工具，更是物理学的研究方法之一。利用向量的加减法解决物体的相对运动问题，使得这一数学模型重新焕发出勃勃生机，体现了数学模型的桥梁作用，再次彰显了数学强大的生命力和无穷的魅力。

课后练习：

（1）一人以的速度向北奔跑时，感觉风从正西北方向吹来，当他转弯向东以的速度行走时，感觉风从正西南方向吹来，求风的方向与风速。

（2）一架飞机以相对于空气为的速率从向正北方向飞向，与的距离为。假定空气相对于地面速率为，且偏离南北方向有一角度，求飞机在、间往返一次所需时间为多少？

教育部把“核心素养”置于深化课程改革，落实立德树人目标的基础地位。数学是有用的，我们每个人无时无刻都离不开数学。因此，数学建模自然成为了数学六大核心素养之一，它是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题。因此，了解和掌握各类数学模型的实际应用对于提高数学建模这一核心素养是不可或缺的。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.