基于数学建模思想构建概率论与数理统计课程的知识结构

张新宇，张军，吴国荣，贾子君

基于数学建模思想构建概率论与数理统计课程的知识结构

张新宇，张军，吴国荣，贾子君

（内蒙古农业大学 理学院，内蒙古 呼和浩特 010018）

概率论与数理统计课程是高等院校理工类、经济管理类和农林类专业均需要学习的一门大学数学公共基础课程．分析当前概率论与数理统计课程的教学现状，运用课堂的理论教学与实践应用相融合的教学手段，探讨使用一种基于数学建模思想构建课堂知识结构的新型教学模式．该模式通过对数学建模实例的引入激发学生的学习兴趣，导出所学理论知识，通过对实例的深入分析，帮助学生构建对应理论知识的框架结构．通过理论知识与实践应用的相互结合，培养了学生应用理论知识解决实际问题的创新能力，提高了其实践水平．

概率论与数理统计；数学建模；理论教学；实践应用

概率论与数理统计课程是各高校大部分专业都需要学习的一门数学基础课程，需要清晰的逻辑思维能力以及数学符号的解读能力．目前，在授课中存在着重理论轻应用的问题，很多教师过于追求数学体系本身的完整性和逻辑的严谨性，却忽略了数学的根源与归宿问题，导致很多学生被课程中大量艰涩难懂的定义和定理阻挠，无法克服学习的恐惧，失去了对该门课程的学习兴趣，更谈不上后续的应用以及创新．这样的教学模式显然已经无法适应当前阶段培养创新复合型人才培养目标的要求，对此中国科学院李大潜院士就提出了将数学建模思想融入大学数学主干课程的实践教学中的建议[1]．在概率论与数理统计课程的教学实践中，通过数学建模的思想来解决实际问题，能让学生感受到概率论与数理统计课程不只是通过复杂的数学符号传递知识，也可以应用在实践中解决实际问题．

使用实例引导课堂知识内容结构的建立，将数学建模思想融入概率论与数理统计课程中是非常重要的教学模式．目前，越来越多的高校开始注重数学建模相关内容的建设，鼓励各专业学生积极参加数学建模相关比赛，随着参加人数的日益增多，规模逐渐扩大，影响力日渐加强．参加该类比赛能够培养参赛学生应用数学知识解决实际问题的能力，但由于比赛规模的限制以及参赛水平的制约，能够获益的大学生只能说是很小一部分．因此，要想全面提高高校大学生创新能力以及实践水平，必须要以大学数学的基础课程为载体，融入数学建模的思想方法，而不是将两者脱离开来．将数学建模思想融入概率论与数理统计课程教学实践之中是概率论与数理统计课程改革的必经之路，在教学方法的探索中，很多教师都提出在概率论与数理统计课程的理论知识讲解中插入与之相关的数学建模案例，以例题形式介绍该理论的实用性[2-3]，从教师的教与学生的学等不同的测度分析阐述将数学建模思想引入到概率论与数理统计课程中的必要性和重要性[4-6]，探讨在概率论与数理统计课程教学实践过程中，将两者相结合时会遇到的一些问题，并且给出了一些相应的解决措施[7-9]．

本文总结了用数学建模实例引导课堂理论知识结构建立的新型教学模式，使数学建模的案例不再是几道例题中的背景，而是要建构起一节完整教学内容的框架，形成结构完整的逻辑思维，并且将数学建模的每一步都与课堂教学充分融合．在探索实际案例的过程中，以学生为中心，教师引导学生利用数学建模的思想形成新知识的框架，最终达到解决实际问题的目标．

1　用数学建模实例引导课堂理论知识结构建立的新型教学模式

数学教育本质上是一种素质教育，它不应使学生仅学到一些数学概念、方法和结论，而应使学生领会到数学的精神实质和思想方法．以培养创新型、应用型人才为目标，总结出用数学建模实例引导课堂理论知识结构建立的新型教学模式，该模式分为3个阶段，具体构成见图1．

图1　用数学建模实例引导课堂理论知识结构建立的新型教学模式

1.1　以数学建模实例引入教学新知识

在传统的大学数学课堂上，教师总是使用一些机械枯燥的开场白引入新知识的内容，纯理论的讲解使得课堂氛围比较沉闷．如果能够以实例为背景，以一个生动有趣的故事或者问题作为一堂数学课的开端，不仅可以调动课堂气氛，提高学生的学习兴趣，也可以将理论知识有机地融入到实际问题中，将理论与实践完美地结合．

在讲授假设检验时，可以引入故事：在20世纪20年代末一个夏日的午后，在英国剑桥，一群大学教员、他们的妻子以及一些客人围坐在室外的一张桌子周围喝下午茶．一位女士坚持认为，将茶倒进牛奶里和将奶倒进茶里的味道是不同的．在座的科学家都觉得这种观点很可笑，没有任何意义．２种液体的混合物在化学成分上不可能有任何区别．这时，一位又瘦又矮、戴着厚厚眼镜的男子激动地说：“让我们来检验这个命题吧”[10]．相信这样的一个开场白出现在概率论与数理统计课中会令人耳目一新，能够激起学生的学习兴趣，同时也引出了该节课的学习内容——假设检验．

很多学生学习数学的目的只是为了应付考试，机械地背诵题目，甚至完全不了解课程内容的本质．不知道为什么学，怎么学，怎么用是无法学好一门课程的．而数学建模不仅是数学走向应用的必经之路，而且是启迪数学心灵的必胜之途．教师在引入新内容时若以实例开头，不仅可以将理论内容徐徐展开，启发学生，激起学生学习的兴趣与积极性，也可以让学生感受到这些内容是切实有用的，强调了学习该内容的必要性，同时说明理论知识是可以解决实际问题的．

1.2　分析实例构建新知识的结构框架

在将理论知识与实际问题有机融合之后，进入下一环节——通过对实例的分析，引导学生逐渐揭开新内容的面纱，建立新知识的框架．这一环节是最重要的一步，关键是将对实际问题的分析过程与所讲理论知识的逻辑结构一一对应，层层递进．在整个剖析问题的过程中，应充分发挥学生的自我能动性，鼓励学生使用数学建模的思想思考问题，不断地提出问题，解决问题，进而由实例问题构建出新知识的理论框架，达到理论与实际问题贯穿整个知识体系．对于概率论与数理统计课程中的假设检验内容，可以使用女士品茶的实例构建其基本思想框架（见图2）．

图2　引用女士品茶实例帮助学生构建假设检验内容的基本思想

通过对女士品茶问题的逐步分析，让学生找到假设检验的基本原理，体会在实例中如何使用假设检验的方法来解决问题．首先，提出原假设与备择假设的概念，从女士能否品尝出２种不同的茶为背景说明２种假设是完全对立的；接着引导学生设计试验进行抽样检查，帮助其进行最后结论的判断，在此实例中可以让这位女士去品尝提前准备好的茶来进行判断，学生进行记录；试验结束后，面临２种选择，拒绝原假设或者接受原假设，这就涉及到了拒绝的条件，即小概率事件在一次试验中发生是不合理的．在这个过程中，仍然可以借助品茶的女士帮助解释该原理，如果这位女士品尝了100杯茶，都成功分辨出了茶的类型，也就是小概率事件发生了，说明原假设根本不成立．

通过对照案例的每一步，教师引导学生从中提炼出假设检验的基本思想与检验步骤，分析如何设计合理的试验进行抽样调查，根据试验的结果分析样本观察值，得到接受或者拒绝原假设的决策．

这里所使用的方法正是将概率论与数理统计课程的理论知识框架依托数学建模的案例进行建构的核心部分，其中每一步都是发现问题、思考问题、解决问题的过程．从中让学生深刻体会到知识的内涵，并激发其主动学习、主动探索的积极性．在这个教学过程中，最难的环节是如何将实例与理论完美地结合，使实例的每一步都与理论的逻辑结构相契合，将理论验证包含在实例的生动说明中，抛开枯燥乏味的数学符号和生涩难懂的理论证明，用简单有趣的案例故事引导学生掌握和理解相关概率论与数理统计知识．

1.3　理论与实践相结合解决实际问题

最后要进入数学建模的求解模型阶段，在这个环节中，教师需要在已构建好的新知识的主框架上，通过对实际问题的变形与深入提问，引导学生充分思考，转换分析，不断充实内容，从基础框架变成系统的知识体系，最终可以解决实际问题，并可触类旁通，举一反三．

教学的最终目标是希望学生运用新知识解决实际问题，让学生体会知识的实用性．提炼出核心内容，让学生巩固加强，再结合其它例题的练习，会有非常好的教学效果．

2　引入新型教学模式的重点与难点

在引入实例，融入数学建模的思想中要注重方式方法．在使用数学建模实例建构课堂理论知识结构框架的新型教学模式中，要注意的问题：（1）充分考虑所选择实例的准确性，要与所讲理论内容高度衔接与融合；（2）实例的难易程度要适中，不能太复杂，要适当进行简化，否则会适得其反，既要生动有趣，能够激发学生的兴趣，更要切合知识点，有效地帮助学生完成知识框架的构建；（3）实例的选择应尽可能地切合所教授学生的学科专业，让学生体会知识的实用性，也为后续的专业打好基础，如经管类专业学生可以列举与收入、消费相关的概率论与数理统计问题；交通相关专业可以列举有关道路交通的概率论与数理统计问题等．

在使用实例构建知识框架时也有一些难点．一方面，针对理论性较强的内容，有时很难找到合适的数学建模案例与之融合，这需要教师涉猎更多领域学科的内容，不断拓展、更新知识库，更要不断地积极创新，构思合适的教学模型．另一方面，所用到的数学模型实例往往不能很全面地完全覆盖某一节课程的所有知识点，因此授课教师要灵活变换实例的条件、情景、变量，使之更适用于所讲内容，覆盖面更广．更为重要的是所选用的建模实例不仅要贴合知识点，更要传递正能量，为学生树立正确的科学观与价值观．

为了使这种新型课堂教学方式真正能够发挥作用，需要改变以往教与学的模式，教师要从心理上、行动中真正转变角色，把学生放在主导地位，引导他们有自我构建知识框架的意识．转变以往传统的教师教与学生听的授课方式，把主动权交给学生，引导学生在实例中探索新知识，构建自己的知识框架．教师可以组织学生进行小组讨论，成果展示，以互相答疑的互动方式让他们自己主动学习新知识，积极探索，深入挖掘．教师引导学生对实例一步步分析挖掘，将理论与实际相结合，可同时使用其它交叉学科的内容和一些必要的计算机软件工具，增强学生的综合素质．通过开展课堂活动，挖掘学生的创新思维，让他们主动学习，对实际问题构思建模，以最终实现解决实际问题的终极目标．

3　结语

信息技术不断发展，将数学建模思想融入到概率论与数理统计课程中已经成为一个新的趋势．本文基于数学建模的思想性与实践性，提出了用数学建模实例引导课堂理论知识结构建立的新型教学模式，该模式在教学中的运用需要进一步精心设计，深度实践，不断学习，逐步成熟，以求达到学生与教师的双赢局面．学生不仅提高了运用概率论与数理统计课程内容解决实际问题的能力，也为后续的专业课程的学习打下了坚实的基础；而教师会在课堂上与学生产生更多共鸣，引发强烈的职业荣誉感，并且也会在教学过程中增加个人的知识储备，不断地进步．

[1] 数学建模及其应用编辑部．全国大学生数学建模竞赛组委会主任李大潜院士的讲话[J]．数学建模及其应用，2012（2）：4-6

[2] 王泽龙，朱炬波，刘吉英．数学建模在概率统计教学中的应用[J]．高等数学研究，2019，22（1）：115-117

[3] 陈涛．数学建模思想驱动下的概率论与数理统计课程教学研究[J]．高教学刊，2018（18）：107-108，111

[4] 张爱华，杨冬香．数学建模思想融入“概率论与数理统计”的教学改革研究[J]．科技研究，2019，3（8）：80-81

[5] 张云霞，崔瑜，郑国萍．浅谈概率论与数理统计课程与数学建模思想的融合[J]．商情，2018（48）：262

[6] 曹国凤．在概率论与数理统计教学中融入数学建模思想[J]．教育界，2018，4（33）：73-74

[7] 刘素兵，张华．概率论与数理统计教学融入数学建模思想的研究与实践[J]．科技风，2018（31）：205

[8] 王宇．数学建模融入概率统计教学存在的问题与对策[J]．数理化解题研究，2018（12）：26-27

[9] 于梅菊，袁华，丛玉华，等．以数学建模竞赛为依托，促进概率论与数理统计课程教学改革[J]．通化师范学院学报，2016（10）：66-67

[10] David Salsburg．女士品茶[M]．刘清山，译．南昌：江西人民出版社，2016

Construcing knowledge structure of probability theory and mathematical statistics course based on mathematical modeling

ZHANG Xinyu，ZHANG Jun，WU Guorong，JIA Zijun

（School of Science，Inner Mongolia Agricultural University，Hohhot 010018，China）

Probability theory and mathematical statistics is a common basic course of university mathematics，which is required to be studied by science and engineering，economic management and agriculture and forestry majors in colleges and universities．The current teaching situation of probability theory and mathematical statistics wasanalyzed，a new teaching mode of constructing classroom knowledge structure based on mathematical modeling was summarized by means of integrating theoretical teaching and practical application in classroom．This model stimulates students′ interest in learning by introducing examples of mathematical modeling，educates the theoretical knowledge，and helps students to construct the framework of corresponding theoretical knowledge through analyzing deeply about examples．Through the combination of theoretical knowledge and practical application, students′ innovative ability to solve practical problems by applying theoretical knowledge was cultivated, and their practical level was improved．

probability theory and mathematical statistics；mathematical modeling；theoretical teaching；practical application

1007-9831（2020）07-0058-05

O21∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.07.014

2020-02-21

内蒙古自治区教育科学“十三五”规划2019年度课题（NGJGH2019333）；内蒙古农业大学教育教学改革研究项目（JGZD201815）；2019年第一批教育部产学合作协同育人项目（201901148037）

张新宇（1991-），女，内蒙古乌兰察布人，讲师，硕士，从事概率论与数理统计研究．E-mail：xinyuzhang103056@163.com

张军（1980-），男，山西怀仁人，副教授，博士，从事数学建模及其应用研究．E-mail：zj325328333@163.com