一类分数阶脉冲微分方程边值问题的研究

彭元双 陈国平 董彦君

摘  要：科技进步带动着数学模型的发展，传统的整数阶微分方程已经难以满足人们的研究需要，分数阶微分方程在某些方面能够更准确描述一些实际现象，近几十年来得到了各个领域的应用。研究此类系统解的个数问题最常用的方法是不动点理论，但是由于分数阶微分算子的大多性质都与整数阶微分算子不同，使得一些左右混合RL型分数阶微分方程难以适用。该文使用临界点理论有效研究了一类左右混合RL型分数阶脉冲微分方程边值问题。

关键词：分数阶微分方程;脉冲;临界点理论

Abstract：Advances in science and technology have led to the further development of mathematical models. Traditional integer-order differential equations have been difficult to meet peoples research needs. However，fractional differential equations can more accurately describe some practical phenomena in some aspects. In recent decades，it has been applied in various fields. The most commonly used method for studying the number of solutions to such systems is the fixed point theory. However，most of the properties of fractional differential operators are different from integer-order differential operators，making some left-right mixed RL-type fractional differential equations difficult to apply. In this paper，we use the critical point theory to effectively study the boundary value problem of a class of left-right mixed RL-type fractional impulsive differential equations.

Keywords：fractional differential equation;impulsive;critical point theory

0  引  言

随着科技的发展，人们对数学模型的精确性提出了更严格的要求，如果将传统整数阶微分方程中的导数换成分数阶导数，有时候比整数阶微分方程模型更能精确地拟合某些实际现象，因此近几十年来被广泛应用于物理、金融理论等领域[1-3]。分数阶微积分的发展并没有像整数阶微积分的发展那样完善，有待学者们的进一步研究。笔者的研究方向是微分方程与动力系统，长期致力于学习和研究分数阶微分方程，并参与了有关的课题研究工作，目的是希望能够形成一定的研究规模，拓展分数阶微积分的知识体系，将分数阶微分方程应用于更多的领域当中，促进分数阶微积分的研究和教学工作的展开。

目前，在分数阶微分方程解的存在性问题的研究中，传统的研究方法有不动点理论等[4，5]。运用该方法的前提是必须先找到与边值问题等价的积分方程，但是分数阶微分算子有很多性质，与整数阶微分算子不同，表现得更为复杂，所以试图寻求方程等价的积分方程是一件十分复杂且困难的事情，有时候甚至无法求出来。近几年来，人们发现，运用临界点理论讨论分数阶微分方程的解的问题可以避免求等价的积分方程的复杂工序，这种方法尤其对于研究左右混合型分数阶微分方程解的存在性问题效果甚好，2012年，Zhou和Jiao[6]首次尝试运用临界点理论中的山路引理，并研究了如下边值问题：

此外，現实中的许多现象在发展过程中，常常会遭遇外部干扰从而产生瞬时突变，即脉冲现象，如果不考虑该现象对模型的影响，就会使模型失真，然而对有脉冲影响的分数阶微分方程的相关研究还比较少，本文受文献[6]的启发，在原来方程的基础上加上了扰动项和脉冲项，即考虑如下的分数阶脉冲微分方程的边值问题：

本文研究的方程（2）与文献[6]中提到的方程不同之处在于多加了扰动项和脉冲项，使得求此类方程边值问题解变得更复杂些，通过对其建立变分结构，再利用临界点理论中的山路引理等，证明出了当满足某些新的条件时，该方程至少存在一个非平凡解。

1  预备知识

山路引理是由Rabinowitz[9]提出的，不仅可用于求证整数阶微分方程对应泛函的临界点，还能用于求分数阶微分方程的相应问题。

2  变分结构

综上，可知泛函  至少存在一个非平凡临界点，即边值问题（2）至少存在一个非平凡解。证毕。

4  结  论

本文基于临界点理论，研究了一类带脉冲项和扰动项的分数阶微分方程边值问题。首先在恰当的空间内建立起了变分结构，再利用山路引理等得出结论：当方程满足条件假设1、假设2、假设3、假设4，且当λ>λ1时，至少存在一个非平凡解。

参考文献：

[1] LIU F，TURNER I，ANH V. An unstructured mesh finite volume method for modelling saltwater intrusion into coastal aquifers [J].Journal of Applied Mathematics and Computing，2002，9（2）：391-407.

[2] WITTEN T A. Insights from soft condensed matter [J].Reviews of Modern Physics，1999，71：367-373.

[3] SU N H，LIU F W，ANH V. Tides as phase-modulated waves inducing periodic groundwater flow in coastal aquifers overlaying a sloping impervious base [J].Environmental Modelling & Software，2003，18（10）：937-942.

[4] SU X W，ZHANG S Q. Solutions to boundary-value problems for nonlinear differential equations of fractional order [J].Electronic Journal of Differential Equations，2009（26）：571-582.

[5] ZHAO Y G，SUN S R，HAN Z L，et al. Positive solutions for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations [J].Applied Mathematics and Computation，2011，217（16）：6950-6958.

[6] JIAO F，ZHOU Y. Existence results for fractional boundary value problem viacritical point theory [J].International Journal of Bifurcation and Chaos，2012，22（4）1250086.

[7] PODLUBUY I. Fractional Differential Equations [M].New York：Academic Press，1999.

[8] 郭大均.非线性泛函分析：第2版 [M].济南：山东科技出版社，2001.

[9] RABINOWITZ P H. Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations [M].America：American Mathematical Society，1986.

[10] JIAO F，ZHOU Y. Existence of solutions for a class of fractional boundary value problems via critical point theory [J].Computers & Mathematics with Applications，2011，62（3）：1181-1199.

[11] 白占兵.分数阶微分方程边值问题理论及应用 [M].北京：中国科学技术出版社，2013.

[12] NEMAR N，ROSANA R L. On boundary value problems for impulsive fractional differential equations [J].Apllied Mathematics and Computation，2015（271）874-892.

作者简介：彭元双（1989.02—），男，土家族，湖南保靖人，硕士研究生，研究方向：微分方程与动力系统;陈国平（1964. 06—），男，漢族，湖南邵阳人，教授，博士，研究方向：微分方程与动力系统研究;董彦君（1991.07—），女，汉族，广西百色

人，助教，硕士研究生，研究方向：微分方程与动力系统。