一种非线性系统差的样条约束EMBET方法

沈鹏飞 崔乐园

摘  要：在靶场弹道解算和卫星轨道解算中，通过样条约束的EMBET方法对测元的系统误差的估计，大大提高了测量系统的解算精度。针对EMBET方法中通常只能估计常数、线性系统差的问题，提出了使用B样条描述非线性系统差，并可采用Gauss-Newton迭代方法对参数进行求解。经仿真验证，此方法可以较为准确地估计非线性系统差、线性系统差，适用于系统差函数不易描述的情形。

关键词：EMBET;非线性系统差;样条约束;B样条;误差估计;多径效应

Abstract：In the trajectory solution and satellite orbit solution，the spline-constrained EMBET method greatly improves the accuracy of the measurement system by estimating the systematic error of the measurement. To solve the problem that the EMBET method can only estimate the constant and the linear systematic error，the B-spline is used to describe the nonlinear systematic err，and the Gauss-Newton iteration method is used to solve the parameters. The simulation shows that this method can accurately estimate the linear and nonlinear systematic err，which is suitable for the situation that the systematic err is not easy to describe.

Keywords：EMBET;nonlinear systematic error;spline-constrained;B-spline，error estimate;multipath effect

0  引  言

在靶場弹道解算和卫星轨道解算中，为了达到更高的解算精度，往往采用EMBET方法（Error Model Best Estimate of Trajectory），通过充分利用测元数据的冗余信息，在弹道解算中估计出测元数据的系统误差，进而获得精确的目标轨迹。该方法是试验场外测系统开展经常性精度鉴定工作的一条较为有效和适宜的途径[1]。一般地，EMBET方法需要达到以下使用条件[2]：

（1）需要有多台测量设备同时跟踪测量，使得测量信息有足够冗余。

（2）需要有较长的观测弧段。从时间维度增加冗余。

（3）要有较好的观测几何，以减小误差模型系数间的相关性。

（4）测元数据随机差较小。

（5）具有与实际测量较为符合的、有效的、相对稳定的误差模型。

（6）使用较好的统计估计方法。

样条约束的EMBET方法认为目标的飞行轨迹是有规律的，在时序上是相关的，因此可用时间函数精确表示[3]。并且其样条模型符合弹道的物理规律，将位移、速度、加速度之间的关系通过样条的二阶连续可导函数展现，可以节省大量的待估参数，准确自校准系统误差，减小测元随机误差对弹道解算的影响，从而提高解算精度。

对于系统差中的常值误差，如多测速系统中设备的相位线性漂移误差[4]。在多篇文章中有论述和数据实验，而非线性系统差，常见的为大气折射修正残差，其表达式如下[5]：

R关于时间有非线性公式。而对于一般的、没有已知公式描述的非线性系统差，如设备低仰角时，多径效应产生的系统误差，本文提出采用B样条进行描述，并进行参数估计，从而分离非线性系统差，提高解算精度。测量过程中产生的非线性系统差，无论是设备本身、大气折射修正残差、多径效应等，一般均可认为是连续的随时间变化的函数。三阶B样条本身可以描述二阶连续可导的函数，加上节点的调节，可以完全描述上述误差。

1  B样条函数表示方法

B样条函数由样条参数和标准B样条函数构成，标准B样条函数可以分为等距节点和自由节点两种。等距节点为自由节点的特殊情况，自由节点B样条函数的定义如下[6]：

2  基于样条约束的非线性系统误差求解方法

在一般的弹道解算中，如果测量设备仅观测位置相关量，比如光学测角、单脉冲雷达测角和测距，仅需采用B样条函数表示位置即可。在高精度弹道解算中，往往有测速测元参与，观测量与位置、速度均有关，故在解算中既需要用B样条函数表示位置，也需要表示速度，才能建立观测方程组。

在式（9）、式（10）中，n1、n2、n3、n是三个分量和测元系统差的内节点个数。式（9）的实际意义是用样条函数系数 ， ， 来代表时间段[a，b]内一段弹道的位置和速度，式（10）的实际意义是用样条函数系数  来代表时间段[a，b]内某测站的系统差。假设在100 s的时间段内，共有2 000个采样点，逐点表示弹道需要12 000个参数，而用样条函数（采用1 s的节点距）只需要600个左右的参数就可以足够精确地表示出来，这一优点在通过测量方程解算弹道时充分体现出来。仿真计算表明，采用样条函数逼近弹道的精度很高，对于平稳飞行段，位置表示精度达到10-5 m，速度表示精度达到10-4 m/s，它同样可以精确地表示连续的非线性误差。

非线性最小二乘问题式（13）不能直接求解[7]，一般采用迭代解法，比如Gauss-Newton算法、Marquardt算法、Hartley算法、Fletcher算法等。本文采用的是Gauss-Newton算法。针对非线性观测式（12），将其关于弹道位置、速度的初始弹道参数和系统误差参数进行泰勒展开，转化成线性方程，迭代求解B样条系数，再代入式（9）、式（10）获得B样条描述的弹道和非线性系统误差[8]。

3  实例

3.1  仿真条件

为了验证基于B样条约束的非线性系统误差的EMBET方法原理的正确性和弹道解算精度，本文采用某理论弹道的40 s自由段，采用在弹道两侧布站几何较好的8个测速站，测站测元为距离和变化率，采用理论弹道计算理论测元值，加入随机误差和以下两种系统误差分别进行仿真。

（1）测元随机差为0.03 m/s，在测站1上加入一个正弦函数系统差se=sin（w（t-t0）），w=1/4。

（2）测元随机差为0.03 m/s，在测站1上加入线性系统差se=0.1+0.01t。

3.2  估算结果

采用Gauss-Newton迭代方法解出弹道样条函数系数及系统误差样条函数系数，代入式（9）、式（10）得到弹道参数与系统误差大小。对于正弦系统差，分别有系统误差估计结果，如表1所示，同时解算出的弹道误差如图1～图4所示。

从表1可以看出，使用B样条描述系统差，不仅可以较为精确地估算出非线性系统差，还可以估计线性系统差。从图1、图2、图3、图4可以看出，在估计出系统差的同时此方法可以解出高精度的弹道。

4  结  论

本文实例中给出的是正弦函数系统差，代表的是无法使用有限泰勒展开进行近似的一類系统差。利用B样条描述系统差，具有可准确描述非线性函数和分段描述的优点，对多径效应等情形可以有效应用。实例中只对一个测站测元含有系统误差的情形进行了估计，针对多测元非线性系统误差情形需要进一步研究。

参考文献：

[1] 刘利生，杨永亮，曹坤梅，等.基于轨道约束“EMBET”技术的自鉴定方法及应用 [J].飞行器测控学报，2002，21（4）：70-73.

[2] 刘炳申，刘春魁，杜海涛.靶场外测设备精度鉴定 [M].北京：国防工业出版社，2008：345-346.

[3] 朱武宣，高耀文.基于样条约束“EMBET”的再入轨道测量数据融合方法 [J].飞行器测控学报，2005，24（6）：49-53.

[4] 郭军海，吴正容，黄学德，等.多测速雷达弹道测量体制研究 [J].飞行器测控学报，2002，21（3）：5-11.

[5] 黄捷.电波大气折射误差修正 [M].北京：国防工业出版社，1999：154-156.

[6] 郭军海.基于最优节点样条逼近的观测数据平滑方法[J].中国空间科学技术，2000，20（3）：43-48.

[7] 王正明.弹道跟踪数据的校准与评估 [M].长沙：国防科技大学出版社，1999：305-314.

[8] 陈伟玉，陈伟利，叶正茂.样条约束的EMBET中最优化问题与算法改进 [J].装备指挥技术学院学报，2002，13（4）：86-89.

作者简介：沈鹏飞（1989—），男，汉族，河南滑县人，工程师，硕士，主要研究方向：弹道数据处理、机器学习。