超酷的极限取值法

黄旭军

阿木老师走进教室，看到班长和一群同学在做一道题——有红、黄、绿三种颜色的手套各6双，装在一个黑色的布袋里，从袋子里任意取出手套来，为确保至少有2双手套颜色不同（手套不分左右手），则至少要取出几只手套？一帮数学高手正百思不得其解。

阿木老师提醒道：“这题可以先考虑最坏的情况，首先取出一种颜色的全部6双手套和其他两种颜色的手套各1只，再任意取出1只，就一定能得到2双不同颜色的手套。因此至少要取出2×6+2+1=15（只）。”

大家若有所思，班长说：“您这里提到的考虑最坏情况，和我在书上看到的极值法很类似。”阿木老师笑呵呵地说：“解决抽屉问题就是用到了极限取值法呀！”大家连忙竖起耳朵认真听！

阿木老师说：“如果大家能抓住研究对象中具备极端性质的某个对象加以分析、研究，一般就能化繁为简地解决问题，这叫极端性原理。今天我就给大家讲这个原理的应用——极限取值法。”

例1

小明在计算5×（□+8）时，一不小心忘记写括号了，这样算出的得数与正确的得数相差多少？

观察开始

初看，这是一道计算题，首先想到的是乘法分配律。可是那个方格里的数字不知道，对我们解题造成了一定干扰。

常规思路

正确的算式：5×（□+8）

看错的算式：5×□+8

我们可以用乘法分配律来解决问题。

正确的算式：5×（□+8）=5×□+5×8=5×□+40

看错的算式：5×□+8

相互比較，一个是5×□+40，另一个是5×□+8，相同部分是5×□，所以相差数就是看40与8相差多少，40-8=32。

答：算出的得数与正确的得数相差32。

另辟蹊径

用极限取值法，把□里的数取作“0”。

正确的算式：5×（□+8）=5×（0+8）=40

看错的算式：5×□+8=5×0+8=8

两数相差：40-8=32

例2

甲、乙两个人轮流往一张圆桌上放同样大的黑、白棋子，唯一的规则是任意两颗棋子不能重叠，谁放完最后一颗后，对方无法再往上放，谁就是获胜者，你有必胜的策略吗？

观察开始

这是一个策略问题，这里用了圆桌。圆桌是个圆形，圆形是一个对称图形。

常规思路

先放的有必胜的策略。只要一开始就放一颗棋子在桌子的正中间，然后每次看对方把棋子放哪里，你就放它的对面。因为圆形是对称图形，这样无论对方把棋子放哪，你总能找到与之对应的点，直到最后让对方没有地方放置棋子！只要执行这个策略，后放的必输！

另辟蹊径

用极限取值法更简便。假设圆桌只有一颗棋子的大小，那么先放的那个人第一次就放满了，他就会获胜！