基于Python平台的非线性物理课中的数值“实验”课

刘彬 陈雄伟 李潮龙 秦锡洲 黄纯青 黎永耀

[摘 要] Python作为一种现代化计算机程序设计语言，因其语言的清晰简洁、易读和可扩展性被广泛地应用于脚本与软件开发，同时也被众多科研学者应用于科学计算研究。基于Python语言强大的科学计算功能，让学生尽早接触这种有广阔应用前景的语言，并将其引入到非线性物理的数值“实验”教学上将具有特殊意义。我们在非线性物理课程中，利用Python语言，组织学生对标准非线性薛定谔方程进行数值求解，并将数值模拟的结果与精确解对比。结果表明，Python语言能够简单清晰地展示物理现象及过程，因此更直观地加深了学生对非线性问题的理解。

[关键词] 非线性物理;Python;非线性薛定谔方程;孤立子

[基金项目] 国家自然科学基金项目（11905032，11874112，11575063）;广东省青年创新人才类项目（2018KQNCX279）

[作者简介] 刘 彬（1988—），女，湖北松滋人，博士，佛山科学技术学院物理与光电工程学院讲师，主要从事非线性动力学研究。

[中图分类号] G642.0    [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2020）29-0292-02    [收稿日期] 2019-09-24

客观世界多姿多彩，世界复杂性和多样性的根源在于其本质上是非线性的。对于一个系统，当输出和输入不成正比，我们就认为该系统是非线性系统。从数学的角度来说，非线性系统的一个主要特征是不再满足迭加原理，而迭加原理失效的一种方式是方程本身是非线性的。这里讲解的孤立子是20世纪非线性科学的一个重要发现，其概念可以追溯到1834年，英国工程师J.Russell观察到河道中单个凸起的水峰可以保持形状不变而传播很远的距离并将其称之为“孤立波”，接着荷兰著名数学家D.Korteweg和他的学生在研究浅水波的运动时，推导出单向运动的浅水波运动方程，即KdV方程，随后孤立子的研究得到了蓬勃發展，并快速延伸到生物、通信等各个科学研究领域。在物理上，孤立子是非线性系统中色散效应和非线性效应达到平衡时的结果，一般可由非线性薛定谔方程来描述。

我们熟知的非线性薛定谔方程是非线性偏微分方程，仅在极少数情况下有精确求解。例如，仅当满足可积条件时才能利用Darboux变换的方法求解，于是数值方法成为研究非线性问题的一种主要的研究手段。因此在本科教学中，适当地引入数值计算教学对学生理解和掌握相关的物理现象及本质有着重要的意义，同时让学生尽早接触这种有广泛应用前景的语言，有利于对学生基本功的培养并对日后的科学研究打下坚实基础。

提及传统的数值实验工具，人们常会联想到Matlab[1，2]，Matlab虽然是一种很方便的数值模拟工具，但其冗余，庞大，而且是一款价格不菲的商用软件，因此，有没有可能采用更轻便和免费的软件去替代？Python相对于Matlab来说，就具有了免费、开源、语言严谨、书写格式统一而易学习的特点，也因其具备强大而丰富的库、可扩展性和数据分析功能而被应用于人工智能，也被中国学者应用于气象数据处理，同时也被众多科研学者应用于科学计算、实验数据处理等，一些知名大学已经在本科阶段开设利用Python来讲解程序课程设计。Python语言诞生于20世纪90年代初，其创始人是荷兰人吉多·范罗苏姆。我们通过将Python语言引入到非线性物理的课程中，将有利于学生更方便的理解和学习到这种先进的语言，同时也可以更好的学习到如何采用数值方法解决物理问题。

本文通过编写Python程序去模拟非线性物理中的经典方程来引入这堂数值实验课。在这堂数值实验课中，我们将会安排学生用Python去模拟非线性薛定谔方程。非线性薛定谔方程是一条经典的非线性方程，在理论物理、光学、工程动力学等学科中都有重要的理论研究与应用价值。

当光脉冲宽度在皮秒范畴内，且光纤损耗为零的情况下，描述光脉冲在单模光纤内传输的数值模型写成无量纲的形式即为如下形式的非线性薛定谔方程[2]：

下面我们仅讨论γ=1时的亮孤子解。根据迭代格式（3），我们给出其在Python语言下的虚时间演化代码。根据参考文献可知其自聚焦情况下的亮孤子解的具体形式为Ax，t=Msech（Mx）exp（it/2）。下图给出了我们的数值计算结果和精确解的对比，可以看到数值结果与精确解符合的很好。传输图像展示了数值解稳定传输的结果。

通过上述例子，我们采用数值计算模拟方法，简单快速地获得一维非线性薛定谔方程的亮孤子解并验证了稳定性。其与解析结果的一致性免除了解析计算过程中复杂的数学技巧，而通过Python作图语句将解的形式展示出来，这样能让学生更容易、更直观地去理解物理的概念，也锻炼了学生的思维能力。

参考文献

[1]黎永耀，麦志杰，吴剑雄，等.基于Matlab平台下量子力学课中的“实验”课[J].赤峰学院学报，2011，27（10）：13-14.

[2]黎永耀，刘丹，吕英红，刘岩.量子力学中基于离散化空间的一维定态问题的快捷数值实验[J].赤峰学院学报，2015，27（10）：13-14.

[3]贾东方，等，译.非线性光纤光学（第5版）[M].电子工业出版社，2014.