高等代数竞赛中的思想与方法教学探讨

[摘 要] 高等代数竞赛需要扎实的基础知识，注重数学思想的理解，以及解题技巧的运用。文章以高等代数中几个重要关系与概念及其引入源为切入点，以特定的高等代数竞赛试题探讨数学思想以及解题技巧在课程学习乃至竞赛辅导中的教学。

[关键词] 高等代数竞赛;杨辉三角;线性变换

[基金项目] 2018年度中国矿业大学教学研究一般项目“从基础实践到竞赛辅导的高等代数教学改革与实践”（2018YB29）

[作者简介] 夏春光（1984—），男，江苏宿迁人，理学博士，中国矿业大学数学学院副教授，主要从事李理论及其表示理论研究。

[中图分类号] G642    [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2020）30-0232-02    [收稿日期] 2020-01-05

一、引言

高等代数是相对于初等代数而言的，是代数学发展到高级阶段的总称。初等代数是从解最简单的一元一次方程开始的，进而一方面讨论二元及三元一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数学讨论多个未知数的一次方程组（也称为线性方程组）同时还研究次数更高的一元方程。发展到这个阶段，就叫做高等代数。现在大学本科数学专业开设的高等代数课程[1-7]一般包括：多项式理论和线性代数理论。

为了激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才，中国数学会于2009年开始主办全国大学生数学竞赛。该竞赛[8，9]每年举办一次，分为数学专业类竞赛和非数学专业类竞赛，其中数学专业类竞赛高等代数考题占比35%，内容涉及多项式、行列式、线性方程组、矩阵、双线性函数与二次型、线性空间、线性变换、若当标准型以及欧式空间等内容。

要想获得好的高等代数竞赛成绩，学生需要有扎实的基础知识，需要注重数学思想的理解，同时也需要注重解题方法与技巧的运用。在高等代数课程中，矩阵的合同关系与相似关系是矩阵的两种重要的等价关系，考虑在这两种关系下的标准型，分别对应合同变换与相似变换。进一步，对于实对称矩阵，可以同时考虑合同变换与相似变换，也就是所谓的正交相似对角化问题。行列式是作为基本的数学工具，也是高等代数课程中的重要学习内容。杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。

文章先从教学的角度回顾矩阵的合同关系，相似关系，正交矩阵以及相应的引入源。然后推广二阶行列式的定义，回顾杨辉三角及相关的组合式。最后以竞赛题实例应用上述知识。

二、几个重要关系与概念及其引入源

1.矩阵合同关系及引入源。在高等代数课程中，讲解二次型时会引入矩阵的合同关系。设A，B为两个方阵，如果存在可逆方阵C，使得C■AC=B，则称方阵A与B合同。从线性变换的角度来看，若方阵A与B合同，则对矩阵A作合同变换必可得到B。这里一次合同变换指的是作一次行变换，然后再作一次相同的列变换。其引入可表述如下：已知一个二次型的矩阵为A，二次型经非退化线性替换变为新的二次型，若新的二次型的矩阵为B，则矩阵A与B相互合同。

2.矩阵相似关系及引入源。在高等代数课程中，讲解线性变换时会引入矩阵的相似关系。设A，B为两个方阵，如果存在可逆方阵C，使得=B，则称方阵A与B相似。其引入可表述如下：已知一个线性空间上有一个线性变换，设线性变换在一组基下的矩阵为A，在另一组基下的矩阵为B，则矩阵A与B相似。

3.实正交矩阵及引入源。在高等代数课程中，讲解欧式空间时会引入正交矩阵的概念。设A为实对称矩阵，如果其满足E，则称方阵A是正定的。其引入可表述如下：已知一个欧式空间上有两个标准正交基，设从其中一个标准正交基到另一個标准正交基的矩阵为A，则矩阵A是正定的。

三、行列式与杨辉三角

1.行列式的推广。行列式的概念最早是由17世纪德国数学家莱布尼兹在解线性方程组时引入的。众所周知，一般二阶行列式定义为：a bc d=ad-bc在上述二阶行列式的定义中，如果将四个数a，b，c，d替换为四个至少二阶的方阵，结论一般是不成立的。也就是说，若A，B，C，D为四个至少二阶的方阵，下列等式未必成立：A BC D=AD-BC自然的问题是：增加适当的条件，是否可以让结论成立呢？事实上，加上条件A≠0（或C≠0）以及AC=CA即可保证结论成立。可以利用分块矩阵的初等变换来证明，细节留给读者补充完整。

2.杨辉三角与组合式。给定一个正整数n，如下呈三角形排列的数就称为杨辉三角：

其特点是，三角形的两条“腰”上的数字全为1，其余数字均等于其“肩上”两个数字之和。此种数表最先是由中国北宋年间贾宪于1050年进行高次开方运算时引入，因而也称为“贾宪三角”。中国南宋数学家杨辉于1261年在《详解九章算法时》收录了上述数表。法国数学家帕斯卡于1654年也发现了此种数表，因而也称为“帕斯卡三角”。杨辉三角的第k数字是二项展开式（1+1的组合系数。因而根据杨辉三角的左右对称性很容易得到组合等式

四、应用实例与总结

设实式（相似矩阵为分块对角阵diag（C，C））。利用推广的二阶行列式等式可.

通过以上实例可以发现，在教学实践过程中，首先要注重学生对基础知识的掌握，特别是高等代数中一些重要概念的属性：是什么，为什么（引入源），怎么用等问题。其次要引导学生发挥自学能力，能够结合自己的知识推广已知的结论。最后还要启发学生融会贯通所学知识，从而解决有难度的问题。

参考文献

[1]北京大学数学系前代数小组编.王萼芳，石生明修订，高等代数[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]席南华.基础代数（第一、二卷）[M].北京：科学出版社，2016.

[3]孟道骥.高等代数与解析几何[M].北京：科学出版社，2014.

[4]丘维声.高等代数[M].北京：科学出版社，2013.

[5]姚慕生，吳泉水，谢启鸿.高等代数学[M].上海：复旦大学出版社，2014.

[6]蓝以中.高等代数简明教程[M].北京：北京大学出版社，2007.

[7]张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007.

[8]李汉龙，隋英.大学生数学竞赛指南[M].北京：国防工业出版社，2014.

[9]张天德，窦慧，崔玉泉.全国大学生数学竞赛辅导指南[M].北京：清华大学出版社，2014.

Discussion on the Thinking and Methods in the Contest of Advanced Algebra

XIA Chun-guang

（School of Mathematics，China University of Mining and Technology，Xuzhou，Jiangsu 221116，China）

Abstract：Students need sturdy basic knowledge，deep understanding of mathematical thinking，and techniques for solving problems in the contest of advanced algebra.This paper starts with some important relations，concepts and their origins in advanced algebra，and then discuses mathematical thinking，basic knowledge and techniques for solving problems in the course and contest of advanced algebra via concrete contest question.

Key words：contest of advanced algebra;Yang Hui triangle;linear transformation