利用洛必达法则巧解函数中的参数问题

周杨

摘 要：求解函数中的参数问题是高考考查的重难点，同时变量求解也是比较常见的问题。利用参变分离法、洛必达法则，借助将函数不等式问题转化为恒成立问题的思想可解决函数中的参数求解问题，结合例题分析解题思路并与常规方法进行比较。

关键词：参变分离法;洛必达法则

变量求解问题是比较常见的问题，在很多领域都会遇到，在某些条件下已知一个或多个变量的取值范围时，通常就会想利用已知变量求出其他变量的取值范围。如果把这样的问题转化为数学问题可看作函数中的参数求解问题，所以解决函数中的参数求解问题就有效解决了很多实际遇到的变量求解问题，而且近几年的数学高考压轴题也会出现函数与导数中的参数求解问题，这对于学生来说也是难点。函数中的参数求解问题以往解决这类问题通常设函数，讨论函数的单调性、极值点、图像等性质，多数需要分类讨论，计算过程繁杂不易求解，甚至有时函数在最值点处又出现没有定义的情况导致无法求解。若参变分离法将其转化为不等式（等式）恒成立问题是易于理解的，对于恒成立问题的解决关键步骤是函数求最值，有部分问题利用参变分离法将问题转化为恒成立问题，即将参变量分离到不等式（等式）的一侧，若另一侧出现“00”或“

”型的代数式，我们只需求“00”或“

”的最值（例如，若a

f（x）恒成立，我们只需求的f（x）最小值即可）。而对于“00”或“SymboleB@

SymboleB@

”型的代数式的最值求解可利用洛必达法则，数学分析中的洛必达法则是求极限常用的方法之一，可有效求解“00”或“SymboleB@

SymboleB@

”型不定式的极限，因此基于洛必达法则是很好的选择。

1 预备知识

定义1.1在给定的平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x=f（t）

y=φ（t）（1），且对于t的每一个允许值，由方程组（1）所确定的点（x，y）都在这条曲线上，那么方程组（1）称为这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数称为参变数，简称参数[1]。

定理1.1洛必达法则

若函数f（x）和g（x）满足：

（1）limx→x0f（x）=limx→x0g（x）=0（或SymboleB@

）;

（2）在点x0的某空心邻域内两者都可导且g′（x）≠0;

（3）limx→x0f′（x）g′（x）=A，则有limx→x0f（x）g（x）=limx→x0f′（x）g′（x）=A。[2]

2 解题思路及例题分析

例1 函数f（x）=lnxx+1+1x，若当x>0，且x≠1时，有f（x）>lnxx-1+kx，求k的取值范围。

方法一：由题意，f（x）=lnxx+1+1x>lnxx-1+kx，-2lnxx2-1+1-kx>0，整理得：11-x22lnx+（k-1）（x2-1）x>0（为后续求导计算方便这里提出11-x2）。令g（x）=2lnx+（k-1）（x2-1）x，（x>0），则需0

g（x）>0或x>1

g（x）<0，g′（x）=2x+（k-1）·2x-（k-1）（x2-1）x2=（k-1）·（x2+1）+2xx2，再令h（x）=（k-1）x2+2x+（k-1） （x>0），

①设k

0，h（x）=kx2+1-（x-1）2

0 即g′（x）

0，所以g（x）在（0，+SymboleB@

）上單调递减，又g（1）=0，所以当x∈（0，1）时，g（x）>0，当x∈（1，+SymboleB@

）时，g（x）<0，均满足f（x）>lnxx-1+kx;

②设00，当x∈（1，11-k）时，h（x）>0即g′（x）>0，所以g（x）在（1，11-k）上单调递增，又g（1）=0，所以g（x）>0，这时11-x2g（x）<0，即f（x）

③设k1，h（x）=（k-1）x2+2x+（k-1）>0，即g′（x）>0，所以g（x）在（0，+SymboleB@

）上单调递增，又g（1）=0，当x∈（1，+SymboleB@

）时，g（x）>0，同②不符合题意。

综上，k

0。

方法一解题困难点较多，分情况讨论的分界点其实就蕴含很多运算和函数图像的分析，分类讨论情况多，稍有不慎容易思考不周全，整个解题思路较难理解。

方法二：由题意，lnxx+1+1x>lnxx-1+kx（x>0且x≠1），分离参数得，k<-2x·lnxx2-1+1，只需k<-2x·lnxx2-1+1min

令g（x）=-2x·lnxx2-1，g′（x）=2x2lnx+2lnx-2x2+2x2-12=2lnxx2+1-2x2+1+4x2-12=2x2+1x2-12lnx+2x2+1-1

再令h（x）=lnx+2x2+1-1（x>0且x≠1），h′（x）=1x+-2·2xx2+12=x2-12xx2+12>0。

所以，h（x）在（0，+SymboleB@

）单调递增，又h（1）=0，所以，当x∈（0，1）时，h（x）

）时，h（x）>h（1）=0，即g′（x）>0，g（x）单调递增，所以由洛必达法则limx→1g（x）=limx→12x·lnx1-x2=limx→12lnx+2-2x=-1。

所以，k

0。

方法二解题思路：函数中的参数问题，先将参数k分离到不等式一侧，不等式另一侧为“00”型未定式[34]，将其设为一个新的函数，讨论分析函数的单调性并利用洛必达法则求函数最值，从而求出k的范围，整体思路便于理解，计算简便。

例2（2017年全国卷II.理21节选）已知函数f（x）=ax2-ax-xlnx，且f（x）0，求a。

解题思路：本题仍为函数中的参数问题，先分离参数将问题转化为不等式恒成立问题，此题需要分类讨论，分析函数的单调性再利用洛必达法则求解函数最值，继而求出a。

解析：由已知可得x>0，则f（x）0，即ax-a-lnx0 a（x-1）lnx

①当x>1时，则alnxx-1恒成立，只需alnxx-1max，

令g（x）=lnxx-1 g′（x）=1x（x-1）-lnxx-12=1-1x-lnxx-12，

令h（x）=1-1x-lnx h′（x）=1x2-1x（x>1） 所以h′（x）<0

h（x）在（1，SymboleB@

）上单调递减，而limx→1+h（x）=0 所以h（x）<0，即g′（x）<0。

所以g（x）在（1，SymboleB@

）上单调递减，limx→1+g（x）=limx→1+lnxx-1=limx→1+1x1=1，即gmax（x）=1，所以a1;

②当0

lnxx-1min，同上①，可得g（x）=lnxx-1在（0，1）上单调递减，limx→1-g（x）=limx→1-lnxx-1=limx→1-1x1=1，即gmin（x）=1，所以a

1。

综上，a=1。

3 小结

对于恒成立问题中求参数取值范围，参数分离较易理解，但有些题中求分离出来的函数式的最值求解较为麻烦，有时即使可以求得最值点，但函数在最值点处又出现没有定义的情况，使得计算无法进行，出现此类情况时，利用洛必达法则求“00”或“SymboleB@

SymboleB@

”型函數式的极限，可以较好地解决其最值问题，得出正确答案，思路清晰容易理解。

参考文献：

[1]傅光国，等.参数方程[M].四川人民出版社，1986.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2012.

[3]景慧丽，郑丽娜.一元函数00型极限求解方法探讨[J].高等数学研究，2018，21（6）：1012.

[4]叶丽颖.洛必达法则在极限中的应用[J].科技风，2020，2：6667.