初中数学教学中数形结合思想的应用方法探析

朱适宜

摘 要：初中阶段是学生学习生涯中最重要的时刻之一。初中数学学习有利于学生思维能力的全面发展。在此期间，初中数学学习中最重要的事情就是引导学生找到合适的学习方法和学习习惯。数形结合思想是数学的重要思想，是一种初中生学习数学的重要方法，新课程改革要培养学生的创新能力，让学生自主地进行探究式学习，教师采用数形结合思想进行教学，可以有效地培养学生的数学思维能力，促进学生的数学思维，即在数学学习中应尝试思考，探索性思维的转变。鉴于此，结合教学经验，探索数形结合思想在初中数学教学中的应用方法。

关键词：数形结合;教学思想;实践研究

一、引言

全面实施素质教育的真正内涵就是将教育的内容、教学实习的内容与实际的社会需要相结合，培养新型的综合化人才。传统的教学模式有弊端，学生通常在学习上比较被动，而在学习方法上则比较死板。为了改变这种教学方式，提高学生的综合能力，必须积极开展素质教育。素质教育中最重要的思想是数形结合思想。数字和图形是数学中两个最基本的因素，它们相互影响、转化和联系。几何和代数的结合是一种重要的教学方法。几何可视化和代数精确性的结合可以促进学生抽象、形象、知觉和理性思维的全面进步，从而使学生可以更有效地掌握数学问题的本质，更有效地解决问题，由此可见，在初中数学教学中运用数形结合的思想是十分必要的。

二、数形结合思想综述

从数学学科内涵的角度分析，数学就是一门将“数字”与“形状”相结合的学科。“数字”主要包括数字、单词、数学公式、数学概念、数学定理、数学结构等方面的概念和命题。“形状”主要包括图像、图形等。罗增儒从信息处理理论的角度阐述了对数形组合的思想，他指出，“数字”与“形状”的结合不仅可以体现数学立体的思维，更可以为解决数学问题提供有效的方法论。在解决数学问题的过程中，当形式问题本身无法准确表达时，可以通过数字的抽象属性准确地表达形式的各种特征。相反，当某些事物不能用数字来描述时，可以用形式来具体表示。徐斌艳提出，数字与形状的结合是对数学问题的综合研究，将抽象的定量关系与直观的图形关系结合起来，使两者之间相互作用，从而实现相互转化。张同军认为，数字和形状的组合是解决数学问题并揭示问题深层结构的一种方法，以便充分利用代数和几何这两个主要工具。徐文龙在对普通本科生的调查中发现，普通高校用数字帮助形式的能力要强于用数字解决形式的能力。陈月兰在对初中生“数形结合”能力的调查中发现，初中生“利用形状帮助理解数字”的能力相对较弱，如一次函数教学中“可视化”的方式更容易理解。其中，学生的原始数学知识水平和学生的数学思考习惯会影响学生的数形组合和变换能力。

三、数形结合思想在初中数学教学中的应用价值

（一）有利于帮助学生形成完整的数学概念

对于数学概念的理解是学习数学知识的起点，是学生建立数学思维的根基，是培养学生逻辑思维的核心，也是学生学习数学知识的最基本部分。数学概念是所有知识点的本质，是知识的集中，是人们认识知识从知觉到理性过渡的桥梁。数学学习中的知识概念通常是无聊的、单一的、枯燥的。一个模型相对应一个概念，从模型的感知知识到理性认知，都对学生有利，并形成一个完整的数学概念，结合思想的数字形式是從数和形两个方面讲数学概念，有助于加深学生对数学知识的理解。

（二）有效帮助学生建立数学认知思维

数学的认知结构和认知思维对于学生掌握学习的技巧和方法是十分重要的，其中主要包括学生现有的数学概念、内容以及整个数学知识的结构。有关数学的认知结构都是将数学各部分的知识进行联系的，并且数学都有自身的一些法则存在的，这些法则是数学概念、公理、定理、方法之间的相互渗透。数形结合的思想可以让学生将自己的数学认知结构进行再次的优化。主要是数形结合可以将学过的知识进行相关的联系，建成一个数学知识的网络。另外，让学生对原有的知识加深理解，使学生对新知识的学习有更深刻的理解和认识。其次，在有关初中数学的教材中，数学知识都是先对数学概念进行理解，再利用图形或者是数学知识框架进行疏导，使得学生对知识更好的理解。数和形的结合具有优化学生知识结构和改变学生学习习惯的优势。

（三）帮助发展形象思维

学生在发展形象思维的时候，一般都是通过具体的事物或者是具体的图形来发展形成的。在数学教学中，教师也可以根据学生思维发展的情况来进行教学。数形结合的思想将数学中的相关知识与图形相结合，使学生可以更好地理解数学知识，让学生对数学的学习更加有信心。学生通过对大量图形的记忆和储备，使其形象思维可以得以建立和发展。在初中数学学习中，大多数的数学概念或者定义，很多都是建立在图形结构的基础上，才使得很多的数学题目可以更容易得到解答。例如在学习“反比例函数”的时候，我们通过该函数呈现出的图形结构，可以很直观地看出，反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线。当k大于0时，双曲线的分支位于第一象限和第三象限，并且y值随x的增加而减小。当k小于0时，双曲线的分支在第二和第四象限中，并且y值随着x的增加而增加。当学习其他的数学知识，如平方差的相关公式，教师也可以通过对图形的补充或者是切割等方式，将该公式和图形结合起来一同学习，可以让学生对其知识更加理解，也有利于其发展图形的想象力。

（四）帮助学生提高解决问题的能力

我们对于数学的学习，主要通过知识的学习来解决一些问题。学生掌握一些数学思维在一定程度上影响学生解决问题的能力。数形结合在初中数学学习中占有较大的成分，也是初中数学的重点学习内容，可以帮助学生提高对数学问题的解决速度，也可以让学生找到问题更好的解决方式。例如，设k∈R，关于7x2-（k+13）x+k2-k-2=0的一元二次方程，有两个实根x1，x2且满足0

（五）有助于激发学生的学习兴趣

大部分初中生对于数学的学习有所畏惧，甚至是完全不喜欢数学学科，一方面觉得数学学科的内容比较枯燥乏味，另一方面认为数学学科的学习具有难度。面对这样的教学现状，初中数学教师应该采用更加形象和生动的方式进行授课。数形结合就是一种比较有效的方式，将数学知识的原理通过直观的数字和形态表现出来，让学生更容易形成客观的形象思维，在理解的基础上运用，这样学生就不会觉得数学只是冰冷而无趣的数字。例如，在三角函数的研究中，找到15°的三角函数的值。由于学生从未接触过这样的角，初看题目时，大部分学生不能第一时间进行正确的回答。如果在教学过程中，授课教师可以通过数形结合的方式，将其与30°的特殊角度相关联，形成图形来展示，学生将会更好地理解该知识点。

四、数形结合思想在初中数学教学中的合理化应用探究

（一）以数解形

“数”和“形”是数学表达形式中最常见的表达形式之一，这二者是对立且统一的，因此将合理的教学过程以图形组合的形式引入到定量关系数中，可以更好且直观地显示数学的关键知识点，也可以让具有代表性的数学问题变得更为简单和更加的具体直观，从而可以加强学生的数学理解能力，使学生了解数学学习中的几何知识，这种能力为以后开展几何教学奠定坚实的基础。在数字和形状的组合中，通过数字求解形状的方法不仅可以显示图形信息，而且可以更好地分析几何图形。教师采用数字与形状相结合的方法，主要是分析学生的数值部分，但教师要注意这样一个事实，即学生在初次接触这个概念时，在这种情况下很难形成直观的学习认知，并且知识内容掌握不牢。如果理解上存在偏差，将会对后续学习产生负面影响。因此，教师需要将数字和形状组合的概念整合到他们的教学中。当学生不理解数字时，应使用图形作为补充。当学生不理解图形时，应使用数字直观地表达。如教师在教授学生有关三角形知识的时候，可以将三角形的相关定理和图形更好地结合，既要向学生展示黑板上的勾股定理，又要画出三角形直角边图形，并在其图形上分别标出3厘米、4厘米、5厘米，要求学生在原始图形的前提下进行各个边的比例拓展，将拓展好的图形绘画出来，并使用勾股定理的公式，让学生观察其中的图形符合勾股定理a2+b2=c2。总之，学生可以通过观察和思考形成良好的思维，也可以将数形结合的思想灌输到大脑中，促进其思维的拓展。

（二）以形助数

在数形结合思想中，最常见的方法之一是使用数字作为辅助工具。以形助数的应用可以在解决代数问题中发挥非常好的作用。同时，它也可以用于分析和解决其他类型的数学问题，以帮助学生或者是教师简单地处理数学问题。以形助数的数学方法在分析和解决函数问题方面非常有效。例如，一次函数的计算：直线y=k-2x与x轴和y轴相交以形成一个三角形，该三角形的面积为9，那么k的值是多少。在分析此问题时，老师需要让学生使用数形结合思想来解决该问题。通过引入已知条件，我们可以首先在坐标系中画一条线，展开对该线的观察，我们会发现该线与坐标轴之间的交点是两个特殊坐标，通过这两个坐标可以建立一个求解k值的方程组。另外，如果该题目是平行四边形的边是10和20，并且它们之间的夹角是60度，则面积是多少？要分析此问题，我们还可以使用数字和形状的组合，首先绘制一个平行四边形并确定其高度。如果看一下所画出来的图形，就会发现高线在两个相邻边周围形成一个直角三角形。在这一点上，我们可以知道，在已知条件下，一个内角为60度，我们可以通过使用正弦定理，计算出平行四边形的高度，然后使用平行四边形的面积公式来计算其面积。

（三）数形变换

无论是通过以数解形还是以形助数，都向我们充分展示了数形结合的优势。实际上，当我们解决实际问题时，许多数学问题都可以应用数形结合的思想。当然，我们要做的不仅以数解形或是以形助数，还需要灵活地将两者进行转换，学会灵活应用，从而理解问题的含义，才能有效地解决问题。利用数字和形式的结合，将数学问题转化为容易的问题，扩大思维范围，找到解决问题的便捷有效的方法，提高解决问题的效率。数形贯穿初中数学的两个主要方面，即数量和图形。数形的结合不仅可以帮助学生提高学习效率，而且可以提高学生对学习数学的兴趣。无论是从数到形，还是从形到数，都不需要学生具备代数运算，图形变换的基础和习惯。采用数形结合的方式方法可以使抽象问题更加具体化，使复杂问题更加简单化，使粗略的问题更加精确化，从而拓宽思维范围，使解决问题的思路更加清晰。

五、对初中数学教学中数形结合思想实施的建议

（一）教师要系统讲解数形结合的思想

在教学过程中，教师应为学生系统地讲解数形结合的思想，并教导学生在什么情况下运用数形结合的方式方法，把握时机，不能盲目使用，以便学生全面理解和认识这个思想。例如，在一次函数教学中，教师会给学生列出几个特殊的一次函数供他们学习和讨论。当学生理解这些一次函数时，教师不应忙于完成探究，而应进一步探索一般函数，并根据一般函数的特性进行图形演示。例如，在解释了y=kx之后，教师可以进一步解释y=kx+b的图形含义，通过此种方式让学生去感受函数、了解函数。除此之外，教师在初中数学教学中不仅要运用数形结合的方法，更要引导学生主动使用数形结合的方法。学生能够自觉运用数形结合，就会更好地帮助学生记忆数学知识，并在解答数学题目的过程中更有效地进行分析。在调查研究中，发现能够运用数形结合的办法记忆的学生要比直接死记硬背的學生效率更高。例如，在函数和二元一次方程组的教学中，不仅要讲解本节课的知识，还应使用数和形结合的方法，在内容上进行研究，帮助学生认识到用数的方法得到的方程组就是这两个二元一次方程所表示的直线的交点。这样，学生可以从不同角度分析同一问题，从而提高学生对数形结合思想的运用。

（二）培养学生对数形结合的应用

教师在给学生传授有关数形结合的相关知识时，教师要将其概念以及相关的知识内容详细地传授给学生，使学生可以彻底了解这方面的知识内容。教师要让学生“以数解形”或者是“以形助数”这些知识，使得学生可以更加灵活地使用该数学方法。另外，教师在传授该学习方法之前，要先让学生养成画图的习惯，并且让学生作出的图是准确的，并且在符合规定的范围内。教师可以利用课堂的时间，在课堂上结合所学的知识作图，只有教师自身将作图的规范意识做到位，学生才会自觉对其进行模仿和学习，这样教师给学生做出更好的示范。教师在教授作图时，要详细地跟学生做说明，点出作图的重点以及一些难点，让学生对图形有更深的了解。另外，教师也可以通过举出错误的案例，让学生了解到图形一旦作出，数学题目也将陷入困境，无法得到更好的解决，从而可以加深学生的记忆力，为以后的标准作图打下基础。

总的来说，数形结合思想作为一种实用的思维方式，已被广泛应用于初中数学教学中。这种思想的应用，使数学学习不再是简单无聊的数字游戏，有效的应用数形结合思想可以使抽象内容可视化，帮助学生更好地解决实际问题。数和形之间有效转换的过程也是数学思维的深化过程，数形结合的运用可以更好地培养学生的数学思维能力。以图像化的理解和教学方法对学生数学思维的培养有重要影响，有效促进学生抽象理解能力和逻辑思维能力的形成，促进数学学习的发展和进步。

参考文献：

[1]张良，冯毅夫.新课程标准下的初中数学“数形结合”思想应用分析[J].中华少年，2016（6）：12-13.

[2]孙秀兰.数形结合思想在初中数学中的教学研究及案例分析[D].伊犁师范学院，2018.

[3]王存邦.数形结合思想在初中数学解题中的应用研究[J].赢未来，2017（12）：263.

[4]梅海燕.数形结合教学方法在初中数学中的运用[J].中华少年，2017（34）：161.

编辑 鲁翠红