酉矩阵束方法的阵列稀布优化研究

徐 娟 张 月 赵建平

(曲阜师范大学 物理工程学院，山东 济宁 273165)

0 引言

天线是一种用来发射和接收电磁波的设备，被广泛应用于雷达、广播、导航等民用和军事领域.天线种类繁多，涉及的工作频带范围很宽[1].在实际的工程应用中，由于单个天线的辐射方向图的主瓣宽度较宽，天线的方向性及增益有限，故单个天线很难满足特定的需求.为了获得良好的天线特性，往往需要采用阵列天线.针对阵列天线的稀布优化是近年来的研究热点.对天线阵列进行稀布可以简化天线馈电系统，节约天线设计成本.Skolnik等人提出了经典密度加权方法[2].该方法的实现比较简单，得到的解可能是最优解，但是计算量比较大，且很多情况下得到的是接近最优解的次优解.穷举法[3]开始被应用于解决阵列天线优化设计问题.穷举法可以保证找到最优解，但是其运算量较大，且随着变量的个数呈指数规律增长，故穷举法不适合用于大型阵列天线的稀疏优化.国内学者姚昆提出分区动态规划方法[4].该方法适用于线阵的稀疏优化，得出峰值旁瓣电平较小的阵列.

随着计算机技术和智能优化算法的不断发展，很多优化算法被应用于阵列优化当中.用于稀布阵列天线综合的算法主要包括遗传算法[5,6]、粒子群算法[7]、矩阵束方法[8-10]、前后向矩阵束算法[11,12]、酉矩阵束算法[13].遗传算法是一种全局搜索算法，利用自然中优胜劣汰、适者生存的自然遗传规律实现对种群的进化.粒子群优化算法是由Kennedy和Eherhart首先提出的一种全局的随机搜索算法，被广泛应用于模式分类、函数优化、神经网络训练、模糊系统控制以及其它领域中.目前，许多文献将矩阵束算法应用于阵列的优化，但是该方法只适用于笔形波束方向图综合，对带相位加权的阵列，性能较差.这是由于矩阵束算法的矩阵运算是在复数域进行的，所以求得的阵元位置也可能是复数，需要进行近似处理，舍弃掉虚数部分，因此会产生误差.前后向矩阵束方法是矩阵束方法的改进型，该方法对与位置对应的极点施加必要的限制，使赋形效果更加精确.但是，这种方法没办法从根本上解决阵元位置为复数的情况.酉矩阵束算法将复数域运算通过酉变换变成实数域运算，这样一来可以提高算法的运算精度.相比于传统遗传算法和粒子群算法算法以及矩阵束算法、前后向矩阵束算法，酉矩阵束算法具有运算时间少，拟合精度高等优点.近两年，南京理工大学的陈如山教授团队使用酉矩阵束算法对阵列进行优化研究.但是也只是停留在理想的算法条件下，本文将酉矩阵束算法与全波仿真阵列进行结合，对仿真阵列进行稀布优化，进一步验证了算法的精确性和实用性.

1 酉矩阵束算法理论

假设空间中的一个阵元如图1.有M个阵元组成的面阵，第i个阵元的位置为(ri,θi,φi)，激励为Ri[13].ri代表阵元位置到坐标原点的距离，θi是阵元位置的俯仰角，φi是它的方位角，每个阵元都是全向辐射元.

图1 阵元的参考坐标

对期望方向图从u=-1到u=1和v=1到v=-1等间隔进行采样，采样点数分别为M、N.则m=-S,-S+1,…,S-1,S；n=-T,-T+1,…T-1,T；M=2S+1；N=2T+1.任意采样点的值为

其中wx=kdxΔ1，wy=kdyΔ2，Δ1=1/S，Δ2=1/T.

采样数据构成增广矩阵

矩阵中

其中B、C满足

Πe1、Πe2的维数分别是BC×BC、(M-B+1)×(N-C+1).Ych1、Ych2是酉矩阵，维数分别为BC×BC、2(M-B+1)(N-C+1)×2(M-B+1)(N-C+1).一个G×G维的酉矩阵表达式为

对矩阵Dr进行奇异值分解Dr=U∑∑H,矩阵Dr的奇异值为{σi}，∑=diag{σ1,σ2,…,σM,…,σW;σ1≥σ2…≥σW}.

舍弃掉∑中一些不重要的奇异值，可得Dr的低秩逼近矩阵

Q可通过下式确定

引入置换矩阵P

P=[pT(1),pT(1+C),…,pT(1+(B-1)C),pT(2),pT(2+C),…,pT(2+(B-1)C),…pT(C),pT(C+C),…,pT(C+(B-1)C)]T.

将特征值进行配对

引入变量β将F1、F2进行线性组合，进行对角化分解

βF1+(1-β)F2=T-1DT,

T为变换矩阵

Wx=TF1T-1,Wy=TF2T-1,

求解阵元位置

求阵元激励

其中

2 天线单元及阵列仿真

2.1 天线单元仿真

天线单元采用介电常数为2.2的Rogers 5880介质基板，采用同轴馈电的方式，单元如图2所示，单元尺寸为L=7 mm，W=8 mm，a=2.8 mm，b=1.6 mm，介质基板厚度h=0.508 mm，探针的半径为r=0.021 mm，仿真软件采用HFSS 13.0软件.建立仿真模型后，运行仿真软件，可以得到仿真结果.

图2 天线单元仿真正视图

图3 天线单元仿真侧视图

由图4单元的S11特性可以看出天线单元的工作频段约为32.5-34.2 GHz，中心频率约为33.4 GHz.由图5和图6得天线单元方向图增益为7.795 dB，波束指向为0°.

图4 天线单元S11 图5 天线单元的平面方向图

图6 天线单元的三维方向图

2.2 天线阵列仿真

由单元构成的一个9×9阵列如图7所示，阵元间距为波长的一半.运行HFSS仿真软件，得到阵列仿真结果.

图7 9×9阵列天线仿真模型

由图8可以看出天线阵列的中心频率同样在33.4 GHz处，通过比较图6和图10可以看出虽然阵列的三维方向图不如单元的圆滑，但是阵列的方向图增益比天线单元高出大约1.33 dB，更加容易满足对于增益有要求的工程.由图11天线单元和阵列的方向图对比，可以看出阵列的增益更优于单元.

图8 9×9阵列天线S11特性 图9 9×9阵列天线平面方向图

图10 9×9阵列天线三维方向图 图11 阵列与单元方向图对比

3 酉矩阵束算法稀布阵列

将天线单元的增益信息从HFSS仿真软件中导出，带入到UMP算法中，与算法中的阵因子相乘，进一步对阵列天线仿真模型进行稀布优化，算法运算软件采用MATLAB R2013b.对上述9×9阵列进行稀布，得到一个6×6的阵列，稀布率为44.4%.极大地减少了成本，降低了工程造价，同时也减少了阵元间耦合.UMP优化结果如图12-16.

图12和图13可以看出阵列优化前后方向图性能并未受太大影响，由图16平面方向图对比可以看出稀布后的方向图与之前阵列方向图拟合效果较优.由图14可看出使用UMP方法稀布后的阵列阵元排布比较稀疏，减小了阵元间的耦合.图15为稀布后的阵元激励，稀布后阵元的具体位置由表1给出.

图12 阵列天线稀布前三维方向图

图13 阵列天线稀布后三维方向图

图14 阵列天线稀布前后阵元位置对比 图15 稀布阵列阵元激励

图16 阵列天线优化前后平面方向图对比

表1 稀布后的阵元位置

由以上结果可以看出使用UMP对阵列进行优化，优化后的方向图性能与优化前相差不大，故阵列使用UMP方法进行稀布后的阵列方向图性能可以满足工程的要求.就阵元排布来说，稀布后的阵元排布更加稀疏，可以大大减少阵列阵元间的耦合效应，在满足方向图要求的同时节约了工程设计成本.

4 稀布阵列全波仿真结果

用UMP优化阵列后，将优化的阵元数目、阵元激励和阵元位置等结果带入HFSS仿真软件里，对稀布后的阵列进行仿真建模，得到稀布后6×6的阵列仿真结果，进一步与稀布前9×9阵列的仿真结果对比.

由图19和图20可以看出稀布后的阵列增益比稀布前只减少0.1 dB，基本可以满足工程的要求.另外，由图18可以看出进行稀布后的阵列的S11与满阵元的S11仅有可忽略不计的微小差异.由图17可以看出，稀布后的阵列图17(b)的阵元排布比图17(a)更为稀疏.

图17 稀布前后阵列仿真模型对比

图18 稀布前后仿真阵列S11对比 图19 稀布前后阵列平面方向图对比

图20 稀布前后阵列三维方向图对比

通过使用UMP方法稀布后的阵列仿真结果与满阵元时候的仿真结果对比，可以得出以下结论.(1) 稀布阵与满阵元方向图比较，增益损耗在可接受范围内，说明稀布优化后的方向图性能良好，可以满足我们日常工程项目的要求.(2) 稀布以后的阵元排布比稀布前的阵元排布较为稀疏，可以减少阵元之间的耦合效应，提高天线阵列的性能.(3) 阵元数目减少，可以节约工程成本，同时也降低了阵列系统设计时的复杂性.

5 结论

本文主要使用酉矩阵束的方法来稀布优化阵列，并对稀布后的陈列进行全波仿真验证.选取同轴馈电的天线单元，其中心频率在33.4 GHz处，选用此单元组成的9×9阵列使用酉矩阵束算法对其进行优化.稀布优化后的阵列其方向图与满阵元方向图拟合效果尚佳，于是在仿真软件HFSS里创建稀布优化后的阵列模型，将其运行结果与满阵元时的仿真模型结果相比较，其方向图增益只降低约0.1 dB，基本可以满足要求.另外，稀布后的阵元位置，在相同的口径范围内稀疏排布，减小了阵元之间的耦合效应，阵元数目减少了，节约了成本.优化算法与阵列全波仿真相结合，为以后稀布优化算法满足实际工程上的需求打下基础.

本文虽然将阵列单元的增益带入到优化算法的阵因子表达式中，但是并未充分考虑阵元之间复杂的耦合关系.在后续的研究工作中，可以将阵元间的耦合关系带入到优化算法中，使算法优化结果更为精确.另外，在实际工程里阵列的阵元个数达成千上万个，因此需要更为智能和高效的优化算法.