例谈促进深度思考的数学教学策略

王慧云

摘要：数学教学应该促进学生深度思考、发展思维。对此，可以有如下策略：以问题情境，促进学生主动地思考;以模型建构，促进学生数学地思考;以连环追问，促进学生深度地思考。

关键词：数学思维;深度思考;问题情境;数学模型

数学是思维的科学，是“思维的体操”。数学教学应该促进学生深度思考，进而发展思维。对此，可以有如下策略：

一、以问题情境，促进学生主动地思考

情境蕴含、产生问题，问题驱动、引领思维。为了促进学生深度思考，可以创设适当的问题情境，促使学生情智在场、具身投入，主动地思考。

例如，教学苏教版小学数学四年级下册《多边形的内角和》一课，可以设计如下逐步递进的探究问题，不断驱动、引领学生主动地思考：

（1）看到这一课题，你想到了什么？（明确学习起点）

（2）对于多边形的内角和，你想知道些什么？（明确学习任务）

（3）面对这些问题，你觉得该如何有序地开展研究？从哪种图形入手？（明确研究方向）

（4）回顾一下，我们研究三角形的内角和时，采用了哪些方法？这些方法对今天的学习有哪些借鉴呢？（明确研究思路）

（5）你已经知道了哪种四边形的内角和？是多少度？你觉得一般四边形或者说任意四边形的内角和会是多少度呢？（明确常规方法）

（6）除了量和拼，我们能否换个思路，想想还有其他的方法吗？既然我们已经学过三角形的内角和是180度，那么能否把四边形分割、转化成三角形呢？最少能转化成几个？

（7）和刚才量、拼的方法比起来，你觉得这种分割的方法如何？如果给你任意一个四边形，你会用这种分割的方法得出它的内角和吗？

（8）我们已经通过分割成三角形的方法得到四边形的内角和是360°，顺着这样的方法和结果，要求五边形、六边形、七边形……的内角和，其实就是要看什么？

（9）这些多边形应该怎样分割，各分割成多少个三角形，才能方便地算出它们的内角和呢？其中是否存在某种规律？

（10）通过实践操作和数据整理，你发现了什么规律？如果图形的边数越来越多，你能根据发现的规律求出它的内角和吗？你能用一个式子表示多边形内角和的计算方法吗？

……

二、以模型建构，促进学生数学地思考

数学是模式（模型）的科学。模型思想注重运用数学知识解决问题（尤其是现实问题），且追求将一个问题的解决拓展为一类问题的解决。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“（运用数学知识解决问题的）活动应体现‘问题情境—建立模型—求解验证的过程，这个过程要有利于理解和掌握相关的知识技能，感悟数学思想，积累活动经验;要有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，增强应用意识和创新意识。”为了促进学生深度思考，教师还可以引导他们建立模型，促使他们理解本质、掌握方法，学会数学地思考。而引导建立模型，要让学生经历从模仿到创造的循序渐进、先立再破、不断提升的过程。

例如，教学苏教版小学数学五年级上册《钉子板上的多边形》一课，可引导学生通过观察、操作、推理、计算，不断地寻找关系、发现规律，建立不同层次的模型：

首先，引入图形面积计算的常规方法后，出示图1和表1，提出问题：下面多边形的面积各是多少平方厘米？每个多边形边上的钉子各有多少枚？先数一数、算一算，将结果填入表格中，再与同学说说你的想法。学生探究后发现：这些多边形边上的钉子数越多，面积就越大;这些多边形面积的数值（平方厘米）是边上钉子数的一半;这些图形还有一个共同的特点，就是内部都只有1枚钉子。进一步地，学生总结出多边形内部只有1枚钉子时，它的面积（数值）与边上的钉子数的关系：多边形的面积=边上的钉子数÷2——用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形的面积（数值），那么S=n÷2。由此，建立知识上最初级的模型。

在此基礎上，继续提出问题：（1）研究到这里，你能想到什么？（2）如果多边形的内部有2枚、3枚、4枚……a枚钉子，会有什么样的规律呢？（3）如果多边形的内部没有钉子呢？通过探究，学生逐渐发现并总结出其中的规律：设a为多边形内部的钉子数，则a=2时，S=n÷2+1，a=3时，S=n÷2+2，a=4时，S=n÷2+3，a=5时， S=n÷2+4，a=0时，S=n÷2-1——用一个公式概括就是S=n÷2+a-1，即皮克定理。由此，建立知识上更高级的模型。

然后，提出问题：回顾探索、发现规律的过程，你有什么体会？通过交流碰撞，学生梳理归纳出：（1）要善于从不同的多边形中找到它们的相同点;（2）用含有字母的式子表示规律，简明易记;（3）探索规律时，要认真观察、反复比较，而发现规律后，要进行验证。由此，建立方法上更高级的模型（范式）。这一模型不仅适用于本节课的探究，而且适用于今后许多数学知识的学习。

三、以连环追问，促进学生深度地思考

数学思维需要经过不断琢磨（反复斟酌、推敲），向更深处漫溯，从而做到精益求精，找到知识理解的适切方法、问题解决的不同策略。为此，要多提“……是什么”“……为什么”“……怎么样”“如果不……还可以……”等指向深度思考的问题。

（一）在思维生长点琢磨

思维的生长点是指可以由此及彼延伸联系的思维内容。通常，对已有的知识、问题等预设的生长点，可以这样引导学生琢磨：（1）新知识是在哪些知识的基础上产生、发展的？新知识“新”在哪里？其本质（特点）与用途（优点）分别是什么？（2）问题的解决，是从条件出发顺向思考更简单，还是从问题入手逆向思考更容易？需要列表整理条件，还是画图理解题意？需要合情推理，还是精准计算？而对新颖的思路、想法等生成的生长点，可以这样引导学生琢磨：这一思路或想法新颖在哪里？巧妙在哪里？给了我怎样的启迪？

例如，教学苏教版小学数学五年级下册《分数的意义》一课，基于“学生在三年级初步认识了分数，知道把一个物体或几个物体组成的一个整体平均分成幾份，其中的1份或几份可以用几分之一或几分之几来表示”的学情，可以这样引领学生琢磨：（1）除了“一个物体或几个物体组成的一个整体”平均分后可以用分数表示之外，还有其他情况可以用分数表示吗？（2）一个物体、一个计量单位或几个物体组成的一个整体都可以用什么来表示？称之为什么？（3）自然数“1”和单位“1”之间有怎样的联系和区别？（4）什么是分数？什么是分数单位？分数和整数之间有怎样的联系和区别？（5）为什么要学习分数？由此，学生会对“分数的意义”有较为充分的理解和深刻的建构。

（二）在思维困惑点琢磨

思维的困惑点是指感到困惑不解的思维内容。通常，对学生思维的困惑点，教师可这样引导学生琢磨：是没有理解知识，还是不会操作实践？是不会举例验证，还是欠缺逻辑推理？是思维过于机械、僵化，还是钻进了牛角尖？

例如，教学苏教版小学数学四年级下册《解决问题的策略——画图》一课，通过教材例题“小宁和小春共有72枚邮票，小春比小宁多12枚。两人各有邮票多少枚？”的学习，学生初步理解了画图能使数量关系表示得更直观、更清楚。但是，面对“哥哥和弟弟共有200枚邮票，哥哥给弟弟26枚后两人的邮票一样多。哥哥、弟弟原来各有邮票多少枚？”这一变式问题，不少学生误认为哥哥只比弟弟多26枚邮票，会这样解题：

根据题意画出图2。

因此，弟弟：（200-26）÷2=87（张）;哥哥：（200+26）÷2=113（张） 。

这时，教师可以引导学生琢磨：“哥哥给弟弟26枚后两人的邮票一样多”说明了什么？学生经过深入思考，便会明晰：哥哥应该比弟弟多2个26枚邮票，那么，从总数200中去掉2个26，就得到弟弟原有邮票数的2倍，再除以2，就得到弟弟原有的邮票数;在总数200的基础上添加2个26，就得到哥哥原有邮票数的2倍，再除以2，就得到哥哥原有的邮票数。

在此基础上，教师可以进一步出示对比问题：“哥哥和弟弟共有200枚邮票，哥哥去掉26枚后两人的邮票一样多。哥哥、弟弟原来各有邮票多少枚？”让学生继续琢磨：这两题在结构上有哪些相同的地方？有哪些不同的地方？在解决思路上又有哪些异同？对我们的数学学习有什么启迪？这样，学生就会有拨云见日、豁然开朗的感觉。

（三）在思维发散点琢磨

思维的发散点特指可以从不同的角度、向不同的方向发散联系的思维内容。尤其是在解决问题时，教师可以引导学生发散思考，力求一题多解：除了教材中给出的方法或老师讲解的方法之外，是否还有其他的思维路径和解题方法？而在解决问题后，教师可以引导学生发散思考：得到的结果能否做进一步推广？

例如，教学苏教版小学数学四年级上册《解决问题的策略——列表》一课，解决教材“练习九”第5题（见图3）时，可以引导学生发散思考，从不同角度分析数量关系，找到不同解题思路。可这样提问：（1）“照这样计算”是什么意思？（2）要求“45分钟生产多少个”，数量关系式是什么？（3）要求“生产540个需要多少分钟”，数量关系式是什么？（4）如何列式计算这两问？分别有几种解题思路与列式方法？分别选用表中的哪一组数量？为什么可以这样选择？由此，使得学生明白解题思路与列式方法的多样性。对第一问，既可以先求出每分钟生产零件的个数，即工作效率，再用“工作效率×工作时间（45分钟）”求出工作总量，也可以先求出45里面有几个3（或6、9），再用得数去乘54（或108、162）。对第二问，既可以先求出每分钟生产零件的个数，即工作效率，再用“工作总量（540个）÷工作效率”求出工作时间，也可以先求出540里面有几个54（或108），再用它去乘3（或6）。由此，学生的理解会更深入，思考会更灵活。

（四）在思维聚焦点琢磨

思维的聚焦点特指思维发散后可以通过比较进行优化的思维内容。其实，数学思考既追求多样的角度和方向，以提升灵活性，更追求优化（适当乃至最佳）的路径和方法，以提升深刻性。因此，教师要引导学生对因发散而产生的思路和想法进行比较、优化。

例如，教学苏教版小学数学四年级上册《解决问题的策略——列表》一课，解决教材“练习九”第5题（见图3）第二问“生产540个需要多少分钟？”时，学生通过发散思维，得到两种解题思路（见上文），进而得到8种综合列式方法：（1）540÷（54÷3）;（2）540÷（108÷6）;（3）540÷（162÷9）;（4）540÷（216÷12）;（5）540÷54×3;（6）540÷108×6;（7）540÷162×9;（8）540÷216×12。对此，教师可以引导学生聚焦思维，通过比较分析、估算判断，发现：因为540里面有10个54，所以生产540个零件需要10个3分钟，即30分钟。这种思路更加容易理解，这一方法更便于计算。

参考文献：

[1] 郑毓信.小学数学教育的理论与实践——小学数学教学180例[M].上海：华东师范大学出版社，2017.

[2] 王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014.

[3] 曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M].上海：上海教育出版社，2017.