新型冠状病毒肺炎疫情期间肿瘤放疗患者排程优化管理研究

徐旭 吕鸣 李毅 郑晓燕 武楠 代志军 叶香华 吕军

放疗是治疗恶性肿瘤的有效方法之一。每例放疗患者均有专属的个体化精准放疗方案，由医师团队根据肿瘤的类型、部位、大小，以及患者的身体状况等综合制定而成，详细规划了患者的放疗方式和放疗时长等关键指标。不同计划的放疗方式和时长差异很大，导致对直线加速器（linear accelerator，LINAC）的使用需求不同。在新型冠状病毒肺炎（coronavirus disease 2019，COVID-19）疫情期间，如何优化放疗患者的排程，减少放疗前等待时间及来院次数，避免疫情防控期间病毒交叉感染，是值得临床医师探讨的问题。

癌症患者从首次入院咨询到首次放疗有时间间隔，研究表明此等待时间通常不短[1]。在中国，由于癌症患者治疗相对集中，因此在疫情防控期间，有效抑制COVID-19在人群中传播将有助于疫情防控[2]。研究表明，放疗患者等待时间长短和患者治疗疗效存在相关性[3-4]。当前医院多采取先到先服务（first come first service，FCFS）原则，在缺乏充足服务资源前提下，不少患者只能面临长时间等待或转院的情况。因此，如何提升科室床位利用率，缩短患者等待时间，合理高效收治患者进而避免交叉感染，就成为管理者关注的问题。本文基于对陕西、浙江两省部分三甲医院前期调研，以西安交通大学第一附属医院肿瘤放疗科癌症患者为实例，建立了放疗患者入院排程问题的混合整数规划（mixed integer programming，MIP）模型，并以该院实际数据为基础，求解并分析。

1 模型建立

1.1 假设 为了简化问题便于分析，笔者作出如下假设。

假设1：放疗期间的人力和物力资源齐备，不存在短缺现象；所有患者放疗均需住院治疗。

假设2：患者的入院安排决策非实时，需每隔一段时间作出安排。作出决策时，由于患者入院会对后续时间资源占用产生影响，还需考虑一个较长时间的计划期。因为放疗部门周末休假，所以只考虑工作日，模型中的每一天均代表一个工作日。

假设3：在决策周期内，患者的信息是已知的；患者的放疗所需时间可以通过计算机仿真预先估计，并且首次放疗和后续放疗时间一致；所有患者优先级一致。

假设4：床位均在病房中，一个病房可能有多个床位，利用病房编号而非具体的床位号来表示患者的住院情况。

假设5：决策期的时间长度小于所有治疗方案中相邻两个周期间隔的最小值。该假设的提出是为了可以避免在决策期内出现两次入院的情况，方便建模。1.2 集合与变量 此步骤将分别针对建模过程中所涉及的标号、集合、变量以及决策变量等予以阐述，见表 1～3。

表1 标号与集合说明

表2 变量说明

表3 决策变量说明

1.3 约束

约束（1）和（2）确保患者每天最多只会在一个班次和一台 LINAC上放疗；约束（3）～（5）确保患者的放疗只会开始一次；患者在不可行的班次均不会被安排放疗，因此设定约束（6）；放疗患者的放疗必须在同一台LINAC上进行，这样能够确保每次的剂量一致，故采用约束（7）；约束（8）～（10）是床位约束，包含患者每天最多住在一个病房内，且病房内患者的数量不会超过可用床位的数量等条件；为了保证患者每次入住床位的一致，构造了约束（11）；约束（12）和（13）固定了患者的放疗天数和住院天数；约束（14）说明了患者放疗时间之和不会超过LINAC的可用时间；约束（15）和（16）将治疗方案结合，约束了患者的放疗计划；约束（17）和（18）说明了两个决策变量oijt和xmist之间的关系；约束（19）是关于变量的约束。

1.4 目标函数

问题的目标是最大化入住患者的人数，这样可以提高医疗设备的利用率，同时减少患者的转院风险和等待时间，保证患者能够得到及时的治疗。为了方便比较，笔者也可以用患者的接收率来代替原来的目标函数，如（21）所示最大化的患者接收率。

2 参数设定与数值实验

2.1 参数设定 模型中参数的数据基于西安交通大学第一附属医院2015年的数据，由于少部分数据的缺失和不满足假设等情况，笔者对数据进行了重新整理并设置了标准算例。根据整理后数据，标准算例基本参数设置如下。

*两台LINAC M1和M2。

*LINAC工作分为上午和下午两个班次，每个班次的时间均为5h。

*3种放疗方案[二维放疗（2DRT）、适形放疗（CRT）、调强适形放射治疗（IMRT）]的放疗时间使用计算机仿真预先估计，包含实际治疗时间和患者摆位时间。

*70例等待患者，患者的不可行放疗班次、每日可用床位和LINAC可用时间均参考实际情况设置。

* 决策期|T|=5（即一周），计划期|H|=15×6（所有治疗方案中用时最长的）+|T|。

*共9种治疗方案（表4），每种治疗方案的子方案（即截取其中若干个周期）可以看作是一种新的治疗方案。某些癌症治疗方案名称不一致，但其LINAC使用和床位占用时间一致。因此，这9种基本治疗方案及其衍生的子方案可以覆盖绝大多数情况。

由于患者入院安排决策不需要实时作出，在求解的及时性上要求不高，故本文所建立的模型可以应用商业求解软件实现。数值实验具体的运行环境为Intel Xeon E5 CPU（3.5 GHz，12线程）、16 GB内存和 Windows 7操作系统，利用Matlab2012a软件链接CPLEX12.5优化软件求解。同时，为了同医院现有的FCFS策略进行对比，笔者使用Matlab程序对该策略进行了模拟，求解1 000次取最优值。

2.2 结果分析 相比FCFS法，MIP法可以显著提高已安排患者比例，进而提升床位利用率和LINAC利用率，因此可以得出结论：MIP法相比FCFS法具有非常明显的优势，见表5。实际上，这个结果也符合预期，因为MIP法得到的解是全局最优解，而FCFS法近似于一个贪婪算法，并未考虑全局优化，因此得到的解肯定不会优于MIP法。

表4 实验中应用到的癌症治疗方案

表5 标准计算结果

就本文所求解的放疗问题来说，制约已安排患者比例提高的瓶颈资源主要有两个：床位和LINAC。观察算例的求解结果，可以发现制约患者入院的主要瓶颈在于某些日期LINAC的可用时间不足，为了验证这一猜想，笔者修改了标准算例的一些参数来进行数值实验。在算例MIP_2中，将LINAC每一个班次的工作时间均增加1h；在算例MIP_3中，每一个工作日增加了16个可用床位。这两个算例继续使用MIP法进行求解，求解结果见表6。

表6 新增算例求解结果

对比表5和表6求解发现：提高LINAC可用时间时，已安排患者比例会大幅度增长，而增加可用床位时，已安排患者比例并没有任何变化，笔者的猜想获得证实。由此可以得出结论：MIP法可帮助决策者识别制约已安排患者比例提高的瓶颈资源，从而增加医院的床位周转率；更进一步，通过不断调整模型中的参数，可以得出当前情况下床位和LINAC的最优配比，从而提高医院资源的使用效率，避免浪费。

3 研究结果

本文结合目前中国疫情控制实际情况，以省级三甲医院为背景，研究了COVID-19疫情期间医院放疗部门患者入院排程问题，该问题目前国内研究中尚属首次。本研究结合放疗患者的放疗方案和一系列临床约束条件构建了MIP模型，鉴于问题求解及时性要求不高，故采用了CPLEX软件来求解模型，并编程模拟了医院常用的FCFS法进行对比。计算结果表明，笔者所提出的MIP法，相比FCFS法，能够显著提升已安排患者比例。同时，利用本文所提出的MIP模型法，可以帮助决策者识别制约医疗服务提升的瓶颈资源，得到当时情形下各种资源的最优配比，在疫情期间最大程度降低患者因等待时间过长和多次就诊而造成的交叉感染概率。本文是基于国内某三甲医院的实际情况，鉴于国内医疗状况的相似性，所提出的模型和求解方法易于复制到其他相似单位。

4 讨论

现有诸多研究都提及了日益增长的肿瘤患者人数[5-6]，但是注重于提升医疗部门服务效率的研究却很少。相关论文大致可以分为两个来源，分别是医学研究层面，包含改善现有的治疗技术[7-9]、引入新的治疗设备[10]等内容；以及运作管理层面，包含引入统计学[11]、运筹学[12-22]和仿真[23]的方法来提升人员和设备的工作效率等内容。但是，这些论文分属于两个领域，并未在宏观上将两者很好的结合起来。此外，关于放疗患者管理的论文较少，也未结合具体的国家和地区的情况予以考虑，因此存在研究体量不足的情况。再者，由于国内医院的管理办法大多采取FCFS原则，考虑到当前医疗服务资源不充分的背景，诸如长时间等待或者转院的情况较为常见。因此，笔者认为非常有必要采用运筹学的方法来解决此类问题。