掌握学科基本结构对提高数学学习效率的意义

布鲁纳认为：“不论我们教什么学科，务必使学生理解（掌握）该学科的基本结构。”所谓基本结构，包括该学科的知识结构、学习态度和学习方法。他还认为：“学习结构，就是学习事物是怎样相互关联的。”可见，他的结构说包含事物之间的相互联系和规律性，具有“普遍而强有力的适用性”。重视学科的基本结构，懂得了基本原理，能使学科知识变得更容易理解。这样，也有助于学生对学习内容的记忆与理解，有助于增进学习中的迁移，有助于激发学习动机或学习兴趣，从而提高数学学习的效率。

一、掌握知识结构，突显知识本质

现行的大部分数学教材中常将学科结构进行拆解和重编，让学生一点一点地学习数学，不断循环， 螺旋上升。而作为数学教师，要还原数学本来的结构，让学生看到或触摸到数学知识核心的完整样子，使其感悟到隐藏于知识背后的数学思想。

（一）知识体系结构

菲利克斯·克莱因说：“基础数学的教师应该站在更高的视角来审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单;一个称职的教师应当掌握或了解数学的各种概念、方法及其发展与完善的过程，以及数学教育演化的经过。”由此类推，小学数学教师应该了解初等数学的体系和结构，要了解初等数学史。只有这样，才能更好地把握教学内容，给学生良好的数学教育。

如“分数”是小学数学教学中的一个重要内容。何为分数？分数产生于实际测量与均分。在数学史中，由于分数意义的抽象及分数的表达方式的繁琐，使得分数的发展陷于僵局。直至将分数与除法联系了起来，发现了“在除法中，为了使除法运算总可以施行，可以用分数表示除法的商”之后，分数才被更多的人所接受，分数的意义也才有了不同的定义，分数的内涵实质也才有了较大的拓展。分数被定义为是“正整数p除以正整数q的商”，并作了补充定义：当 q=1时，[pq]=p;当 p=0 时，[pq]=0。

关于分数，著名数学教育家张奠宙先生还给出了四种定义。

份数定义：分数表示把一个单位平均分成若干份之后表示其中一份或几份的数。

商的定义：分数是两个整数相除（除数不为0）的商。

比的定义：分数是整数q与整数p（p≠0）之比。

公理定义：有序的整数对（p，q），其中p≠0。

解读分数发生发展的历史，有利于我们把握分数的知识本质。虽然现行的教材编排有所不同，但他们都还原了分数的发展历史，即先从测量或均分开始，初步感知分数的意义，再通过分数与除法的关系比较拓展分数的意义。这样的编排，既符合学生的认识规律，又利于学生把握分数意义的内涵实质。

（二）教材编排结构

任何教学方式、方法的创新，都离不开教师对本学科教学内容实质的理解和把握，离不开对学生数学学习规律的了解和尊重。只有科学、准确、深入地理解教材，才能用好教材，才能做到因材施教。

教材在编写“分数的初步认识”这部分内容时有两条线，第一条线就是对“1”的理解。三年级上册 “分数”这一章，在教学概念时，教材中感知的是把单个物体看做一个具体形象的整体，把这个具象整体平均分成几份，每份是这个具象整体的几分之一。所以单个物体实体就是一个具象整体概念“1”。

三年级下册“分数的初步认识”则是把多个物质实体看做一个抽象的整体，所以多个物质实体的集合就是一个抽象整体概念“1”，显性呈现就是由1个苹果到1筐苹果的单位“由个到筐”。由原来单个的具象整体到多个物质实体集合的抽象整体，是学生认识分数的一次质的飞跃。因此，我们要引导学生认真复习三年级下册的“一个整体平均分”，处理好“个数”与“份数”的区别。在此基础上揭示，把一个物体、一个计量单位、一些物体组成的整体都可以用自然数“1”来表示，这就是单位“1”。得到单位“1”之后，还要引导学生与自然数1进行比较，以突出单位“1”的意义。

第二条线就是对关系的理解。教材从三年级开始一直到五年级上册的前面部分，更多的是理解部分与整体之间的关系。就是学生所理解的均分的定义，即把一个整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。学习完分数与除法之间的关系后，分数更多的是表示两个量之间的关系，这就不仅是部分与整体之间的关系，也表示两个相关联的量之间的关系，更可以表示整体与部分之间的关系，就出现了假分数。再到六年级上册学习“比”时，沟通了分数与比之间的关系。这样，既尊重了学生的学习能力，又突出了分数的知识本质。

整体理解教材的编排结构，在教学“分数的初步认识”时，我们就会有不一样的认识，就不会一味地强调“平均分成若干份，取这样的一份或几份”了。由此可以看出，教材的编排注重知识之间的联系，通过“横向迁移”与“纵向深入”，不断推动学生深入对相关数学知识、思想方法、活动经验的体验。

（三）数学思想结构

在理解教材编排结构的基础上，还要进一步读懂教材，理解教材知识的呈现方式，把握其中所内含的数学思想方法。相关数学知识的认识背景、学生认知方式、内化途径等决定着教材知识呈现的方式。反过来说，只有理解了编排方式，读懂了其中内含的数学思想方法，才能更好地去教学。

如五年级上册“平行四边形的面积计算”，其在进行公式的推导时，教材安排了三个例题。

这三个例题之间有着怎样的逻辑关系呢？怎样引领学生的思维，让他们能够通过对平行四边形面积公式的推导学习，掌握一般平面图形的面积计算公式的推导方法呢？这是我们在解读教学内容时需要思考的问题。研读教材，会发现其中蕴含这样的思考探究过程：例1是通过转化前后的面积是否相等，告诉学生图形的转化要以面积相等为基础;同时，也正是由于面积相等，所以才能通过转化来推导图形的面积计算公式，这是面积公式推导的基石。例2是直接提出问题“你能把右边的平行四边形转化成长方形嗎？”这让很多教师感到困惑，这样不是会减少学生图形转化的灵活性吗？其实不然，有向转化，正是面积计算公式推导的思维基础。要求推导平行四边形的面积计算公式，那就必须转化为学过的长方形。因此，就要以长方形的特征为思维基础，进行有向转化，只有概括长方形的特征，才能得出“沿高剪”的正确结论，也为以后面积计算公式推导提供思维路径。例3则是通过教材第115页提供的各种形式的平行四边形，让学生从中任意挑选，并提供表格让学生交流、比较，意在让学生明确这样的关系比较普遍。最后，通过与长方形进行对比和简单演绎推理过程，得出平行四边形面积计算公式。这样就是从等积变形（转化后与转化前面积相等）→有向转化（沿高剪开转化成已学过面积公式图形）→更多举例（经历数学归纳过程）→公式表达（由图形各要素关系导出计算公式）的过程。

正是这三个例题中蕴含的四个思考过程，把平面图形面积计算公式推导的思维路径展开得科学合理。教学时要把这样的展开逻辑让学生充分经历、体验和感悟，形成思维结构，便于学生在今后的平面图形面积计算公式乃至立体图形体积计算公式等推导的学习过程中，自觉运用，形成正向迁移。

二、优化认知结构，提高教学效率

布鲁纳认为：“学生的学习过程是学生原有认知结构中的有关知识和新学习内容相互作用（同化），形成新的认知结构的过程。”同化和顺应是学生认知结构发生变化的两种途径和方式 ，知识之间的关系是多向的，有并列、递进、从属等关系。学生对新内容的理解与存储需要进行类比迁移与内化，需要让新旧内容产生意义联接，在同化、顺应中形成更为完善的认知结构。

（一）教学推进结构

建构原理指出：“学生开始学习一个数学概念、原理或法则时，要以最合适的方法建构其代表。”每一个知识点的教学都要依据知识的结构和学生的认知结构，选择有效的教学方式，采取有效的推进结构，是演绎还是归纳，每一个知识内容的教学都有自己的展开逻辑与推进结构。如在教学“三角形的内角和”时，我们就可以按如下四步逐渐推进。

1.计算比较，提出猜想

学生分别计算两只三角板的内角和，发现两只三角板的内角和都是180度。从而引发猜想：所有三角形的内角和都是180度吗？

2.多元验证，丰富体验

首先是分类列举，集中研究。根据三角形的分类，从直角三角形、钝角三角形、锐角三角形中各选一个，提供给学生共同研究。学生自主选择用量一量、算一算;撕一撕、拼一拼;折一折、拼一拼的方法去验证三角形的内角和。他们会发现，量出的三个内角的和都在180度左右;把三角形的三个角切下来，拼到了一起，正好是一个平角;采用折的方法，把三个角折到一起，也正好是一个平角。其次是更多举例，寻找反例。教师先介绍两个工具小软件，一个是苹果电脑中的APP“图形活动”，另一个是我们自主开发的小软件，称之为“活动三角形”，就是一个三角形，旁边显示出三个内角的度数，并用算式计算出内角和。学生任意拖到了一个点，或者一条边，就会得到若干个新的三角形。接着，让学生自主选择方法进一步举例验证，方法主要有三个，一是教师提供的一些三角形纸片，二是利用“图形活动”画三角形验证，三是利用“活动三角形”拖动顶点或边，观察三角形的内角和。学生交流体会时会发现，在“图形活动”中，任意画出的三角形，切出的三角都可以拼成一个平角;拖动“活动三角形”时，三角形的形状在变，三个内角的度数也在变，但是三角形的内角和都是180度。没能找到内角和不是180度的三角形。最后是了解经典，丰富认识。学生自主观察小帕斯卡的验证方法，看完后与同桌交流。一个长方形的内角和是360度，平均分成两个直角三角形，每个直角三角形的内角和是180度。任意一个锐角三角形或者钝角三角形都可以沿着高分成两个直角三角形，每个直角三角形的内角和是180度，两个直角三角形的内角和是360度，去掉拼成一条边的两个直角的度数，原来三个角的度数和是180度。

3.介绍证明，得出结论

教师介绍关于三角形的内角和等于180度，还有更多的验证方法。数学是一门严谨的科学，仅靠验证是不行的，数学家们还进行了严格的证明，最后得出结论：三角形的内角和等于180度。

4.回顾研究，交流体会

教师借助学生的研究成果，以图片的形式，领着学生一起回顾研究过程，启发学生思考：前面的研究过程中，你印象最深刻的是什么？有什么体会？

（二）習题编排结构

比较和变式原理指出：“从具体形式到抽象形式的过渡，需要比较和变式，比较是帮助学生直观地学习数学概念、提高其抽象水平最有用的方式之一。”任何知识的学习，能力的养成，必须有一定量的练习。做怎样的习题，习题如何呈现，这里也存在一定的结构。教学中，我们要根据知识的本质，将相关习题以题组的形式呈现，让学生在比较中突出知识本质，在辨别中掌握方法，掌握解题的一般步骤。

在学习完“求一个数是另一个数的百分之几”后，可以提供如下一组练习：

学校体育室有50只足球，有40只排球。排球的只数是足球的百分之几？

学校体育室有50只足球，排球比足球少10只。排球的只数是足球的百分之几？

学校体育室有40只排球，足球比排球多10只。排球的只数是足球的百分之几？

学校体育室有40只排球，足球比排球多[14]。排球的只数是足球的百分之几？

这组练习中，不管题目如何变化，最终都是用排球的只数除以足球的只数。如果当中某个数量没有直接告诉我们，则需要根据给出的条件先表示出某个数量，最终形成结构：“求一个数是另一个数的百分之几”与之前学习的“求一个数是另一个数的几分之几”是一样的，都是用一个数除以另一个数。就这样形成了解题的思维结构。当然，有些题目也有一些特殊的方法，如第4个题目，就有不同的方法。但是，尽管有不同的方法，上述这种方法才是最本质的方法。

（三）知识储存结构

关联原理提出：“应当把各种概念、原理联系在一起，在一个统一的系统中学习。”要使学习卓有成效，就必须说明和理解数学概念之间的联系。如果学习的一个新知识，能够纳入学生已经有的认识结构中去，学生就能轻松理解和记忆，就能理解知识之间的本质，就能沟通知识之间的联系与区别。

在学习“分数加减法”时，可以总结出异分数分数加减法的一般方法：先通分，再按同分母分数加减法的法则进行计算。引导学生回忆，我们在之前学习整数加减法、小数加减法时，一般是如何计算的。得出：计算整数加减法时，要把数的末尾对齐，从低位算起;小数加减法时，要把小数点对齐，再从低位算起。启发学生思考：为什么计算整数加减法时，要把末尾对齐;小数加减法时要把小数点对齐;分数加减法时，却要先通分。通过讨论，交流得出：计数单位相同的数才可以直接相加减，这些做法都是为了让计数单位相同的数对齐。

“获得的知识，如果没有完整的结构把它联系在一起，那是一种多半会被遗忘的知识。”注重结构的学习不是机械的学习，不是让人很快遗忘的学习，而是有质量的学习，有发展的学习，是一种素养提升的学习 。

把握数学学科本质、遵循儿童认知规律、科学施教，促进学生数学素养发展，是数学教育的追求。让学生感悟到结构的小学数学课堂，可以让学生用最少的时间，把握数学的精华，丰盈思维的结构，提升数学的素养。

（责任编辑：杨强）