妙用数学方法，巧解数学问题

江苏省射阳县向阳学校 侯丽娟

数学问题的本质是理论知识中所蕴含的数学思想，而数学方法则是具体的外在表现形式。初中数学对于学生来说学习内容较多，还有很多题目难度较大，因此学生感到学习负担重，但很多数学问题都大同小异，有一定的规律性，可通过数学方法来高效解答，在这个过程中也培养了学生的思维，活用探究方法，启发诱导学生。

一、归纳法

归纳推理是由个别到一般，且不完全归纳是由一个或几个的特殊情况作出一般性结论的归纳推理。不完全归纳是以一定的数值为基础，进行分析探究得出规律，并将规律推广运用到计算和证明中。初中数学教材中常采用这种方法进行定义、公式、定理等的推导。学生若能正确运用这种方法，可提高分析解决问题的能力，发现探索的能力。

通过相互比较，可以发现其相同点和不同点，更容易找到变化规律，并且题目往往会按照一定的顺序给出提示。归纳探索问题也是探索规律问题，提供一组具有特殊关系的数字、方程式以及图形，再或者提供图形变换的过程，观察分析推理，进一步归纳猜想出规律。

二、待定系数法

待定系数法为一种求未知数的方法，是常见的解题方法，常运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等，这种方法贯穿整个初中数学，也是中考热点。学生能够很好地把握并灵活地运用待定系数法，善于应用迁移、巩固提高，总结反思、突破重点，解题将事半功倍。

运用待定系数法解题的过程中，可按照一定的答题步骤来解答，审题要认真仔细，将题目提示的各知识点联系在一起，用所给已知条件列出方程式，再进一步解答问题。对于数学问题的解决，采用待定系数法的关键在于建立合乎条件的方程及方程组，要正确列出方程及方程组，复杂的问题便可简单化，数学题将一举攻破。

三、换元法

换元法常运用于因式分解、解方程及方程组等，是初中数学中重要的解题方法之一，主要有双换元、整体换元、均值换元及倒数换元几种形式。对于一些比较烦琐的数学问题，如果可以抓住题目的特点，透过现象看本质，巧妙换元，使其简单化，问题便易于解决。

例如，分解因式：(b2+3b-2)(b2+3b+4)-16。若拿到题目时还用以前方法分解因式，将不知从何下手。若设b2+3b-2=n，则解答此题就简单多了，可得到原式为n(n+6)-16=n2+6n-16=(n+8)(n-2)，把b2+3b-2=n代入再化简可得(b2+3b+6)(b+4)(b-1)。对于此题，还可设b2+3b=n或b2+3b+4=n或b2+3b+1=n，运用换元法分解因式，将原多项式中的某一部分巧用字母代换，使多项式的结构简化，进而便于分解因式。同理可得，双换元可根据多项式的特征用两个字母分别去代换，数学解题中换元可降次、化分式方程为整式方程以及化繁为简。

在解答超过二次的方程（或解某些特殊的根式方程）、证明某些不等式（某些量的取值范围）以及求某些难以直接求出来的表达式的数值时，这些题型均可考虑换元法，即遇到可以整体代入的时候，解特殊的高次方程的时候，换元法也是初中数学代数部分使用最广泛的一种数学方法。

总之，数学教学不仅需要理论知识的教学，更重要的是数学思想的渗透、数学方法的牢牢掌握，不论题目如何变化，万变不离其宗，仍可迎刃而解。整个初中数学知识是一个完整的系统，解决这些数学问题都是有支点的，而这个支点就为数学方法。教师需挖掘数学教法，数学解题方法，发展数学核心素养，拓展学生思维，促进学生智慧学习。