变刚度电液力系统主导极点模型自适应控制研究*

李朝朝，金晓宏,*，王 坤，张绍峰

(1.武汉科技大学 冶金装备及其控制教育部重点实验室，湖北 武汉 430081；2.武汉科技大学 机械传动与制造工程湖北省重点实验室，湖北 武汉 430081)

0 引 言

位置扰动型被动式电液力系统(以下简称“电液力系统”)是一种根据被加载对象位移要求准确地施加期望力，同时该位移又对自身加载产生扰动的电液力系统，具有控制精度高、响应速度快、承载能力强等优点[1]。电液力系统是一个复杂的非线性系统，当负载刚度变化较大时，系统的控制品质和稳定性会受到明显影响[2]。如何在变负载刚度情况下提升电液力系统的加载特性显得尤为重要。

模型参考自适应控制(model reference adaptive control，MRAC)是一种通过设计理想参考模型，利用自适应机构，使实际系统快速、准确、稳定地向理想参考模型收敛的控制算法，能够有效抑制系统非线性、参数时变带来的不确定性影响[3]。由于该算法不需要在线辨识，较常规控制算法还提高了系统的响应速度，被广泛应用于控制系统中。如ZHAO Yi-fei等[4]采用MRAC实现了对电液伺服系统的高精度位置控制；苏士杰等[5]在电液伺服试验机主动加载条件下通过MRAC提高了力系统的控制品质。

本文采用MRAC方法，以电液力系统为研究对象，首先探讨负载刚度变化对系统的影响，并根据系统理想模型设计出一种基于主导极点，且满足严格正实、稳定最小相位系统要求的三阶等效参考模型，通过模型自适应控制器使电液力系统稳定地跟踪理想参考模型，以期抑制负载刚度变化对系统的影响，从而提高系统响应特性和控制精度。

1 系统组成及工作原理

电液力系统原理图如图1所示。

图1 电液力系统原理图

图1中，将被加载对象简化为一个弹簧阻尼系统(虚线框所示)。系统根据与被加载对象位移相关的力发生函数发送指令信号Ur到控制器，通过电液伺服阀在液压缸两腔产生压力差PL(PL=P1-P2)，活塞杆在PL作用下，输出力F=PLA(A—活塞杆有效面积)作用于被加载对象并由力传感器检测，力传感器将测得的力信号反馈给输入端，实现闭环控制。

2 数学模型

根据文献[6]电液力系统中各环节数学方程，以力F为输出，以电液伺服阀阀芯位移Xv和被加载对象位移XP为输入，可得输出力F的拉氏域表达式如下：

(1)

式中：M=mVt/(4Ee)；N=BVt/(4Ee)+mKc；Z=BKce+KVt/(4Ee)+A2；J=KKce；Vt—液压缸总空腔容积，m3；Ee—油液弹性模量，Pa；Kce—总流量-压力系数，(m3/s)/Pa；m—负载等效质量，kg；Kq—阀口流量增益，(m3/s)/Pa；B—运动部件黏性阻尼系数，N/(m·s-1)；K—电液力系统负载刚度，由负载弹性刚度、活塞杆刚度和力传感器连接刚度3部分组成，N/m。

(2)

式中：ω0—负载固有频率，ω0=(K/m)1/2；ζ0—负载阻尼比，ζ0=B/[2(Km)1/2]；ω1—负载刚度与液压弹簧并联偶合的刚度与负载质量形成的综合固有频率，ω1=ω0(1+Kh/K)1/2；ζ1—阻尼比，ζ1=2EeKce/[ω0Vt(1+K/Kh)]；ω2—负载刚度与液压弹簧串联偶合的刚度与阻尼系数之比，ω2=(KceKKh)/[A2(K+Kh)]。

由式(2)可知，电液力系统的3个转折频率ω0、ω1和ω2均与参数K、Kh和m有关，当负载质量m和液压弹簧刚度Kh一定时，电液力系统的系统特性主要取决于负载刚度K。

下面笔者以一具体电液力系统，进行系统特性分析，研究不同负载刚度对系统性能的影响。

电液力系统参数如表1[8]所示。

表1 电液力系统参数表

电液力系统所模拟的弹性负载刚度为变刚度，用来模拟大型阀门开度控制中负载刚度的变化。

笔者对系统输入幅值为2 kN的阶跃指令信号，分别取K为1 MN/m、5 MN/m、13 MN/m、25 MN/m、35 MN/m、50 MN/m进行仿真实验，得到不同负载刚度下电液力系统阶跃响应曲线如图2所示。

图2 不同负载刚度下电液力系统阶跃响应曲线

图2中，曲线均在2 ms内从0 N迅速上升至1 224 N，然后开始下降，负载刚度越小，下降幅度越大，持续时间越长，当K=1 MN/m时，曲线于9.5 ms才下降到其最低点(9.5，72.9)。曲线经历下降段后开始二次上升，当K=1 MN/m～13 MN/m时，K越大，系统上升速度越快，调整时间越短；当K=13 MN/m～50 MN/m时，系统在保持原有上升规律基础上出现超调现象，K越大，其最大超调量越大，系统调整时间越短。最终不同刚度下的系统输出力达到相同稳态值1 836 N，稳态精度为91.8%。

3 基于主导极点的MRAC策略

针对电液力系统中负载刚度变化会导致系统不稳定、控制精度差等问题，本研究提出采用MRAC策略。通过将参考模型的理想输出ym与电液力系统的实际输出yp作差，得到实时广义输出误差e(t)，自适应机构通过实时调整控制器参数使e(t)趋向于0，使得电液力系统输出向参考模型输出靠近并最终达到一致[9]。

3.1 基于主导极点的参考模型设计

参考模型的选取直接决定了电液力系统的控制效果。主导极点作为一种将高阶系统简化为低阶系统来做定量估算的方法，系统特性主要由主导极点决定。

由式(2)知电液力系统是由一阶惯性环节、二阶振荡环节和二阶微分环节组成的三阶系统，故笔者采用以主导极点标准化传递函数为基础，构造出分子分母阶数与实际系统传递函数结构形式一致、可以独立进行调整的三阶参考模型，其形式为：

(3)

笔者将二阶振荡环节的一对共轭复数极点作为主导极点，通过恰当地配置其他极点使其对整个系统的影响忽略不计，即三阶参考模型的特性主要由二阶振荡环节的固有频率ωn和阻尼比ζ决定。

根据系统性能指标，笔者选取电液力系统的液压固有频率作为参考模型固有频率，从表1参数计算得系统液压固有频率为529.15 rad/s，取ωn=530 rad/s。由系统最大超调量Mp≤10%确定二阶振荡环节最佳阻尼比ζ=0.707。故二阶振荡环节的一对共轭复数极点为：

(4)

在控制理论中，其他极点实部的值是主导极点实部值的5倍以上[10]。基于该条件确定参考模型中一阶惯性环节1/(Ts+1)的极点为：

s3=-10ζωn=-3 747.1

(5)

将式(4，5)代入式(3)，得到参考模型传递函数基本形式如下：

(6)

式中：b0=1.053×109；b1=3.089×106；b2=4 496.52。

在MRAC控制器中，参考模型Gm(s)需满足严格正实、稳定最小相位系统条件，此时式(6)需满足下列不等式：

(7)

根据式(6，7)，选取a=2 000，Km=263.25，得到基于主导极点的参考模型传递函数为:

(8)

本研究对参考模型进行仿真计算，得到参考模型单位阶跃响应中的上升时间为3.76 ms，最大超调量为4.69%，响应达到稳态值±2%时所对应的调整时间为10.5 ms。

由伯德图可知，-10°相移频率为88.89 rad/s，根据双十标准[11-13]计算得参考模型频宽为14.1 Hz，故所选取的参考模型频宽较宽、动态响应性好，满足系统性能要求。

3.2 模型参考自适应控制器设计

本研究根据Narendra稳定自适应控制器方案[14]设计自适应控制器，由式(2)可知电液力系统传递函数的分母、分子分别为3阶和2阶，配置可调增益Kc和两个反馈信号补偿器F1和F2共同组成自适应控制器。

模型参考自适应控制框图如图3所示。

图3 模型参考自适应控制框图

电液力系统的状态方程及传递函数为：

(9)

式中：xp—3维状态向量；u—控制量；yp—电液力系统输出量；Ap—3×3维状态矩阵；bp，h—3×1维向量；Kp—电液力系统增益，Kp>0；Np(s)，Dp(s)—2阶和3阶首一多项式，且Np(s)为Hurwitz多项式。

主导极点模型的状态方程及传递函数为：

(10)

式中：xm—3维状态向量；yr—模型输入；ym—模型输出；Am—3×3维矩阵；bm—3×1维向量；km—模型系统增益；Nm(s)，Dm(s)—2阶和3阶首一多项式。

两个反馈信号补偿器的状态方程及传递函数分别为：

(11)

(12)

式中：v1，v2—2维列向量；Df(s)—2阶首一Hurwitz多项式；Nc(s)，Nd(s)—1阶多项式。

即：

(13)

式中：Af—待选2×2渐近稳定矩阵；cf，df—2维列向量。

即：

(14)

选择Df(s)=Nm(s)，并构造两反馈信号补偿器状态方程：

(15)

电液力系统GP(s)、可调增益Kc、两个反馈信号补偿器F1和F2共同组成了自适应力系统，自适应控制律u为：

(16)

式中：θT(t)—可调参数向量，θT(t)=[Kc(t)cfT(t)d0

(t)dfT(t)]；φ(t)—信号向量，φ(t)=[yr(t)v1T(t)yP

(t)v2T(t)]。

可调参数自适应律为：

(17)

根据Lyapunov稳定性理论，式(17)表示的自适应控制律能保证系统全局渐进稳定。

4 仿真分析

为验证基于主导极点模型自适应控制算法的有效性，本研究在Matlab/Simulink中建立电液力系统数学模型，使用表1参数进行仿真，采用ode23算法，设置最大步长为1×10-5s、计算相对误差为10-6。

4.1 不同自适应系数，自适应力系统跟踪参考模型效果

负载刚度K=50 MN/m，本研究对自适应力系统输入幅值为3 kN的阶跃指令信号。参照文献[15]的方法，自适应系数R分别取为100、5 000、50 000、100 000，得到不同R时自适应力系统阶跃响应跟踪误差指标评价表，如表2所示。

表2 不同R时自适应力系统阶跃响应跟踪误差指标评价表

由表2可知，自适应力系统能够快速跟踪参考模型并保持稳定，随着R的增大，系统跟踪误差最大值减小，误差收敛时间变短。

当R=100 000时，系统跟踪误差最大值仅为0.03 N，误差收敛时间为0.8 ms，与R=50 000相比其跟踪精度提升幅度已很低，故当R>100 000时自适应力系统跟踪效果不会发生大幅度提升，后面仿真中均取R=100 000。

4.2 不同负载刚度，自适应力系统指令跟踪效果

本文对电液力系统输入幅值为2 kN的阶跃指令信号，取负载刚度K分别为1 MN/m、13 MN/m、50 MN/m，得到不同负载刚度下自适应力系统阶跃响应曲线如图4所示。

图4 不同负载刚度下自适应力系统阶跃响应曲线

笔者定义曲线的最终值作为系统响应性能指标中的稳态输出值，得到不同负载刚度下系统阶跃响应动态性能对比结果，如表3所示。

表3 不同负载刚度下系统阶跃响应动态性能对比

由表3可知：

原系统在3种负载刚度条件下的稳态误差均大于8%，控制精度较差；而自适应力系统不同负载刚度下均能在20.7 ms内快速跟踪指令信号且具有极佳的一致性。

上述结果表明，基于主导极点模型自适应控制器能够抑制负载刚度变化对电液力系统的影响，消除系统在响应过程中出现的波动现象，从而有效提高系统的控制精度和响应速度。

4.3 不同频率正弦指令，加入自适应控制器前后对比

K=50 MN/m时，对原系统与自适应力系统分别输入3种不同频率的正弦指令信号：F01=3+2.5sin10πt(kN)、F02=3+2.5sin20πt(kN)和F03=3+2.5sin28πt(kN)，得到不同频率正弦指令下系统性能对比如表4所示。

表4 不同频率正弦指令下系统性能对比

其中，原系统和自适应力系统14 Hz时正弦响应曲线如图5所示。

图5 原系统和自适应力系统14 Hz时正弦响应曲线

由图5可知：

原系统的输入频率从5 Hz上升至14 Hz时，其幅值误差已由8.33%增长至9.35%；而自适应力系统在14 Hz时幅值误差仅为0.005%，相位滞后9.58°。

上述结果表明，自适应力系统在14 Hz情况下依然能很好的跟踪指令信号，并保持较高的控制精度。

4.4 位置扰动下，加入自适应控制器前后对比

输入幅值为2 kN的阶跃指令信号，负载刚度K分别取为35 MN/m、50 MN/m，在0.1 s时对原系统和自适应力系统分别加入0.005 m的阶跃位置扰动xp，得到0.1 s时阶跃位置扰动下系统响应曲线如图6所示。

图6 0.1 s时阶跃位置扰动下系统响应曲线

由图6可知：

加入位置扰动后，原系统在K取35 MN/m和50 MN/m时对应的最大误差分别为92.8 kN和114.4 kN，并均于0.168 s再次达到稳态值1 836 N。

自适应控制器内部自适应参数Kc、d0的变化曲线如图7所示。

图7 自适应参数Kc、d0变化曲线

由图7可知：

自适应力系统通过快速调整控制器参数，有效抑制了位置干扰对系统控制精度和稳定性的影响，使其稳态误差接近于0 N。

5 结束语

针对位置扰动型被动式电液力系统中负载刚度变化会导致系统不稳定、控制精度差等问题，本研究设计了基于主导极点模型参考自适应控制器，通过仿真分析可得到如下结论:

(1)电液力系统加入自适应控制后，其跟踪精度与自适应系数R有关，R越大，系统跟踪误差越小，误差收敛速度越快。当R=100 000时，误差最大值为0.03 N，误差收敛时间为0.8 ms，系统能够快速准确的跟踪参考模型；

(2)电液力系统响应过程中的波动现象与负载刚度K有关，当K>13 MN/m时，K越大，波动现象越剧烈。加入自适应控制后，系统在20.7 ms内快速跟踪指令信号并消除波动现象，有效提高了系统的控制精度和响应速度；

(3)电液力系统在5 Hz时响应特性较差，加入自适应控制后，系统在14 Hz情况下依然能很好的跟踪指令信号，并保持较高的控制精度，有效拓展了系统频宽；

(4)电液力系统受到位置干扰时，其输出力短时间发生剧烈变化，控制精度受到严重影响，而加入自适应控制后，位置干扰对系统影响极小，有效提高了系统的抗干扰能力。