量子力学纯态表象与混合态表象间的积分变换

孟祥国

(聊城大学 山东省光通信科学与技术重点实验室、物理科学与信息工程学院，山东 聊城 252059)

由狄拉克提出的表象变换理论在量子力学中是一个基本的课题[1]，通常来说，它指的是两个不同的量子力学纯态表象之间的变换，例如，由坐标表象变换到动量表象

(1)

(2)

本文在纯态表象(坐标表象|q〉和动量表象|p〉)和混合态表象(Weyl-Wigner表象)之间建立一种新型积分变换，并讨论它的具体应用.利用有序算符内的积分法，坐标表象和动量表象的完备性关系可表示为[3]

(3)

这样，Wigner算符Δ(q,p)的正规排序为

(4)

(5)

利用有序算符内的积分法，可证明算符Δ(q,p)满足如下完备性关系

(6)

从这个意义上，说明Δ(q,p)能构成一个混合态表象.因此，根据Δ(q,p)的完备性关系，任何算符ρ都能被展开(即Weyl展开)

(7)

或者利用式(5)和(7)，算符ρ也可表示

(8)

1 算符|q〉〈q|p〉〈p|和Δ(q,p)间的积分变换

当把经典函数eλq+σp量化为一个算符时，可采取如下三种方法

eλq+σp=eλqeσp→eλQeσP, (Q-排序),

eλq+σp=eσpeλq→eσPeλQ, (P-排序),

eλq+σp→eλQ+σP, (Weyl-排序),

(9)

式中[Q,P]=i (ћ=1).这样，相应的三种量子化方案分别表示为

(10)

其中符号Q指的是所有的坐标算符Q都站在所有动量算符P的左侧，而符号P指的是所有的动量算符P都站在所有的坐标算符Q左侧，而Weyl排序依赖于Wigner算符，即

(11)

若用符号

来标记Weyl排序，则算符eλQ+σP的Weyl排序可表示为

(12)

把式(12)代入式(11)并利用有序算符内的积分法，可得到Wigner算符Δ(q,p)的Weyl排序，即[8]

(13)

值得指出的是，算符Q和P在以上三种排序中都是对易的.进一步，利用式(13)及其傅里叶变换，可导出Wigner算符的原始定义式，即

(14)

利用Weyl排序内的积分法可以建立以上三种排序之间的联系，即

(15)

再利用式(13)，我们有

(16)

类似地，可有

(17)

由式(16)和(17)可见，坐标和动量表象和Wigner表象之间满足新的积分变换，其积分核为e±i2(p-p′)(q-q′).因此，式(16)和(17)给出的积分变换的逆变换分别为

(18)

2 算符ρ的Wigner函数与Tr(ρ|q〉〈p|)/Tr(|q〉〈p|)的新关系

(19)

(20)

相应地，其逆变换为

(21)

这个积分表达式为计算算符ρ的Wigner函数提供了一种新的方法.例如，对一个压缩参量为λ的单模压缩算符ρλ=e(a†2-a2)λ/2[9,10]，它的坐标本征态表示为[11]

(22)

由此式直接推导出

(23)

把式(23)代入式(21)，可推导出压缩算符ρλ的Wigner函数，即

(24)

另一方面，当把式(24)代入式(7)时，可得到算符ρλ的Weyl排序形式，即

(25)

3 菲涅尔算符的Weyl经典对应

对于菲涅尔算符[12,13]

(26)

其中AD-BC=1，它对应于经典光学中的菲涅尔光学变换，利用算符eiλPQ的P排序表示

eiλPQ=P[exp{-i(e-λ-1)PQ}],

(27)

可得到

(28)

结合式(26)和式(28)，我们有

(29)

进而，把式(29)代入式(21)并经过简单的积分运算，可得到菲涅尔算符F的Weyl经典对应

(30)

4 分数阶压缩算符

特殊地，当B=coshθ,C=-coshθ,A=sinhθ,D=-sinhθ时，则式(29)的右边变为

(31)

(32)

另一方面，由式(8)可得到分数阶压缩算符的正规排序表示，即

(33)

(34)

(35)

综上，借助有序算符内的积分法，本文在纯态表象(坐标表象和动量表象)和混合态表象(Weyl-Wigner表象)之间建立了一种新的积分变换，并由此提出了一种计算系统密度算符Wigner函数的新方法.此外，给出了菲涅尔算符的Weyl经典对应和分数阶压缩算符的正规排序及其简洁表示.