浅谈向量组的线性相关性及判别方法
2020-07-20杨付贵
摘 要：向量组的线性相关性是线性代数中十分重要的概念之一，有着极其广泛的应用。然而，在学习线性代数中发现，在学生学习向量组的线性相关性时，感觉很抽象，学习有些吃力。尤其是对于一般高校文科的学生以及民办高校的本专科的学生，对于向量组的线性相关性的概念很模糊，更不知如何去判别向量组的线性相关性。本文主要根据自己多年来，在教学和学习过程中的一些经验和体会，对向量组的线性相关性及其性质，以及判别向量组的线性相关性都有那些常见的方法，进行梳理，归纳和总结。为同学们在学习向量组的线性相关性时提供一些思路。
关键词：向量组;线性相关;线性无关;初等变换
一.向量组的线性相关性及其性质和判别定理
1. 向量组的线性相关性的定义
定义1：如果向量组 中，至少有一个向量可以被其余向量线性表示，则称向量组 线性相关，否则，向量组 线性无关。
定义2：如果存在一组不全为零的数 ，使得 ，
则称向量组 线性相关，否则，向量组 线性无关。
注：定义1表明，所谓向量组 线性相关，是指向量组 中至少有一个向量可以用其余向量线性表示，也即存在着线性关系。而线性无关是说向量组中的向量之间没有线性关系。而定义2主要是用来判别向量组的线性相关性。显然，定义1与定义2是对向量组的线性相关性的不同叙述方式，彼此之间是等价的。
2. 向量组的线性相关性的性质
（1）如果向量组中只有一个向量 ，则当 时，线性相关，当 时，线性无关。
（2）如果向量组中有两个向量 ，则 线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。
（3）如果向量组中含有零向量，则向量组一定线性相关。
（4） 维基本单位向量组 线性无关。
3.向量组的线性相关性的判别定理
（1）向量组 线性相（无）关的充分必要条件是齐次线性方程组 有非零解（只有零解）（其中 ）。
（2） 。
（3）如果 线性相关，而 线性无关，则 可以由 线性表示，且表示式是唯一的。
（4）如果向量组中的部分向量组成的新的向量组线性相关，则原来的向量组也线性相关。
简称为部分相关，整体相关;而整体无关，则部分无关。
（5）设 ，则
线性无关，则 线性无关。简称为低维無关，高维无关。而高维相关，低维相关。
（6）设向量组（I） 和（II） ，如果（I）可以由（II）线性表示，且 ，则 线性相关;如果 线性无关，则 。
（7）向量个数大于维数的向量组必线性相关。
二.判别“具体”的向量组的线性相关性常用的方法
1.定义法：根据定义设 ，由于此式是一个关于 为未知量的一个齐次线性方程组的向量形式，如果此线性方程组有非零解，则 线性相关，如果此线性方程组只有零解，则 线性无关。
2.求秩法：首先将向量组 写成矩阵 ，然后求出矩阵 的秩，如果 ，则向量组 线性相关，如果 则向量组 线性无关.
3.行列式法：对于 个 维向量组 ，构造 阶方阵 ，如果 ，则向量组 线性无关，如果 ，则向量组 线性相关.
注：行列式法仅适用于向量个数与维数相同的向量组。
4.利用有关结论法：用向量组的线性相关性的性质和判别定理判别向量组的线性相关性。
由于篇幅所限，这里就不再举例，如有兴趣的读者，请参看参考文献。
三.判别“抽象”的向量组的线性相关性常用的方法
1.定义法：根据定义，假设 （*），然后，充分利用已知条件，对（*）式作恒等变换，将其化为关于 的齐次线性方程组，如果此齐次线性方程组有非零解，则向量组 线性相关，如果此齐次线性方程组只有零解，则向量组 线性无关，
2.求秩法：完全类似于判别“具体”的向量组的线性相关性的求秩法：仍然是，首先
设 ，如果 ，则向量组 线性相关，如果 ，则向量组 线性无关.但该方法在使用中，常常利用如下结论：如果向量组
可以用线性无关的向量组 线性表示，即
则 ， .
3.利用有关结论法：完全类似于判别“具体”的向量组的线性相关性的利用有关结论法。
4.反证法：根据相反结论，相办法推出与假设相矛盾的结果。
例：设向量组 线性无关，证明： 也线性无关。
证明：1.定义法 设 ，则
解得 ，故 线性无关。
（*）
又因为 ，所以 可逆，从而 ，故 线性无关。
3.利用有关结论法 由（*）式，以及 可逆，可得 ，即向量组 也可以由 线性表示，从而两个向量组 与 等价，因此它们由相同得秩，即 ，所以 线性无关。
4.反证法 如果 线性相关，则 ，又由（*）式，及 可逆，有 ，从而 线性相关，与假设矛盾，故 线性无关。
参考文献
[1] 李乃华.赵芬霞.赵俊英.李景焕.线性代数及其应用导学[M].北京：高等教育出版社，2012.
[2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
[3] 张禾瑞.郝鈵新.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1984.
[4] 郭聿琦.岑嘉评.徐贵桐.线性代数导引[M].北京：科学出版社，2001.
作者简介：杨付贵（1957.5）男，天津人，副教授。从事最优化方法研究。
