一种多元函数无条件极值的求解方法

马国栋　赖婷

[摘 要] 數学分析和高等数学教材中多针对一元和二元函数的无条件极值进行理论和计算的讨论，对三元或者三元以上函数无条件极值判别法的探讨甚少，然而实际中很多是关于三元或者三元以上函数的无条件极值问题。文章利用多元函数的Hessian矩阵，来判别和求解多元函数的无条件极值，所涉及的方法更为直接且易计算。

[关键词] 多元函数无条件极值;Hessian矩阵;极值充分条件

[作者简介] 马国栋（1983—），男，湖南邵阳人，理学博士，副教授，研究方向：数学学科教育教学;赖 婷（1998—），女，湖南长沙人，2016级数学与应用数学本科生。

[中图分类号] G642.3    [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2020）25-0297-02    [收稿日期] 2019-11-07

一、引言

高等数学是大学理工科专业必修的一门基础课程，函数极值是一个重要知识点。针对一元函数可利用一阶导数或二阶导数的正负号判断极值;对于二元函数可利用二阶偏导数判断极值，此方法不易直观理解，且难以证明。参考文献[1][2]利用Taylor公式证明二元函数存在极值的充分条件较为复杂。参考文献[3]利用全微分概念，推出一种不必计算高阶偏导数的多元函数极值判别法，减少了计算量。参考文献[4]根据多元函数极值定义，用一元函数方法给出了二元和三元函数极值充分条件的证明，只涉及了偏导数的求法，相对于数学分析和高等数学教材中多元函数极值充分条件证明，此文的方法更为直接而且简明。参考文献[5]针对全国硕士研究生入学考试的一道二元函数极值题目，紧扣函数极值的定义，利用极限局部保号性，给出了二元函数极值的严格解法。参考文献[6]不使用Taylor公式，通过把二元函数转换成一元函数，得到了极值充分条件的一个简单、直接、易于理解的证明方法。

纵观国内研究现状，针对一元和二元函数的无条件极值，给予了详细的理论和计算的讨论，多元函数极值判别法都在理论方面探讨。然而，具体问题中很多是关于三元或者三元以上函数的无条件极值问题，本文将利用多元函数Hessian矩阵导出多元函数极值的充分条件，进而求解多元函数的无条件极值。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]同济大学数学系.髙等数学[M].第六版.北京：高等教育出版社，2010.

[3]王大胄.多元函数极值的一种判别法[J].高师理科学刊，2014，34（2）：32-33.

[4]范周田，彭娟，黄秋梅.多元函数极值充分条件证明的一元方法[J].数学的实践与认识，2015，45（24）：297-300.

[5]韩淑霞，黄永忠，吴洁.一类二元函数极值的判别[J].高等数学研究，2018，21（2）：53-55.

[6]郑连伟.一种二元函数极值存在的充分条件的简单证明方法[J].科技视界，2018.（14）：183.

Abstract：The current mathematical analysis and advanced mathematics textbooks discuss the theory and calculation of the unconstrained extreme for one element or two elements functions，but there is little discussion on the unconstrained extreme for three or more variables function，and many of the specific problems are about the unconstrained extreme for three or more variables function.Therefore，in this paper，the Hessian matrix of multivariate function is used to identify and solve the unconstrained extreme，and the method involved is simpler and easier.

Key words：unconstrained extreme of multivariate function;Hessian matrix;sufficient condition of extreme value