一类非线性分数阶微分方程耦合系统边值问题的两个正解

彭钟琪, 李 媛, 薛益民

(1. 沈阳工业大学 理学院, 沈阳 110870； 2. 徐州工程学院 数学与物理科学学院, 江苏 徐州 221018)

分数阶微分方程在科技、 工程、 经济等领域应用广泛, 目前, 关于分数阶微分方程边值问题正解的存在性和唯一性的研究已取得了许多成果[1-8]. 文献[9]用锥上不动点定理与Leray-Schauder非线性抉择理论研究了如下非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性、 多重性和唯一性:

受文献[9]启发, 本文考虑如下非线性分数阶微分方程耦合系统边值问题：

(1)

1 预备知识

1) ‖Ax‖≤‖x‖, ∀x∈P∩∂Ω1且‖Ax‖≥‖x‖, ∀x∈P∩∂Ω2；

2) ‖Ax‖≥‖x‖, ∀x∈P∩∂Ω1且‖Ax‖≤‖x‖, ∀x∈P∩∂Ω2.

引理2[12]设函数h(t)∈C[0,1], 1<α<2, 则边值问题:

类似可得

引理3[12]Gi(t,s)(i=α,β)有如下性质：

1)Gi(t,s)∈C([0,1]×[0,1]), 且∀t,s∈(0,1)有Gi(t,s)>0；

2) 存在函数γi∈C(0,1), 使得

其中:

易知γi(s)≥1/8.

2 主要结果

∀(u,v)∈X×X, 定义算子T:X×X→X×X为

由引理2知算子T的不动点即为耦合系统(1)的解.

引理4[12]设f,g∈C([0,1]×[0,∞)×[0,∞),[0,∞)), 则算子T:U→U和T:V→V均是全连续的.

为方便叙述, 记：

其中:σ={0+,∞};i={α,β};j={1,2,3,4}.

定理1设f,g∈C([0,1]×[0,∞)×[0,∞),[0,∞)), 若下列条件成立：

1) 存在常数0

0≤f0+

2) 存在常数c1>1,d1>1/2, 满足

则耦合系统(1)至少存在两个正解(u1,v1)和(u2,v2), 使得0<‖(u1,v1)‖

证明： 由0≤f0+

0<ε1

(2)

0<ε2

(3)

从而存在0

f(t,u,v)≤(f0++ε1)(ua1+vb1) ,t∈[0,1], (u,v)∈[0,L1],

(4)

g(t,u,v)≤(g0++ε2)(ua2+vb2),t∈[0,1], (u,v)∈[0,L1].

(5)

令Ωr1={(u,v)∈V: ‖(u,v)‖

r1

(6)

由式(2),(4),(6)及引理3中2)知, ∀(u,v)∈V∩∂Ωr1,t∈[0,1], 有

即

(7)

由式(3),(5),(6)及引理3中2)知, ∀(u,v)∈V∩∂Ωr1,t∈[0,1], 有

即

(8)

由式(7),(8)得, ∀(u,v)∈V∩∂Ωr1,t∈[0,1], 有

由0≤f∞0, 满足:

0<ε3

(10)

0<ε4

(11)

从而存在常数0

f(t,u,v)≤(f∞+ε3)(ua3+vb3),t∈[0,1],u,v>L2,

(12)

g(t,u,v)≤(g∞+ε4)(ua4+vb4),t∈[0,1],u,v>L2.

(13)

由f,g∈C([0,1]×[0,∞)×[0,∞),[0,∞))知, 当t∈[0,1]时, 存在非负常数cα,cβ, 使得

(14)

由式(12)～(14)有

f(t,u,v)≤(f∞+ε3)(ua3+vb3)+cα,t∈[0,1],u,v>0,

(15)

g(t,u,v)≤(g∞+ε4)(ua4+vb4)+cβ,t∈[0,1],u,v>0.

(16)

令ΩR1={(u,v): ‖(u,v)‖

(17)

由式(10),(15),(17)及引理3中2)知, ∀(u,v)∈V∩∂ΩR1,t∈[0,1], 有

即有式(7). 由式(11),(16),(17)及引理3中2)知, ∀(u,v)∈V∩∂ΩR1,t∈[0,1], 有

即有式(8). 由式(7),(8)知, ∀(u,v)∈V∩∂ΩR1,t∈[0,1], 有式(9). 令Ωc1={(u,v):‖(u,v)‖1/2知, ∀(u,v)∈V∩∂Ωc1,t∈[1/4,3/4], 有

即

(18)

又

即

(19)

由式(18),(19)知, ∀(u,v)∈V∩∂Ωc1,t∈[1/4,3/4], 有

定理2设f,g∈C([0,1]×[0,∞)×[0,∞),[0,∞)), 若下列条件成立：

1) 存在常数m,n≥1, 0

mNα

2) 存在常数c2>1, 0

则耦合系统(1)至少存在两个正解(u3,v3)和(u4,v4), 使得0<‖(u3,v3)‖

证明： 由mNα0, 满足

0<η1

(21)

0<η2

(22)

从而存在常数0

f(t,u,v)≥(f0+-η1)(um1+vn1),t∈[0,1],u,v∈[0,L3],

(23)

g(t,u,v)≥(g0+-η2)(um2+vn2),t∈[0,1],u,v∈[0,L3].

(24)

对s∈[1/4,3/4], 由V的定义有

所以

(25)

r2

(26)

由式(21),(23),(25),(26)及引理3中2)知, ∀(u,v)∈V∩∂Ωr2,t∈[1/4,3/4], 有

即

(27)

由式(22),(24)～(26)及引理3中2)知, ∀(u,v)∈V∩∂Ωr2,t∈[1/4,3/4], 有

即

(28)

由式(27),(28)知, ∀(u,v)∈V∩∂Ωr2,t∈[1/4,3/4], 有

由nNα0, 满足:

0<η3≤f∞-η3,

(30)

0<η4≤g∞-η4.

(31)

从而存在1

f(t,u,v)≥(f∞-η3)(um3+vn3),t∈[0,1],u,v>L4,

(32)

g(t,u,v)≥(g∞-η4)(um4+vn4),t∈[0,1],u,v>L4.

(33)

令ΩR2={(u,v)∈V: ‖(u,v)‖

R2>max{c2,16L4}.

(34)

由式(30),(32),(34),(25)及引理3中2)知, 当t∈[1/4,3/4], ∀(u,v)∈V∩∂ΩR2, 有

即有式(27). 由式(31),(33),(34),(27)及引理3中2)知, 当t∈[1/4,3/4], ∀(u,v)∈V∩∂ΩR2, 有

即有式(28). 由式(27),(28)知, ∀(u,v)∈V∩∂ΩR2,t∈[1/4,3/4], 有式(29). 令Ωc2={(u,v): ‖(u,v)‖

即

(35)

又

即

(36)

由式(35),(36)知, ∀v∈V∩∂Ωc2,t∈[0,1], 有