附加弹簧保护装置的悬索主共振响应分析

张鹏 卢文胜 吕西林

摘要：在索端附加弹簧保护装置可以减少外部环境振动对索网幕墙正常使用的影响，然而，索端附加弹簧保护装置会显著改变其静力和动力特性。为分析该保护装置对索结构静力和动力特性的影响，通过建立附加弹簧保护装置悬索的静力和动力非线性方程，求得频率的特征方程和振型的闭合解，并利用多尺度法求解主共振响应的近似解和幅频响应方程。分析了附加弹簧与悬索刚度比对不同垂度悬索的静力性能、前三阶频率和幅频响应的影响规律。结果表明：为将索变形控制在工程允许的范围内并同时降低最大索力响应，建议在工程上将附加弹簧刚度与悬索线刚度比取值在0.2到2之间。研究成果可以为索网幕墙附加弹簧保护装置的抗风和抗震的初步设计提供参考。关键词：非线性振动;主共振;悬索;弹簧保护装置;幅频响应

中图分类号：O322;TU382文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）03-0550-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.03.014

引言

索网幕墙具有结构自重轻、承载能力大、高通透性等特点，广泛地运用于工程结构中。在悬索端附加弹簧保护装置，如北京新保利大厦、北京土城电话局、韩国世界贸易中心等，具有诸多优点，主要有：缓冲冲击荷载;减少温度作用引起的索力变化和预应力松弛现象;减少主体结构变形对索结构的影响，使索变形集中在弹簧装置上，避免索结构破坏;用于相邻建筑结构间的索网幕墙中，地震作用下吸收相邻结构之间的相对变形，保护索网幕墙，因此，在工程实践中有广泛的应用前景。

索网幕墙质量轻、刚度小，易受外部环境振动的影响，国内外学者对索网幕墙在风荷载和地震作用下的动力响应做了大量的研究工作，并取得了丰硕的研究成果。在抗风方面，Wu等采用频域法研究了单层索网的风致响应，研究表明索网的第一阶模态占有主导作用，对风致响应贡献较大的模态分布在低阶模态的窄带内。Yu等采用时域分析法研究了L形索网幕墙的风致响应，分析了索网幕墙在不同角度风荷载作用下的变形、加速度和索力响应，提出了风振系数的建议取值。冯若强等推导了基于非線性随机振动理论的单层平面索网幕墙结构风振响应计算公式，提出了单层索网幕墙结构非线性抗风设计方法。在抗震方面，Feng等对索网幕墙进行了振动台试验研究和数值分析，研究表明：幕墙玻璃的弯曲刚度对索网幕墙的1阶模态贡献较小，而主要影响其高阶模态;索网幕墙的抗震性能主要受对称模态的影响，第一振动模态起控制作用。冯若强等分析了单层平面索网幕墙结构地震反应，提出了地震下索网幕墙结构需要考虑的振型阶数，并建议了索网幕墙的抗震设防水准。石永久等采用几何非线性时程分析法，讨论了影响不同几何非线性的单层索网的谐波地震响应，研究表明，索网长宽比及索预应力对几何非线性影响较大，单层索网动力响应存在峰值共振偏移现象。

悬索单元是索网幕墙的基本受力构件，其动力特性直接影响索网幕墙的动力响应。由于索的几何非线性，动力作用下索的振动问题是复杂且有趣的，并引起了大量国内外学者的关注，其中悬索的非线性共振现象是一个热点。当激励频率接近索的线性自振频率时，会引起索的非线性主共振现象，Bene-dettini等和Arafat等推导了简谐荷载作用下索的非线性动力方程，给出了主共振下的幅频响应解析公式，分析了分岔等非线性现象;当索的平面内对称模态频率接近于平面内反对称模态频率和平面外模态频率时，会引起索的1：1和2：1内共振现象;当激励频率整数n或1/n倍于索的线性自振频率会引起索的分谐振动现象。

索端附加弹簧保护装置会显著改变其静力和动力特性。相关研究表明索网幕墙的抗震和抗风性能主要由平面内1阶模态起控制作用。因此，选择悬索平面内模态和工程师较为关注的平面内主共振为研究对象，建立了悬索附加弹簧保护装置的静力和动力非线性方程，求得了频率的特征方程和振型的闭合解，并利用多尺度法求解主共振响应的近似解和幅频响应方程。将附加弹簧与悬索刚度比作为关键参数，重点分析了该参数对不同垂度悬索的静力性能、前三阶频率和幅频响应的影响规律并给出了建议取值范围。本文的研究成果可以为索网幕墙附加弹簧保护装置的抗风和抗震初步设计提供参考。

1 数值模型建立及无量纲化

简谐荷载作用下悬索附加弹簧保护装置振动的简化模型如图1所示。悬索左端铰接于支座O，右端铰接于附加弹簧装置的支座A，x向为悬索纵向，y向为悬索横向，弹簧刚度为k，单索跨度为l，在静力荷载作用下索的跨中变形为b，简谐荷载为Fcos（Ωt）。本文仅研究由简谐荷载激励下的平面内单模态主共振响应。悬索振动符合如下假定：

（1）索在静力荷载作用下垂度（b/l）小于1/8，索的纵向振动符合准静态假定，忽略索纵向振动的惯性力;

（2）忽略索的抗弯、抗扭和抗剪刚度;

（3）未考虑模态耦合引起的内共振。

简谐荷载作用下悬索平面内振动方程为：

2 力学平衡方程

2.1 静力平衡方程

弹簧保护装置会显著影响悬索的静力学性能，因此，在动力分析前，有必要对附加弹簧装置索的静力学性能进行分析。假设悬索在静力均布荷载F₀作用下由初始索线型y=0慢速变化到线型w，因此，将方程（8）的惯性力项和速度项忽略，得到静力平衡方程

2.2 模态和频率方程

为了研究附加弹簧装置悬索的线性频率，令振动方程（8）和边界条件方程（6）的阻尼项、荷载项及非线性项等于零，得到悬索的无阻尼线性自由振动方程和边界方程

2.3 多尺度法求解非线性动力方程式中a₀为位移幅频响应，r₀为相位角，u为悬索的阻尼比。由以上推导过程可知，悬索端部弹簧装置的刚度贡献主要通过非线性系数。二来体现。

3 结果与讨论

3.1静力分析

为研究弹簧刚度对不同垂度索静力性能的影响规律，根据《索结构技术规程》对单层平面索网幕墙最大垂跨比为1/45的要求，选取3种索-I型索、Ⅱ型索和Ⅲ型索。当弹簧刚度为无穷大时，悬索的物理刚度a均为500，对应索的垂跨比b分别约为1/150，1/75和1/60，如表1所示。

根据静力计算公式（10），γ_k对垂跨比b和索力h₀的影响规律如图2和3所示。总体上随着γ_k减小，b增大，而相应的h₀减小，说明静力荷载作用下，边界约束削弱会引起索变形增大而相应的索力减小。随着垂跨比b增大，γk对b和h。的影响程度增大，对于I-Ⅲ型索，当γ_k从10²变化到0.1，b分别增加了5%，17%和22%，而h。分别降低了5%，20%和28%，γ_k=0.1时，I-Ⅲ型索的垂度均小于1/45.从γ_k对b和h。变化速率的影响分析，当γ_k从0.1到2时，b和h。变化较快，当γ_k变化大于2时，b和h₀变化不明显，当γ_k趋于无穷大时，边界约束为固定端，实际上在静力计算时，当γ_k大于20时，可以认为是固接。当γ_k>2时，与固接相比三类索的b和h₀变化均小于10%，而当γ_k<0.2时会引起弹簧的变形过大，不利于工程应用。因此，为将索变形控制在工程允许的范围内并同时降低索力，建议在工程上将γ_k取值在0.2到2之间。其中，垂跨比较大的索取区间内的较大值，垂跨比较小的索取区间内的较小值。

3.2 模态频率分析

反对称模态频率和模态公式（13）不含γ_k系数，说明附加弹簧装置不影响索反对称模态的频率和模态，其动力特性和固定端一致，因此，本文重点分析索的正对称模态动力特性。考虑附加弹簧后的系数a₁b²是综合反映索的物理刚度和几何刚度的重要参数，当a₁b²增大时，索的刚度增加。为研究附加弹簧刚度对a₁b²系数及频率的影响规律，通过调节索初始张拉力H₀，在相同静力荷载作用下让同类型索在附加不同刚度的弹簧装置后具有相同的垂跨比b和索力h₀。当附加弹簧刚度为无穷大，3种索的a₁b²系数分别为0.024，0.14和0.24.

弹簧刚度γ_k对系数a₁b²和正对称模态前三阶频率的影响规律如图4所示。分析图4可知：总体上，对于相同类型索，随着γ_k增大，a₁b²系数和正对称模态前三阶频率均增大;γ_k对前三阶频率的影响程度不同，γ_k对第1阶频率影响较大，而对第2和第3阶频率影响非常小，例如，对于Ⅱ型索，当γ_k从0.1增加到10³时，1阶频率增大28%，而2阶和3阶频率仅增大0.4%和0.05%;从γ_k对a₁b²系数和频率影响的变化速率分析，与静力计算结果类似，γ_k从0.1到2时，a₁b²系数和频率变化速率较快。γ_k>2时，a₁b²系数和频率变化速率慢;从不同类型索分析，垂跨比越大，γ_k对索的1阶频率的影响越大，当γ_k从0.1增加到10³时，Ⅲ型索（垂跨比1/60）的1阶频率增大41%，Ⅱ型索（垂跨比1/75）1阶频率增大28%，1型索（垂跨比1/150）1阶频率增大5.5%。

3.3 主共振下索的非线性响应分析

3.3.1γ_k对幅频响应a₀的影响规律

根據悬索附加弹簧装置位移幅频响应公式（26），荷载幅值F_k=0.002，考虑不同阻尼比u和刚度比γ_k，三型索的主共振下位移幅值响应曲线分别如图5-7所示，横坐标为解谐参数δ，纵坐标为索稳态响应的幅频响应a₀。由图5可知：I型索的幅频响应曲线均向右弯曲，表现为“硬弹簧”的非线性特性，与文献中无垂度索振动特性一致。当γ_k=50时，幅频响应的弯曲曲率大，索具有较强的非线性，随着附加弹簧刚度减小，弯曲曲率降低，当γ_k=0.1时，悬索体现出弱非线性。其主要原因为索的非线性项主要包含平方项系数和立方项系数，随着附加弹簧刚度减小，考虑端部弹簧的物理刚度a1降低，索的平方和立方项系数均减小，所以呈现出弱非线性特征。由图6和7可知：γ_k=50时，Ⅱ型和Ⅲ型悬索的幅频响应曲线均向左弯曲，表现为“软弹簧”的非线性特性，与文献中有垂度索振动特性一致，且与1型索一致，随着附加弹簧刚度减小，索表现出弱非线性特征。

3.3.2 阻尼比对幅频响应的影响规律

对于索网幕墙，幕墙为索网结构附加一定的阻尼，因此，有必要分析阻尼对索振动特性的影响。考虑了3种阻尼比（μ=0.02，0.03和0.05）对幅频响应的影响规律，由图5-7可知，随着阻尼比增大，三型索的最大幅频响应a_0，max（即幅频响应曲线的峰值点）均逐步降低且曲线更加平缓。同时，当索的非线性较强时，例如当γ_k=50时，随着阻尼比增加，索的幅频响应曲线弯曲程度也逐步降低，说明随着阻尼比增大，索表现出弱非线性。

3.3.3 γ_k对最大幅频响应a_0，max的影响规律

γ_k对最大幅频响应的影响规律如图8所示。总体上，随着γ_k减小，索的最大幅频响应均增大，随着阻尼增大，最大幅频响应减小。γ_k对垂跨比不同三型索的最大幅频响应的影响程度不一样，γ_k对垂度大悬索的最大幅频响应影响程度大，例如：当阻尼比为0.02时，γ_k从10³减小到0.1，I型、Ⅱ型和Ⅲ型索的最大幅频响应分别增加了6%，30%和40%，垂度最大的Ⅲ型索的最大幅频响应变化最大。从最大幅频响应的速率上分析，当γ_k小于2时，最大幅频响应变化速率相对较快，当γ_k大于2时，变化速率慢。

3.3.4γ_k对最大索力响应H_max的影响规律

索力是工程实践中重点关注的另外一个指标，γ_k对最大索力H_max（即索力的最大值）的影响规律如图9所示。总体上，与变形相反，随着γ_k减小，最大索力响应H_max均增大。而随着阻尼增大，最大幅频响应a_0，max减小，值得关注的是随着阻尼的增大，索的变形和索力均同时降低。与最大幅频响应相同，γ_k对垂跨比不同三型索的H_max影响程度不一样，γ_k对垂度大悬索的最大索力响应影响程度大，例如：当阻尼比为0.02时，γ_k从10³减小到0.1，I-Ⅲ型索的H_max分别减小了35%，38%和48%。

通过静力计算分析和幅频响应分析，为将索变形控制在工程允许的范围内并同时降低最大索力响应，建议在工程上将γ_k取值在0.2到2之间。其中，垂跨比较大的索取区间内的较大值，垂跨比较小的索取区间内的较小值。

4 结论

建立了悬索附加弹簧保护装置的静力和动力非线性方程，求得了频率的特征方程和振型的闭合解，并利用多尺度法求解主共振响应的近似解和幅频响应方程。分析了弹簧刚度对悬索的静力性能、前三阶频率和幅频响应的影响。得到的主要结论如下：

（1）静力分析结果：随着附加弹簧刚度与索轴向线刚度的比值γ_k减小，索垂跨比增大，而相应的索力减小。索垂跨比增大時，γ_k对索变形和索力的影响程度影响越明显。

（2）频率分析结果：γ_k未影响索反对称模态的频率。对于索的正对称模态，随着γ_k增大，第1阶频率明显增大且当γ_k从0.1变化到2时频率变化速率较快，而对第2和第3阶频率影响非常小。

（3）主共振非线性响应分析结果：随着γ_k减小，索的幅频响应曲线弯曲程度降低，索体出现较弱的非线性，最大索力响应降低而最大幅频响应增大;随着阻尼比增大，索呈现出较弱的非线性，最大索力响应和最大幅频响应均减小;垂跨比越大的索，γ_k对索力和位移响应影响越明显。

（4）为将索变形控制在工程允许的范围内并同时降低最大索力响应，建议在工程上将γ_k取值在0.2到2之间。其中，垂跨比较大的索取区间内的较大值，垂跨比较小的索取区间内的较小值。