“信号与系统”生动授课模式之图解法举例和实践

屠礼芬，彭 祺*，周传璘，章爱群，叶莎莎

(1.湖北工程学院 物理与电子信息工程学院，湖北 孝感 432000; 2. 湖北工程学院 生命科学技术学院，湖北 孝感 432000)

“信号与系统”课程是电子信息科学类相关专业的核心课程[1]，也是大部分院校的硕士研究生入学考试专业课，其重要性不言而喻。该课程内容丰富，包括了大量的理论推导和数学计算，需要较好的数学基础。然而，笔者执教的学院，属于地方二本院校，学生的数学基础较差，学习能力和自觉性也不强，导致大一的“高等数学”课程鲜有人学好。所以在“信号与系统”的教学过程中，与公式有关的推导，学生均提不起兴趣，进一步加大了教学难度。[2]

在笔者所在学校，“信号与系统”课程安排在第四学期，经过前三学期的学习，学生已经具备了基本的工科思维能力，对于模拟电路中输入与输出的关系，基本的乘法器、加法器的使用等[3]，都比较熟悉，相较与枯燥繁琐的数学公式，大部分学生对于框图的理解能力显著较强。而“信号与系统”课程里的很多知识点，虽然表面上看起来都是数学公式，但并不是纯数学，每个公式都是基于一定的物理模型，具有相应的物理意义，可以结合实际进行理解。

因此，笔者经过大量调研学生的先修课程和思维模式特点[4]，结合“信号与系统”课程自身的特点，提出图解法授课的教学理念，并将传统授课法与图解法分别运用于相同层次的不同班级，根据随堂测试结果和课后随访，图解法不仅仅能使学生更快速准确地掌握相应知识点，更为重要的是，经过一个学期之后，图解法授课的班级对相应知识点的记忆程度显著较强。

1 当前教学思路的特点

“信号与系统”中，无论是时域分析法还是变换域分析法，都要求系统是线性时不变(Linear Time Invariant, LTI)系统，所以如何判断系统的线性和时不变性是很重要的。要判断一个系统是否是LTI的，就要同时满足可分解性、零输入线性和零状态线性、零状态响应时不变性四个条件。根据“信号与系统”课程内容的特性，许多知识点都以公式推导的形式呈现，传统的教学思路如下[5]：

线性性质的证明过程为：当输入为f1(t)时，输出为y1(t)，当输入为f2(t)时，输出为y2(t)，在以上前提条件下，如果能推导出公式(1)，则系统是线性的。

af1(t)+bf2(t)→ay1(t)+by2(t)

(1)

当零输入和零状态输出都满足线性公式(1)，且可分解性公式(2)也满足，则系统是线性的

y(t)=yzi(t)+yzs(t)

(2)

时不变性质的证明过程为：当输入为f(t)时，对应零状态响应为yzs(t)，即yzs(t)=T{f(t)}，那么当系统还满足公式(3)时，则系统是时不变的。

yzs(t-td)=T{f(t-td)}

(3)

在传统教学思路下，通常都是先讲解相应的公式，然后教大家如何记忆公式，最后举若干实例，一方面教大家怎么把公式用到具体做题步骤，另一方面也加强了对公式的理解。

以上讲授方法的优点是直接、精炼，对于少数数学基础好、理解能力强的同学，结合公式、例题和课堂讲授，基本上能听懂。但对于大部分数学基础差的同学，公式的记忆本身就不容易，要达到灵活运用就更难。大部分同学对照例题时会求解类似习题，但是关上课本，要么公式记不住，要么记住了也难以灵活运用。经过后期回访，即使是数学基础较好的同学，通过这种教学方式，临时效果还不错，但在一个学期之后再让其描述相关部分的知识，基本全部忘记。这正是通过记忆、推导公式学习知识点的缺陷。

2 图解法分析系统特性举例

经过多年的教学经验积累，笔者针对生动授课要求，提出一种图解法授课模式。该模式根据学生已有的知识结构体系，结合“数电”、“模电”、“电路分析”等课程的基本知识来讲授，教会学生生动记忆概念、灵活理解性质。以下分别以系统的特性分析和零输入、零状态响应为例来说明。

2.1 系统特性分析

图解法进行系统特性分析需要用到数电、模电中的放大器、加法器进行推导，具体过程如下：

使用spss20.0分析数据。在双尾分布P＜0.05被认为有统计学意义。使用PearsonR计算相关性。

对于线性的讲解，对照图1：

(a) 原系统

(b) 对输出放大求和

(c) 对输入放大求和图1 线性性质图解

当系统输入原始信号f1(t)时，经系统T处理，其输出为y1(t)，当系统输入原始信号f2(t)时，经系统T处理，其输出为y2(t)，如图1(a)所示。然后将信号进行两种放大求和方式处理：图1(b)是分别将原始信号f1(t)、f2(t)作为系统的输入，经系统T处理后，输出分别为y1(t)、y2(t)，再分别经过一个放大系数为a和b的放大器，则输出分别为ay1(t)、by2(t)，最后经过一个加法器，输出为ay1(t)+by2(t)；图1(c)是分别将信号f1(t)、f2(t)经过一个放大系数为a和b的放大器，则输出分别为af1(t)、bf2(t)，再经过一个加法器，输出为af1(t)+bf2(t)，最后将该复合信号经系统T处理，则输出为T{af1(t)+bf2(t)}。显然二者对信号的处理方式是不一样的：第一种方式是直接对系统T处理之后的结果进行放大求和，第二种方式是对输入进行放大求和，再将复合信号用系统T进行作用，如果ay1(t)+by2(t)=T{af1(t)+bf2(t)}，则系统是时不变的。

对于时不变性的讲解对照图2：

(a) 原系统

(b) 输出延时

(c) 输入延时图2 时不变特性图解

当系统输入原始信号f(t)时，经系统T处理，其输出为yzs(t)，如图2(a)所示。然后将信号进行两种延时方式处理：图2(b)是将原始信号f(t)作为系统的输入，经系统T处理，输出为yzs(t)，然后经过一个延时系统延时td，则输出为yzs(t-td)；图2(c)是先将信号f(t)经过一个延时系统延时td，输出为f(t-td)，再将延时后的信号作为系统的输入，经系统T处理，输出用g(t)表示。显然二者对信号的处理方式是不一样的：第一种方式是直接对系统T处理之后的结果进行延迟，第二种方式是对输入进行延迟，再将延迟信号用系统T进行作用，如果yzs(t-td)=g(t)，则系统是时不变的。

线性和时不变性的判断，表面看来是运用公式计算推导，但从上述分析中我们发现，无论是什么性质，最终都是对一个实际系统的操作，比如放大、求和、延迟等，都可以用硬件构建出相应的过程，具有实际的物理意义。这也是“信号与系统”课程的特别之处，虽然被称为“工科数学”，但并不是抽象的数学，它具有实际的物理意义，只要细心将各个知识与实际系统联系起来，与学生的先修课程相对应，就可以把抽象的公式变得生动，无论是对于记忆还是灵活运用都有帮助。

LTI系统除了具有线性、时不变性之外，还具有积分、微分特性，所有这些特性都具有一个共性：输入发生什么变化，输出就发生同样的变化，或者说对于LTI系统，在系统T之前的操作，与系统T之后的相同操作，最后对系统的影响都是一样的，这是哲学的辩证统一思想，这样可以举一反三，帮助学生记忆所有特性，相较于抽象的数学公式，不仅生动好记忆，并且记忆也更长久。

2.2 零输入、零状态响应的初始值

图解法讲授零输入、零状态响应的定义及其初始值的确定方法需要用到语文、英语、电路的相关知识，具体过程如下：

我们把影响一个实际系统输出的信号分为两个部分：一个是某用户在使用该系统时，自己给系统的输入f(t)，该信号与系统自身无关，纯粹是外来信号；另一个是系统构建之初就存储于系统内部的初始状态x(0)，该信号与用户无关。这就类似于“电路分析”中一个充好电的LRC电路系统[6]，合上开关之后它的输出一方面受电压源或电流源的影响，这是外界输入f(t)的贡献，另一方面还受电容C和电感L放电的影响，这是系统初始状态x(0)的贡献。如果系统是一个LTI系统，外界输入f(t)和系统内部的初始状态x(0)对输出的影响是完全独立的：f(t)引起的输出标记为yzs(t)，z、s分别是英文单词zero(零)和state(状态)的缩写，所以命名为零状态响应；x(0)引起的输出标记为yzi(t)，z、i分别是英文单词zero(零)和input(输入)的缩写，所以命名为零输入响应。

图3 零输入、零状态响应初始值的确定

首先在黑板上画一个时间坐标轴t，中间位置为t=0的点，结合实际，该点就是用户在使用某系统时开机的时刻，其中t=0-指从左边无限接近于0，也就是还没有开机，t=0+指从右边无限接近于0，此时已经开机，这两个点，如果在数学计算上，都为t=0，但物理意义绝然不同。大纲通常要求学生掌握二阶系统的分析，要求解二阶系统的零输入、零状态响应表达式，该表达式指系统开机之后所遵循的数学公式，所以必须使用开机之后的初始条件，分别为：yzi(0+)、yzi′(0+)；yzs(0+)、yzs′(0+)。

对于零状态响应yzs(t)，其输出是由用户在时刻t=0由外部加入的信号f(t)引起的，在t=0-，f(t)尚未加入，系统尚未开机，则yzs(0-)=0，其以左的任意时刻，即t<0时，都满足yzs(t)=0，这个初始条件对所有系统都成立，在解题时，通常不会直接作为已知条件呈现，所以要提醒学生必须记住这个隐含的已知条件；而在t=0+，此时f(t)已经加入，系统已经开机，那么yzs(0+)的值就与yzs(0-)可能不一样，从t=0-到t=0+时间极短，从目前学生学习的信号来看，只有冲激函数δ(t)才能在极短的时间聚集能量，所以当f(t)中含有冲激函数及其各阶导数时，yzs(0+)的值与yzs(0-)不同，否则也不会发生变化。如果有变化，确定yzs(0+)的值就需要用冲激函数匹配法，再配合一个冲激函数匹配法实例讲解。

而对于零输入相应，只跟初始条件x(0)相关，也就是f(t)=0，初始条件时系统开机(t=0)之前就已经存在，在用户点开机之后，并没有新的信号引入，故对于yzi(t)，有yzi(0+)=yzi(0-)成立。

对于LTI系统，在任意时刻y(t)=yzi(t)+yzs(t)，推导出y(0-)=yzi(0-)+yzs(0-)，而yzs(0-)恒等于0，故又可以推导出yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)。以上所有公式，运用LTI系统的微分特性，两边同时求导，等号依然成立，那么各阶导数也满足以上条件。

相较于传统的直接呈现公式让学生记忆授课方式，本方法虽然多耗费几分钟课堂时间，但基本上讲一次，学生就能深刻理解和灵活运用，并且记忆更长久。

3 教学效果对比

笔者采用两个层次相当、人数都在45以内的行政班级做对比试验，整个学期所使用的课件相同，理论课均为16周，每周上2次课，每次课2学时，每学时45分钟，授课教师也相同，且两个班的授课时间交错排列，基本不受教师讲授熟练程度的影响。

授课过程中发现，采用图解法授课的班级授课时间略微偏长，但学生对知识的理解更深刻，理论联系实际的能力更强，所以在后面的课堂练习中，做题速度明显提高，所以总的课程进度与采用传统授课的班级基本保持一致。

在学期末，采用闭卷考试，相同的试卷，从教务系统自动产生的成绩分布如图4所示：

图4(a)为传统授课班级的卷面成绩，班级总人数为28人，全部参加考试，平均分57.61，只有10.71%为优秀，而59分以下占比达到50%。图4(b)为图解法授课班级的卷面成绩，班级总人数为35人，本次考试2人缺考，教务系统自动记为0分，即使有拉低整体成绩的情况存在，但该班级的平均分依然能达到70.8，有40%达到优秀，而59分以下占比20%，其中两人是因为缺考，所以实际不及格的只有5人。

(a) 传统授课班级

(b) 图解法授课班级图4 考试成绩分布图

以上数据表明，采用图解法授课的班级，对相同知识的掌握程度更深、灵活运用能力更强。在经过大约15个月后，两个班都有部分人参加研究生入学考试，大部分专业课都是信号与系统，但由于不同学校的试卷不同，考试成绩没有明显对比意义，但在笔者对这些学生进行学习辅导的过程中，图解法授课班级的学生对原来讲授的相关知识记忆更为深刻，复习进展更为顺利。

4 结语

教学实践表明，本文所探讨的图解法授课，虽然课堂讲授时间比传统授课方式要长，但更能激发学生的兴趣，相较于对照组，授课效果有非常明显的改善：学生基本都能听懂授课内容，课堂习题也能顺利地完成，考试效果有明显的优势，并且对知识点的记忆时间更长。

总结原因如下：一方面是因为图解法用学生先修课程中熟悉的部分作为指引，让学生有学习成就感；另一方面，相较于传统的数学公式推导，图解法更形象生动，符合现在学生的兴趣点。