利用GeoGebra让行星的逆行现象不再神秘

张 静 于文高

(1. 江苏省淮阴中学，江苏 淮安 223002； 2. 淮安市教学研究室，江苏 淮安 223001)

人教版高中物理教材(必修2)中提到了行星的逆行现象，行星逆行现象为日心说提供了有力证据，但是行星的逆行现象一般的中学生难以观察到，很难想象这是怎么回事，充满了神秘感．可以利用动态数学软件GeoGebra对这一现象进行比较精确的模拟，从而让学生对这一现象形成很直观的认识，在此基础上可以比较容易地发现行星逆行的一些规律.

1 模拟金星绕太阳的运动

1.1 行星公转的相关数据

查得地球的公转轨道半径为1 AU(即一个天文单位)、周期为365.24天，金星的公转轨道半径为0.72 AU、周期为224.70天，火星的公转轨道半径为1.67 AU、周期为686.98天.

1.2 模拟金星、地球的公转

在GeoGebra中任意作出一点A作为太阳.

以A为圆心作一半径为1的圆作为地球的公转轨道，并在其上作一动点B表示地球，并设置B点的动画速度为1.

以A为圆心作一半径为0.72的圆作为金星的轨道，并在其上作一动点C表示金星，并设置C点的动画速度为13/8.

设置各对象的其它属性，使视觉效果简洁、美观.

分别右击B点、C点在弹出的右键菜单中选择“Animation On”，让“地球”和“金星”绕“太阳”运转起来，如图1所示.

图1

此时，已经模拟出了金星、地球绕太阳的公转情况，但是还不能直观地看出金星的逆行现象．因为，这是从太阳的视角来看金星与地球的运行情况，而金星的逆行是金星相对于地心的运动过程中出现的特殊现象，怎么来模拟呢？

2 模拟金星相对于地球的运动

在表示太阳的A点的右侧适当位置画出一定点D，用来表示不动的地球.

在GeoGebra的指令栏中输入C-B+D，得到一个新的点E，用来表示不动的地球(D点)周围的金星，并在右键菜单中设置跟踪(Trace on).

设置D、E两点的其它属性，使视觉效果简洁、美观.

(1) 每经过一段时间后金星相对于地球的绕行方向发生改变，这就是金星的逆行现象.

(2) 金星的逆行现象都是发生在金星与地球相距较近的时候.

(3) 经过足够长时间后，可发现金星相对于地球的运动轨迹构成了一个简单、规则的图形，如图2所示，从内侧向外侧由若干层“5瓣形”组成.

为了方便读者观察，特将动画制作成视频文件上传至百度网盘，网址为“https://pan.baidu.com/s/1llqKNOYC5tm1k8Fptw89kg”，需要的读者可以下载.

图2

3 对行星逆行现象的进一步研究

3.1 火星有逆行现象吗？

金星是一颗内行星，作为外行星的火星有逆行现象吗？

可以通过GeoGebra来验证一下，根据前面查得的相关数据对这个动画作一些调整.

隐藏表示金星轨道的圆及表示金星的两个点C、E．以A点为圆心作半径为1.67的圆(火星的公转半径为1.67 AU)表示火星的轨道，在其上作一动点F表示火星，设置其动画速度为0.5317(火星与地球的公转角速度之比为0.5317).

在指令栏中输入F-B+D，得到一个新的点G，用来表示不动的地球(D点)周围的金星，并在G点的右键菜单中设置跟踪(Trace on).

右击F点，在弹出的右键菜单中选择“Animation On”，让“火星”绕“太阳”运转起来，运行动画，一段时间后可得到类似于图3所示的轨迹，仔细观察动画后可发现有一小段时间火星发生逆行，并且逆行都是发生在火星与地球相距较近的位置．运行较长时间后可发现火星相对于地心的运动轨迹不是一个简单规则的图形，足够长时间后可发现火星几乎可到达其与地球间距离为最小与最大所决定的环形区域的任一位置.

图3

那么，所有的行星都会发生逆行吗？什么条件下行星相对于地球的运行轨迹是一个简单规则的图形？所形成的简单图形的“瓣数”由什么决定呢？

3.2 行星发生逆行的简单解释

由于地球与除太阳外的其他恒星相距都非常遥远，即使地球、恒星都在运动，以地心的视角来观察时，天球上各个恒星(不含太阳)的位置在有限时间内都是几乎不变的.

人们常说的“斗转星移”是由于地球的自转及公转导致人们在地面上观察天球的视角方位发生变化而造成的.

由于太阳系内的行星离地球的距离相对其它恒星离地球的距离都小很多，不能当作无限远．从地心视角观察，行星在天球上的位置是不断变化的，行进的.

由GeoGebra做出的动画可以直观看出，当行星与地球相距比较远时，不会发生逆行，当行星距地球较近时才会发生逆行.

3.2.1 内行星逆行的简单解释

图4

行星与地球绕太阳的公转方向都是自西向东，地球的自转方向也是自西向东，从北极上空看起来，地球的公转与自转方向都是逆时针方向，[1]图4就是大致从北极上空观察行星与地球公转的情况．[2]

对于内行星，如图4所示，当行星相对于地球处于上合位置附近时，行星离地球较远，容易判断出行星相对于地球的绕行方向为自西向东(逆时针)，此为顺行．[3]

当行星相对于地球处于下合位置附近时，由于内行星的公转速度vV大于地球的公转速度vE，可判断出此时行星相对于地球的绕行方向为自东向西(顺时针)，发生了逆行.

图5

3.2.2 外行星逆行的简单解释

对于外行星，如图5所示，当行星相对于地球处于合日位置附近时，行星离地球较远，容易判断出行星相对于地球的绕行方向为自西向东(逆时针)，此为顺行.

当外行星相对于地球处于冲日位置附近时，由于外行星的公转速度vM小于地球的公转速度vE，可判断出此时行星相对于地球的绕行方向为自东向西(顺时针)，发生了逆行.

图6

需要说明的是，这是在行星公转轨道是圆的条件下得出的结论，那些轨道离心率比较大的小行星是否存在逆行现象还需进一步分析.

3.3 金星每次逆行持续多长时间?

如图6所示，当金星、地球与太阳连线的夹角恰好为某一角度α，金星与地球的公转速度沿垂直于它们连线方向的分速度vV1、vE1相等时，金星相对于地心的速度方向恰好指向地球，金星在天球上的运行角速度恰为0，此时金星刚开始逆行．而当金星相对于地球位于此位置关于日地连线的对称位置时，金星相对于地球的速度方向背离地球，金星逆行恰好结束.

令rV、rE分别表示金星与地球的公转轨道半径，由图6，根据正弦定理，有

(1)

据高中知识容易求得金星、地球的公转速度大小分别为

(2)

据以上分析，有vV1=vE1，即

vVcos(α+θ)=vEcosθ.

(3)

由(1)～(3)式可解得

代入rV=0.72rE，可求得

θ≈28.72°；α=13.18°.

金星与地球绕太阳公转的相对角速度

金星逆行持续的时间为

代入相关的数据可求得t逆=42.76天.

网上查得最近3次金星逆行的时间分别为：2015年7月25日～2015年9月6日、2017年3月4日～2017年4月15日和2018年10月5日～11月16日，3次逆行持续的时间分别为42天、42天和43天．算出的结果与实际数据吻合得很好！

3.4 金星每隔多长时间发生一次逆行

对于金星，代入相关数据，可得T=583.96天.

由最近3次金星逆行的时间求得间隔的时间分别为588天、580天，吻合得较好.存在一些误差的原因是实际上金星与地球公转轨道都不是圆，而是椭圆.

3.5 行星在天球上的轨迹的“瓣数”取决于什么?

可以得出，若沿圆轨道公转的行星与地球的公转周期之比不是无理数(非无理数一定可以用最简分数表示)，观察到的行星相对地心的运动轨迹是一个规则的形状，有一定的周期．如果这个最简分数的分子n与分母m都不太大，则轨迹的形状比较简单，并且轨迹的“瓣数”N=|m-n|．这一点也可以用GeoGebra来进行验证，感兴趣的教师可以尝试.

4 结语

利用GeoGebra经过简单的几步操作就可以模拟出行星运动，在模拟出行星相对于地球的运动后，可以很容易理解行星逆行现象的成因、特点，进而可以发现一些特别的规律.而这一切还不需要复杂高深的数学运算.这样的体验可以大大激发出学生学习物理的兴趣和探索星空的勇气．进一步还可以引导学生学习相关的天文知识，如：会合周期、凌日现象等等，也可以引导学生自己利用Geogebra去探索、模拟.

在中国大学慕课网上跟随北京大学唐大仕老师系统学习了GeoGebra的教学应用后，越来越感受到GeoGebra功能强大，非常适用于高中物理问题的探索．唐大仕老师总结出利用GeoGebra探索问题的一般模式： (1) 提出问题； (2) 利用GeoGebra将问题可视化； (3) 解决问题； (4) 进一步提出新的问题．在实践过程中发现确实如此，以探索行星逆行为例，本想仅模拟金星的逆行现象，没想到竟然收获了这么多的发现.