低仰角时太阳的视觉形状

李忠相 栾 丽

(重庆市第一中学校，重庆 400030)

图1 黄山日出照(局部)

有朋友发了一些在黄山拍的日出照片，局部放大后如图1所示.很容易发现，太阳看起来“不太圆”.这应该和大气的折射有关，于是尝试从几何光学的角度计算一下日出时太阳的视觉形状.

1 初步计算

日出时，太阳光线经过大气层的折射后到达地表附近.地表附近大气折射率约为1.0003，随着距地面高度增加，折射率逐渐减小趋近于真空折射率n0= 1.太阳光线在大气层中的传播路径为一条曲线，形状大致如图2所示.

图2 大气层使光线偏折

由于大气层的折射率受多种因素影响，人们提出过多种数据模型.[1]本文采用最简单的近似，即将厚度为h=10 km，集中了大气层75%质量的对流层作为各项同性的均匀介质，折射率取n=1.0003，对流层以上的大气忽略不计，视为真空.按这种模型大气对光线的偏折如图3所示.

图3 等效大气层使光线偏折

太阳光线入射角为i，折射角为r，由折射定律有

n0sini=nsinr.

(1)

日出时，太阳仰角记为0，即认为折射光线平行于观察点的水平面，由几何关系有

(2)

代入地球半径为R=6370 km以及前述相关物理量，可得

sinr=0.9984326，sini=0.9987321.

(3)

图4 太阳视角高度的变化

太阳的视觉形状由其对观察者的视角决定.设太阳对地球上的观察者视角宽度为Δθ，由于大气的折射，水平视角宽度不变，[2]仍为Δθ；竖直视角宽度变为Δθ′.由图4的几何关系，容易得到

i+Δθ=i+Δi，r+Δθ′=r+Δr.

(4)

即

Δθ=Δi，Δθ′=Δr.

(5)

由于Δθ、Δθ′、Δi、Δr都极小，对(1)式微元，即可得

n0cosiΔi=ncosrΔr.

(6)

代入数据，有

(7)

可见，仰角为0度时，太阳的视觉形状是将一个圆的高度压缩至原来的0.8992倍，而宽度不变.由几何知识可知，纵向等比例压缩后的图形为椭圆.半短轴b和半长轴a之比为

(8)

离心率e为

(9)

保留两位有效数字，记e=0.44.

2 结果验证

如果按理论计算结果，作一系列e=0.44的不同大小的椭圆，与该照片对比如图5，二者符合得很好.

图5 黄山日出照与计算结果的对比

图6 黄山日出照尺寸

测量黄出日出照片中太阳的形状，数据为

b=3.44，a=3.69.

(10)

(11)

可见，在离心率这个指标上相对误差约为17%.这个系统误差应该是由照片拍摄时太阳的仰角并不为0度导致的.

3 仰角的影响

实际观测时，仰角通常大于0度.若观测时有一仰角α，折射角r由正弦定理确定，即

(12)

其余物理量的计算同前文，代入不同的数据(结果见表1)发现，随着仰角的增大，太阳视觉形状的离心率越小，看起来越圆.

表1 不同仰角时太阳形状的计算和验证

4 仰角的验证

由于黄山日出照拍摄者没有记录当时的仰角信息，我们重新拍摄和记录了一组照片.用激光测量仪可以比较精确地测量太阳的仰角，在重庆鸿恩寺公园可以记录的最小整数仰角为1°.如图7，拍摄的原始照片经局部放大、调高对比度、添加测量线后测得其数据为

b=8.62，a=9.47.

(13)

(14)

图7

和仰角1°时的理论值0.4178的相对误差为0.9%，符合得非常好.用同样的方法，处理其他仰角时的照片，测量结果见表1中后3列.仰角大于10°时，照片上太阳已经非常接近圆，数据采集和测量的误差较大，没有录入表格中.

可见，按前文的计算和对比，文中所使用的最简化的模型能满足粗略估计的需要，能用于解释低仰角时太阳视觉形状为椭圆的原因.如果要得到更加精确的计算结果，可能还需要结合一些实测数据(包括但不限于大气压强分布、温度分布、湿度分布)作更准确的计算.

同时，本文分析时，太阳的仰角取太阳中心点的仰角.事实上太阳的视角宽度大约为0.5°，由于高宽压缩比和仰角有关，太阳下方压缩比更大，这就不是严格的椭圆了.在本文分析时略去了这个小的细节.

5 教学价值

在高考范围内，可以作定性分析或者给出模型要点做定量计算.在物理竞赛范围内，可以和气体分布的知识结合，自建模型进行定量计算.在STEAM教育或课外兴趣活动中，可以作为探索题目进行实际观测和理论计算的对比研究.