关于不定积分的计算方法的教学研究*

秦春艳

(宿州学院 数学与统计学院 安徽 宿州 234000)

引言

众所周知，高等数学是大学的一门基础课程，关于它的教学研究非常重要。不定积分的计算是高等数学的主要内容，在理工类专业中的应用十分广泛。在教学过程中发现学生在学习不定积分的计算时，觉得非常抽象、难以理解，尤其是用换元法来计算不定积分。针对这一现象，本文通过给出几个典例来说明不定积分的几种计算方法，希望能够增加学生对高数学习的兴趣，提高他们的积极性。

1.换元积分法

注：第一类换元法在积分学中经常使用，方法中的φ(x)隐含在被积函数表达式中。 然而如何适当选择变量代换u=φ(x)，把积分中φ′(x)dx“凑”成du的形式并没有一般规律可循，所以关键是要多做练习，熟练掌握各种形式的“凑微分”方法。而“凑微分”法是复合函数求导的逆运算，任何一个微分运算公式都可以作为凑微分的途径，这要求熟练掌握微分运算。

第二类换元积分法：

于是根式化成了三角式，所求积分化为

注：第二类换元法的关键是适当地选择变量代换x=Ψ(t)，使公式中f(Ψ(t))Ψ′(t)的原函数易求。当被积函数中含有根式而又不能用凑微分法时可考虑用第二类换元积分法，根据被积函数的具体情况，选取尽可能简捷的代换将被积函数有理化。

两组患者接受药物治疗后，血脂水平均处于不断改善的状态中。其中第4、8周时，试验组TC、TG、LDL-C水平低于对照组，HDL-C水平高于对照组，差异均有统计学意义（P＜0.05），见表1。

2.分部积分法

注：(1)被积函数中如果含有对数函数、三角函数、反三角函数、指数函数和幂函数两两相乘的形式时，可以考虑用分部积分法。恰当地选取u和dv是分部积分法的关键，选择u和v′ 时可按“反对幂三指”的顺序，排列在前的函数取为u，排列在后的函数取为v′(其中三角函数与指数函数位置是可以交换的)。

(2)被积函数的表达式若只含有反三角函数或对数函数,也可以考虑用分部积分法。并且把反三角函数或对数函数取为u,dx就是dv的表达式。

3.有理函数的积分

解：被积函数的分母分解成(x+5)(x-2), 故可设

其中A、B为待定系数.上式两端去分母后，得2x+3=A(x-2)+B(x+5), 即2x+3=(A+B)x-2A+5B,

比较上式两端同次幂的系数，即有

对应Q(x)的因子则P(x)Q(x)分解成最简单分式代数和含有(x-a)kA1x-a+A2(x-a)2+…+Ak(x-a)k(x2+px+q)kA1x+B1x2+px+q+A2x+B2(x2+px+q)2+…+Ak+Bk(x2+px+q)k

第一步：将Q(x)分解成一次因式与二次因式之和；

第三步: 对每个简单部分分式逐项积分。