基于GM(1,1)改进模型在变形预测中的应用研究

杨 静,汪坚明,汪尧峰

(1.中国水利水电第八工程局有限公司科研设计院，湖南 长沙 410000；2.浙江广盛环境建设集团有限公司，浙江 舟山 316000；3.舟山市海洋勘测设计院，浙江 舟山 316021)

社会经济的快速发展，大型工业建筑、高层建筑物、大坝等大型建(构)筑物不断涌现，这些建(构)筑物在施工或运营期间，受到多方面因素的影响会发生一定的变形，如果变形超过一定的规范限度或发生较大的不均匀变形会影响工程的正常使用，严重时会造成安全事故，对人们的生命与财产造成巨大威胁[1]。显然，对建(构)筑物信息化施工与运营更加有必要，但现有监测技术只能得到事前时间序列数据，属于部分已知数据。只有分析事前信息，建立预测模型，才能有效指导施工与运营[2]。因此，如何建立有效预测模型是一件有价值的研究。

1 传统灰色GM(1,1)模型

1.1 灰色理论基本原理

灰色理论(Grey Theory)是由我国著名学者邓聚龙教授于1982年首次提出。它是基于关联空间、光滑离散函数等概念，定义了灰导数、灰微分方程，进而用离散数据建立了微分方程型的动态模型[3]。其中，GM模型是一个近似的差微分方程模型，具有微分、差分、指数兼容等性质，模型参数可调，结构随时间而变，一定程度上避免了在建模中要求数据多，从而摆脱难以得到“微分”性质的局限。利用GM模型可对所研究系统进行全局观察、分析及预测[4]。由预测因子的数目来确定预测模型是一阶多元预测模型GM(1,N)还是一阶一元预测模型GM(1,1)，通常工程应用较多的是GM(1,1)模型[5]。

1.2 传统灰色GM(1,1)模型的建立

(1)设有n个非负原始观测数据序列X(0)=[x(0)(1),x(0)(2),…，x(0)(n)]，则由X(0)序列累加(1-AGO)得到序列X(1)为：

X(1)=[x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)]

(2)由序列X(1)构造背景值序列Z(1)为：Z(1)=[z(1)(1),z(1)(2),…，z(1)(n)]

其中,Z(1)取X(1)紧邻均值生成序列，即z(1)(k)=0.5[x(1)(k)+x(1)(k-1)]

(3)建立灰色GM(1,1)模型的一级白化微分方程为：

(1)

式中，a用来控制系统发展事态的大小，称为发展系数；b用来反映资料变化的关系，称为灰色作用量。

(4)根据最小二乘原理，灰色GM(1,1)模型的参数列为：

A=[a,b]T=(BTB)-1BTY

(2)

将计算求得的参数a，b带入式(1)，并求解微分方程，取初始条件x(0)(1)，得X(1)的时间响应函数为：

(3)

(5)对式(3)再作一阶累减函数还原计算(1-IAGO)，得到原始序列X(0)的还原值为：

(4)

当k≤n时，所得值为原始数据的拟合值；当k≥n时，所得数据为预测值。

1.3 传统模型的局限性分析

在以上建模思路过程中，可以发现传统模型主要存在以下不足之处：

(1)由式(2)可知，传统GM(1,1)模型的拟合与预测精度取决于常数a和b，而a和b的值又依赖于原始序列和背景值的构造形式，因此，构造背景值公式是决定拟合误差的关键因素之一。

2 GM(1,1)改进模型

2.1 优化原始数据

对于传统GM(1,1)的预测结果受到原始数据是否满足指数增长规律的影响，因此，当原始数据波动较大时，需要对其平滑处理[6]。本文采用滑动平均法对原始数据x(0)(k)进行预处理，生成新的序列。

X(0)(k)=[x(0)(k-1)+2x(0)(k)+x(0)(k+1)]/4,(1

(5)

左右端点的计算式为：

X(0)(1)=[3x(0)(1)+x(0)(2)]/4

(6)

X(0)(n)=[x(0)(n-1)+3x(0)(n)]/4

(7)

2.2 优化背景值

灰色模型预测实质是指数预测模型，在预测过程中ea对模型的精度有较大的影响。有指数函数特性可知，当a值较小时，预测曲线较平缓，误差较小；当a值较大时，指数函数增长速度较快，预测精度较差。本文根据文献[7]的方法从新构造背景值，其计算公式如下：

(8)

在传统GM(1,1)模型采用的是一阶Lagrange插值多项式代替被积函数的梯形积分公式来对背景值进行构造。虽然计算过程很简单，但是精度较低，如果采用Simpson积分公式进行运算[8]，计算精度将有所提高。具体优化结果如下公式：

x(1)(k+1)]k=1,2,…,n-1

(9)

z(1)(k+1)=[5x(1)(k)+8x(1)(k+1)-x(1)(k+2)]/12

(10)

z(1)(n)=[-x(1)(n-2)+8x(1)(n-1)+5x(1)(n)]/12

(11)

其中，k=1,2,…，n-2

2.3 优化初始值

(12)

式中，ck=-e-a(k-1)

残差平方和为：

(13)

3 GM(1,1)模型的精度检验

为判断GM(1,1)模型预测的可靠性，需要对模型的精度进行检验。GM(1,1)模型的精度检验通常是通过后验差法。本文采用相对误差、绝对误差(残差)、均方差比值C及小误差概率P四个指标来评价拟合预测效果。

3.1 残差检验合格模型

假设GM(1,1)模型求出X(0)的预测值

e=[e(1),e(2),…,e(n)]

(14)

e表示拟合值、预测值与原始数据的接近程度，因此e值越小越好。

相对误差序列为：

(15)

相对误差Δ表示预测残差占原始数据的比例，因此，越小越好。

3.2 均方差比与小误差概率合格模型

原始数列X(0)及残差数列e的方差为：

(16)

(17)

计算后验方差比值C和小误差概率P，即

模型精度由C和P共同表示，C值越小则预测精度越好，P值越大说明你误差较小的概率越大，模型精度越高。

表1 精度等级参照表

4 实例分析

本文是南方某大坝边坡监测点的沉降监测数据为例，来验证GM(1,1)改进模型对大坝边坡沉降预测的可行性。所测数据见表[10]。

监测时间是从2013年5月1日开始，观测周期为15 d。本文取前11期监测数据资料进行试验。其中，用前8期观测数据作为原始序列建立模型，然后用9～11期数据来验证预测结果。

表2 监测点沉降监测

表3 监测点拟合预测结果检验表

由表3和图1可知，改进GM(1,1)模型相对于传统GM(1,1)的残差有明显的提高，尤其在监测第4周期以后，残差逐渐变小。到第8周期以后，改进模型和传统模型存在一个转折点。其中，改进模型预测值残差在0值以上，离0值较近；而传统模型预测值残差在0值一下，且相对改进模型距离0值较远。从监测周期来看，传统模型随着时间序列推移残差逐渐变大，而改进模型则残差趋于稳定。综上，传统模型对于短时间预测存在一定效果，但不适合长周期；而改进模型预测数据残差均趋于稳定状态，适合长周期。

传统模型与改进模型拟合值的相对残差基本接近，只有若干点有所减小。但对预测值来说，改进模型相对传统模型的相对残差大幅度减小。

图1 监测点两种模型的残差曲线

将两种模型进行精度对比分析，由表4可知，尽管两种模型的小概率P均为1，为1级，但是改进的GM(1,1)相对传统模型后验差比更小。根据精度等级划分，改进模型精度等级为1级，优于传统模型。

表4 两种模型分别所在的精度等级

5 结 语

传统GM(1,1)模型是带有偏差的灰指数模型，存在着模型残差大、精度低等问题。本文通过对传统GM(1,1)模型的背景值、初始值以及原始数据进行优化处理。最后应用大坝边坡沉降监测数据进行实例验证，对比两种模型预测精度，结果表明改进后的模型预测精度更高。将其方法应用大坝变形监测，更能满足实际工程需要，具有一定的工程实用价值。