从构圆求线段最值的教学谈初中生的课堂学习

张伟

【摘 要】本文对于在什么情况可以构造圆去解决一些最值问题，谈谈初中数学课堂上，教师能做些什么来提高初中生的数学学习能力和水平。

【关键词】构造圆;最值;课堂

初中阶段，我们会遇到很多线段求最值的问题，而其中有一些线段的最值问题可以通过构造圆来解决，这类问题的解决不仅可以提高学生对圆的基本性质的认知和分析问题解决问题的能力，又可以大幅提高学生的思维水平、探究能力和学习兴趣。尤其对于面临中考的初三学生，能够对于构造圆有个系统性的认识。但是我们在教学中会发现这种类型的问题已经讲过很多次了，学生还是错误率很高，那么这是怎么回事呢？

一、错因分析

（一）对于圆的概念不能清晰掌握

比如在做这样一道题时：在△ABC中，AB=3，AC=3，当∠B最大时，BC的长是.学生甲认为，三角形不固定，无法画出图形帮助解题。而学生乙则说，线段AC、AB是定值，则可认为C点的运动轨迹是以A为圆心，AC为半径的圆，则可知当∠B最大时，BC与圆相切，则求出答案是6。这个就是没有想到我们讲圆的运动定义，虽然图形不固定，但轨迹是确定的，我们将看似不动的线段转化成绕定点旋转的线段，从而能构造圆来解决问题。

（二）对于圆的一个基本结论没有理解

有这样一个结论：圆内（外）一点到圆上各点的线段中，过圆心的线段取得最值。

比如做这样一道题时：如图在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是.

学生丙说，我发现了MA′=MA=MD，也就知道了点A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，可是这又跟A′C长度的最小值有什么联系呢？而学生丁就快速地说出了上面的一个结论，他说通过结论知当M、A′、C三点共线时，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可.学生丙又问，为什么我总是不能记得这个结论呢？学生丁则很意外，说这个就是用两边之和大于第三边或者说两点之间线段最短得到的。

为什么学生的回答有很大差异？为什么这种有难度的题目有些学生能很快掌握，有些学生讲了很多次都不理解呢？笔者认为主要是在数学课堂上教师的教与学生的学并不能有效结合起来。

二、课堂教学

（一）注重概念的理解和分析

数学概念的教学不是单纯的给出定义，直接背诵，而是要对数学概念进行剖析，让学生理解。李士琦在《数学教育心理》中指出，学习一个数学概念、原理、法则，如果能够在心理上组织起适当的有效地认知结构，并使之成为个人内部知识网络的一部分，那么才说明是理解了。而数学的理解，既是对数学对象的理解，也是从数学的角度去理解现实。而我们在让学生理解圆的定义的时候，它包含两种：一是运动定义，二是集合定义，两者相辅相成，缺一不可。在讲解运动定义时，可以教师用一段绳长做定长，粉笔做定点进行演示，也可让一位同学绑住一根绳子做定点，另一位同学拉绳子绕走一圈进行演示。再将演示抽象成数学符号语言的描述，并能够与演示对应起来，这样我们就知道了圆的概念是从哪里来的。当加入一位同学用同样的绳长绕走一圈后，我们会发现轨迹相同，两位同学抽象成的点在同一个圆上，于是学生能自己总结出圆的集合定义。这样，我们就能从点的运动知道轨迹是圆，从轨迹是圆知道点的运动是什么，从感性认识上升到了理性认识。学生在积极主动的过程中理解了圆的概念，就可以知道概念的用途了。那么在读完刚才的第一个题目，就能够感受定长的线段实际上可以看成是运动的线段，知道轨迹是一个圆了。

（二）注重结论运用时的来龙去脉

我们对于数学的一些结论，在课堂教学中，要注意承接性和连续性，要说清楚结论的来龙去脉，因为学生对数学的理解，尤其是对几何的理解是非线性的，反反复复建构组织的过程。如前面的一点与圆上一点之间的距离大小问题，本质上其实就是两点之间线段最短的这个基本原理。而在初一讲这个基本原理时，需要让学生动手计算或操作，从而从实际转化成理论，但在初三理解这个结论时，需要让学生将知识点迁移过来，让学生有了原来如此的感受，才能深刻的理解结论，才能够应用起来。只有重视学生的原有知识体系和脉络，才能让学生能逐步深入的理解数学。

总之，德国教育家第斯多惠说：“一个坏教师给学生奉献真理，一个好教师则教学生发现真理。”《課程标准（2011版）》指出：在日常教学活动中，教师应努力挖掘教学内容中可能蕴涵的与知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个目标有关的教育价值，通过长期的教学过程，逐渐实现课程的整体目标。而我们也需要通过系列构造圆的题目来积累数学方法、数学思维方式，来提高学生的问题解决能力。当学生的头脑中储存了合理、清晰的数学知识结构体系，就能在解决问题时能快速地将问题与相关知识形成联系，通过选择解题方法优化解题方案。

参考文献：

[1]邓文忠.利用圆的一个结论求一类线段的最值[J].中学数学杂志，2015⑷.

[2]张春光.中学生数学概念认知理解过程研究[D].济南：山东师范大学，2011.