动点问题中的函数
2020-07-13贺春平
贺春平
此类问题是涵盖了多个知识点的综合性问题（一般情况有行程问题（路程=速度×时间）、函数问题、解直角三角形问题、面积等），对于初中学生而言，函数问题就很难了，有穿插了那么多的知识点，因此，学生只要见到“动点”二字就产生恐惧，首先从心里上就败下了阵，还怎么谈解决问题呢？在此，针对此类问题谈一谈自己的一点见解：认真审题梳理清楚所涵盖知识点、判断转折点、“动态”问题“静态”思考、构建数学模型、列出分段函数解析式。我们通过下面的例题来作具体讲解、分析：
例1：（2018山东潍坊）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，
， 动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止，若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S平方厘米，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）
解析：因为动点P速度是1厘米/秒，动点Q速度是2厘米/秒，所以点Q速度是点P速度的2倍;又因为菱形ABCD的边长是4厘米，如图1所示：所以可以得出当点P运动到AB中点O时，点Q运动到点C位置，比较可以发现当点P在AO上运动时（点Q在BC上运动），BP和△BPQ的高都在变化;当点P在OB上运动时（点Q在CD上运动），此时BP变化，而△BPQ的高不在变化，就等于菱形ABCD的高，由此可以判断当点P与AB中点O重合（点Q与点C重合）时为△BPQ面积的转折点。转折点判断出来后，我们没有必要考虑P、Q所在运动线段的具体位置，我们大概的取一个點（即转化为定点思考），然后构建数学模型解决问题即可。
如图2：在CD上任取一点Q，过点Q作QM⊥AB于点M，
因为动点P速度是1厘米/秒，动点Q速度是2厘米/秒，所以P、Q在t（0 如图3：在BC上取点C为点Q，过点C作CN⊥AB于点N，因为动点P速度是1厘米/秒，动点Q速度是2厘米/秒，所以P、Q在t（2 ，由此我们可以判断这是一个分段函数，结合函数 知识，其图象是D答案。 变式：求BP与动点Q移动的轨迹所构成的封闭几何图形面积y与t之间的图象。 如图2，当点P在AO上运动时，所围成的封闭几何图形是△BPQ，时间 t的范围 是0 如图4，当点P在OB上运动时，此时点Q运动到了CD上，此时所围成的封闭几何图形为梯形CQPB（过点C作CN⊥AB于点N，则CN是梯形的高）;所以由BP和折线BCQ构成的封闭几何图形面积为 当点P运动到B点时，那么点Q运动到点D，此时BP=0. Y与t的函数图象如右图所示：
