慢刀伺服加工环曲面的刀具路径规划方法

2020-07-10邱昕洋张彦钦王宏斌

国防科技大学学报 2020年3期

邱昕洋，张彦钦，王宏斌

(西北农林科技大学机械与电子工程学院，陕西杨凌 712100)

环曲面在两个相互垂直的方向上具有不同的曲率，进而形成两个深浅不同的屈光度，环曲面眼镜片被广泛地应用于散光视力矫正技术中[1]。慢刀伺服技术[2-8]是一种超精密切削加工方法，可以重复加工各种复杂面形的光学元件，加工面形精度高、效率高、成本低，为高效率、高精度地加工环曲面提供了一条新途径。如何生成刀具轨迹、进而获得高质量的数控加工代码，是应用慢刀伺服技术加工环曲面的关键技术之一。

环曲面属于非轴对称非球面，可用解析表达式描述其面形方程。有两种可行的刀具路径规划方法[9-12]。方法一：给定待加工曲面，按导动规则约束生成切触点曲线，按某种刀具偏置计算方法生成刀具轨迹曲线。环曲面上各点处的曲率随位置变化，该方法不易保证刀具沿机床横向坐标轴的“匀速”进给条件，获得的数控代码质量不高，直接影响加工质量。方法二：采用球形刀，根据待加工曲面计算得到其等距面，按导动规则生成刀位点曲线，进而离散为刀位点坐标，刀具轨迹曲线完全由等距面和导动规则确定。采用第二种刀具路径规划方法，能保证刀具沿工件径向“匀速”进给，对机床横向进给轴动态性能指标的要求不高，有助于获得高质量的数控代码及保证加工质量。

本文以应用慢刀伺服技术加工外凸环曲面为例，提出了基于等距面规划刀具路径的方法和面形方程和等距面方程，对比分析导动规则和数据点离散方法两项关键技术，编程以实现数控代码的生成，并对生成的数控代码进行仿真加工验证，以期论证基于等距面规划刀具路径的方法对于慢刀伺服加工环曲面的可行性。

1 环曲面的面形方程

环曲面属于非轴对称非球面，应用慢刀伺服技术切削加工时，可采用端面加工方式，加工示意图如图1所示，待加工工件与回转伺服轴C轴固连，C轴实现了位置控制；切削刀具可相对于工件作X轴向、Z轴向平移运动，X轴和Z轴是实现了位置控制的直线进给伺服轴，X轴和Z轴正交；C轴轴线与Z轴平行，C轴、X轴、Z轴可实现三轴联动；机床布局可与普通卧式车床或普通金刚石车床的布局形式类同；若刀具选择多刃回转刀具，如铣刀，还需包含刀具主轴。应用慢刀伺服技术加工环曲面，依靠C轴、X轴、Z轴三轴联动，因此最终要在圆柱坐标系下表达环曲面。

图1 应用慢刀伺服技术切削环曲面示意图Fig.1 Schematic diagram of cutting toric surface using slow tool servo technology

1.1 坐标系的建立

为了便于描述外凸环曲面、推导其面形方程，建立坐标系如图2所示。图中固定坐标系用σg=[og;ig,jg,kg]表示，底矢为(ig,jg,kg)，任意点在坐标系σg里的坐标分量为(xg,yg,zg)；为了便于描述外凸环曲面，在环曲面上坐标xg最大点处建立工件坐标系σ1=[o1;i1,j1,k1]，底矢为(i1,j1,k1)，任意点在坐标系σ1里的坐标分量为(x1,y1,z1)；形成环曲面的基圆半径为a，旋转半径为R，本例中的R大于a；则由σg到σ1的坐标变换可表示为：

(1)

图2 外凸环曲面及其坐标系统Fig.2 Convex toric surface and its coordinate system

1.2 环曲面面形方程的推导

完整的环曲面[13-14]是由半径为a的基圆，绕回转轴kg旋转一周得到的，旋转半径为R，其中回转轴与基圆共面但不通过基圆圆心，图2中R大于a。环曲面光学元件表面应用了完整环曲面的一部分，可分为内凹、外凸和凹凸等多种细分类型，本文以外凸环曲面为例，推导其面形方程。

本文借鉴Ludwick的方法推导外凸环曲面的面形方程[14-15]。如图2所示，设P为完整环曲面上任意一点，过点P基圆的圆心为oP，在固定坐标系σg中，点P可由两个角度参变量α、β完全确定。其中，α为ogoP由ig轴正向开始逆时针旋转所成的角度，β为oPP与ogoP的夹角。环曲面上的点P在σg中的坐标为：

(2)

设点P在σ1中的矢量为p，将式(2)通过式(1)转化到坐标系σ1中，可得环曲面在σ1中的表达式为：

(3)

由前述分析可知，应用慢刀伺服技术加工环曲面，依靠C轴、X轴、Z轴三轴联动，因此最终要在圆柱坐标系下表达环曲面。设(r,z,θ)为圆柱坐标系下的坐标分量，如图2所示，二维极坐标平面为i1o1j1，r为二维极坐标的半径，θ为二维极坐标的角度变量。经过坐标转化，可得外凸环曲面的柱坐标方程为：

(4)

2 环曲面的等距面方程

设环曲面上任意点P处的单位法向量为n，刀尖圆角半径为rd，与点P对应的等距面上的点在σ1中的矢量为pe，则有：

pe=p+rd·n

(5)

式(3)中环曲面的方程可表示为p=p(α,β)，则单位法向矢量n可用下式求解[16]：

(6)

式中，pα、pβ分别为p对α、β的偏导数。

根据式(3)，求解式(6)可得：

n=sinα·cosβ·i1+sinβ·j1+cosα·cosβ·k1

(7)

将式(3)、式(7)代入式(5)，可得环曲面的等距面在σ1中的表达式为：

(8)

同理，将外凸环曲面的等距面方程式(8)转化为柱坐标方程，则：

(9)

式(9)可用z=z(r,θ)表示，式(9)中r、θ是等距面的参数，R、a、rd是与设计和制造工艺相关的常数项。若一次常数项发生变化，则工件坐标系中的等距面将沿k1轴整体平移，对“面形”没有影响；若非一次常数项发生变化，等距面的微观参数将随之改变，进而带来“面形”的改变。

对比分析环曲面方程式(4)和等距面方程式(9)，若将式(4)中的非一次常数项a变为非一次常数项a+rd，即实现了由外凸环曲面到其等距面的转化，rd恰为工艺参数刀尖圆角半径。

结合等距面的求解过程不难发现：环曲面上任意点P处的单位法向量n恰好位于经过点P基圆所在的平面内，且单位法向量的延长线通过基圆圆心。

3 导动规则的关键技术

导动规则是刀具路径规划的重要内容，刀具路径的优劣直接影响数控代码的质量。本文的导动规则[10,12]是指等距面上刀位点曲线的生成方法及一些有关加工精度的参数，如步长、行距、两切削行间的残留高度、曲面的盈余和过切容差等。本文选取导动曲线类型及其离散方法作为讨论的重点。

慢刀伺服技术及其机床布局，决定了环曲面的加工是在圆柱坐标系下进行的，利用了X轴、C轴、Z轴三轴联动技术，因此选取垂直于k1轴的平面为工作平面，在工作平面内规划导动曲线，投影方向选取k1轴方向。

由环曲面的几何特性可知，零件回转一周，刀具相对零件沿Z轴做周期性往复运动，Z轴往复运动的行程随面形方程和刀位点位置而变化；零件回转一周，Z轴往复运动两个周期，Z轴往复运动的频率是零件回转运动频率的两倍；提高零件转速，有益于提高加工效率，但对机床Z轴加速度及其动态性能的要求相应提高。因此，要综合考虑机床Z轴的动态性能，以便确定加工效率。同时，在规划导动规则时，若能使C轴保持匀速运动、X轴实现连续渐进进给，则可降低对机床X轴和C轴动态性能的要求，有益于确保加工质量。因此，本文确定导动曲线类型及其离散方法的重要准则为“使C轴保持匀速运动、X轴连续渐进进给”。

3.1 确定导动曲线类型

在垂直于k1轴的工作平面内，规划导动曲线，然后沿k1轴线向等距面投影，获得刀位点轨迹。较适于柱面坐标系端面切削的导动曲线有回转截面法中的一组同心圆和阿基米德螺线，如图3所示。

(a) 一组同心圆作导动曲线(a) A set of concentric circles as the guiding curve

(b) 阿基米德螺线作导动曲线(b) Archimedes spiral as the guiding curve图3 两类常用导动曲线Fig.3 Two types of common guide curves

若选一组同心圆作为导动曲线，如图3(a)所示，则同心圆的圆心位于Z轴上，该方法加工可以从中心向外扩展，也可以由边缘向中心靠拢[10,12]。初始刀位点在同一个圆上加工时，X轴无进给；初始刀位点由一个加工圆转到下一个圆时，X轴“寸动”。在整个曲面的加工中，X轴断续进给，易于留下接刀痕，在要求高效高精的光学镜面加工中，该导动方法缺点突出。

若选阿基米德螺线作为导动曲线，如图3(b)所示，则机床X轴向进给量是C轴进给量的一次函数，易于保证X轴连续进给；C轴每转一周，X轴进给量保持不变；若C轴匀速运动，则X轴连续匀速进给。该方法对机床X轴、C轴伺服轴的动态性能要求低，有益于确保加工质量，是加工光学镜面的优选方案。

3.2 导动曲线的离散方法

本文选定的导动曲线为阿基米德螺线，其极坐标表达形式为r=r(θ)，即θ是导动曲线的参数。如图4所示，导动曲线的离散方法主要有等角度和等弧长两种。

图4 导动曲线的离散方法Fig.4 Discrete method of guiding curve

对于等弧长离散法，如图4(a)所示，相邻数据点间的弧长Δl相等，待加工曲面上，不论是曲面边缘部分，还是曲面中心部分，数据点分布均匀，有利于保证整个加工面加工质量的一致性。其缺点是，相邻数据点所对应的圆心角不相等，若保证相邻数据点间的加工时间相等，则C轴变速进给，对C轴加速度及动态性能有较高要求。对于等角度离散法，如图4(b)所示，相邻数据点所对应的圆心角Δθ相等，曲面边缘部分的数据点较稀疏，曲面中心部分的数据点较密集，数据点分布不均匀。然而，环曲面对中心部位的加工精度要求高于边缘部位，若要保证相邻数据点间的加工时间相等，则C轴匀速进给。综上所述，本文推荐的离散方法为等角度离散法。

4 环曲面的仿真加工

本文讨论的慢刀伺服加工法适用于环曲面镜片的粗加工工序。后序还有镜磨和抛光等重要工序与之配合。经分析可知，粗加工工序的重要内容是保证环曲面的形状位置精度。在生产实际中，粗加工工序检查的重点是测量基弧和正交弧的弦高误差。具体做法：将检测弦长固定为40 mm，测量基弧和正交弧的弦高误差，若测量误差在0.02 mm以内，该工序件即为合格。

虚拟加工方法在机械制造、零件加工领域是一种常用的仿真验证方法，通过虚拟加工来验证粗加工工序的加工效果，有利于排除实际工艺系统诸多因素的不利影响。因此，为了进一步验证前文所述的刀具路径规划方法，本文选择了虚拟仿真加工方法，仿真加工的环曲面基本参数如表1所示。首先基于VB.net语言，编写了环曲面数控加工用自动编程软件，获得了数控加工代码。接下来在Vericut软件平台下，对数控代码进行了仿真验证。为了比较三维设计模型和加工仿真模型，在CATIA软件中构建了待加工面的三维模型，下文称之为“理论”曲面。最后，对仿真结果进行了比较分析。

表1 仿真加工用基本参数表

选取X轴向进给量Δr=2.0 mm/r，相邻数据点间圆心角增量Δθ=3°时，得到的外凸环曲面的仿真加工面如图5所示。

(a) 轴测图(a) Axonometric view (b) 正视图(b) Front view 图5 当Δr=2.0 mm/r时的仿真加工面Fig.5 Simulated processing surface when Δr=2.0 mm/r

由于X轴向进给量Δr=2.0 mm/r取值较大，在加工面上留下了许多目视可见的刀具残留，残留痕迹反映了刀触点轨迹的形状。刀具路径规划时选取阿基米德螺线为导动曲线，当Δr=2.0 mm/r时，在工作平面内每转导动曲线近似“正圆”；如图5(b)所示，刀触点轨迹每转近似“椭圆”。显然，本文所述的先求解环曲面的等距面，再根据等距面直接规划刀位点轨迹的方法是较优的方法。

根据生产中用户的实际需求，即粗加工工序保证基弧和正交弧的弦高误差在0.02 mm以内的技术要求，在CATIA中构建待加工面的三维模型，3D精度设置为固定值0.01 mm，加工面的过切和残留分析将在这一数量级下进行。图5中的仿真加工面与“理论”曲面进行比较，得出残留分布如图6所示。在曲率半径较大的子午线附近，加工残留较少，加工面更接近“理论”曲面；离该子午线越远，加工残留越多。整个加工面上的残留都在0.01 mm数量级上。

图6 当Δr=2.0 mm/r时，加工面的残余分布Fig.6 When Δr=2.0 mm/r, residual distribution map of the machined surface

选取X轴向进给量Δr=0.5 mm/r，相邻数据点间圆心角增量Δθ=3°时，得到的外凸环曲面的仿真加工面如图7所示。

图7 当Δr=0.5 mm/r时的仿真加工面Fig.7 Simulated processing surface when Δr=0.5 mm/r

X轴向进给量Δr=0.5 mm/r，刀具残留高度已小于0.01 mm，图7中的仿真加工面是一光滑曲面。

对图7中的仿真加工面进行过切分析，未发现过切现象。对图7中的仿真加工面进行残留分析，结果如图8所示。

图8 当Δr=0.5 mm/r时，加工面的残余分布Fig.8 When Δr=0.5 mm/r, residual distribution map of the machined surface

由图8可知，若设定残留公差为0.01 mm，在仿真加工面上有许多数据点处于残留超差状态，如图8(a)的深色点所示。若设定残留公差为0.02 mm，仿真加工面上的超差数据点将大大减少，如图8(b)所示。由仿真结果可知：当X轴向进给量Δr=0.5 mm/r时，加工面的精度已经达到CAD设计软件和CAM仿真软件显示精度的极限。在允差为0.02 mm时，图7所示的加工面与“理论”曲面吻合，该工序能够满足环曲面形位精度要求。仿真分析也论证了基于等距面规划刀具路径的方法对于慢刀伺服加工环曲面是可行的。