斜坡道路考虑平均流量差预期效应的格子流体力学模型

魏 麒,常银银,葛红霞,程荣军

(1.宁波财经学院国际经济贸易学院,浙江宁波315175;2.宁波大学海运学院,浙江宁波315211)

随着汽车的增多,道路上的交通堵塞情况日趋严重.为了有效缓解交通拥堵,深入了解交通拥堵的本质尤为关键.为此,学者们从不同的角度对交通流系统进行了分析,并提出了大量的交通流模型,其中包括跟驰模型[1-2]、元胞自动化模型[3-4]、流体力学模型[5-6]和气体动力学模型[7-8]等.

为了研究交通密度波的演化特征,Nagatani[9]提出了第一个经典的格子流体力学模型,该模型的优点在于结合了宏观流体力学模型和微观跟驰模型的思想,更有利于分析交通系统的特性.随后,通过对驾驶员记忆效应、交通中断概率、预期效应、后视效应等因素的研究,大量真实的交通因素在模型中被提出.

在实际交通流中,不同的道路条件影响着司机的驾驶行为.因此,一些学者从平坦道路转向有坡度的道路去研究交通流模型.基于在坡度公路上考虑重力对交通流的影响,Komada等[10]提出了最优速度模型,以探索在坡度公路上何时何地会出现交通堵塞;Ge等[11]提出了在斜坡上考虑双向行人流的格子流体动力学模型,其研究结果表明随着坡度的增大,上坡过程中交通流稳定性显著提高,而下坡过程中交通流的稳定性降低;为了分析斜坡上的交通流的稳定性,Gupta等[12]提出了最优流量差的格子流体力学模型,其数值模拟结果表明考虑最优流量差可以有效地缓解交通拥堵;Cao等[13]提出了一种新的双车道格子模型,该模型是在坡度公路上考虑相对流量对交通流的影响,研究结果显示相对流量和车道的改变都可以有效缓解交通拥堵;随后,Kaur等[14]考虑了司机在一个斜坡的弯道公路上的预期效应,建立了一个新的格子流体力学模型,在该论文中斜坡上的弯道公路的一些复杂的交通流问题被研究.

在驾驶过程中,司机可以根据平均流量差预测当前的交通状况,进而快速调整驾驶行为.为了缓解交通压力,许多学者研究了在单车道或双车道上平均流量差对交通流稳定的影响.然而,很少有人在斜坡上考虑平均流量差的预期效应对交通流稳定性的影响.基于以上观点,本工作提出了一种新的格子流体力学模型,利用控制方法和约化摄动法研究了不同坡度下平均流量差预期效应对交通流的影响.

1 改进的模型

1998年,Nagatani[9]结合微观跟驰模型和宏观流体动力学模型的观点提出了格子流体动力学模型,其连续方程和运动方程为

式中:j表示为格子点的位置;ρj和vj分别为第j个格子处、t时刻的密度和速度;a为司机的敏感系数;ρ0为平均密度.

最近,Jiang等[15]在平坦道路上考虑了平均流量差对交通流稳定的影响,并证实该模型提高了交通流的稳定性.在实际交通中,斜坡公路上的交通行为不同于平坦公路.假设在一个单车道的坡度公路上有很多前行的车辆,作用于上坡和下坡时公路上的车辆所受的力如图1所示.图中,斜坡的坡度用θ表示,g为重力加速度,m为车辆的质量.在平行坡面方向上,当司机不刹车时,有一外力mg sinθ.根据以上观点,在坡度公路上考虑平均流量差预期效应的格子流体动力学模型被提出:

式中:k为影响系数,反映了坡度道路平均流量差预期效应的强度;为在格子j到j+l处预期的平均流量,t0为预期时间;qj为格子j处的交通流量,反映的是ρj和vj的乘积;V(ρj+1,θ)为斜坡上的优化速度函数,其中上坡公路

下坡公路

式中:vf,max为无坡度时的最大速度;“−”对应于上坡情况,“+”对应于下坡情况;hc,θ为制动距离,在上坡时hc,u,θ=hc(1−εsinθ),下坡过程中hc,d,θ=hc(1+φsinθ),ε和φ分别为上、下坡时的系数;vg,u,max和vg,d,max为上坡最大减小速度和下坡最大增强速度,其表达式为

式中:µ为摩擦系数.为了便于计算,令ε=φ=1,mg/µ=1,−8◦<θ<8◦,结合式(5)和(6),最优速度函数可改写为

式中:vg,max为坡度公路上的最大速度,vg,max=vg,u,max=vg,d,max,hc,θ =hc,u,θ =hc,d,θ. 这里可令

2 线性稳定分析

利用控制方法对坡度公路上考虑平均流量差预期效应的格子模型进行研究,从而得到满足线性稳定的条件.假设在稳态均匀流下的期望密度和期望流量满足由于在现实交通流中绝对的稳定状态并不存在,因此在稳定状态周围加入一个小扰动,得到

对式(9)和(10)进行拉普拉斯变换,可以得到

式中:L(ρj+1)=Pj+1(s),L(qj+1)=Qj+1(s),L(qj)=Qj(s),L(qj−1)=Qj−1(s);L(·)为拉普拉斯变换;s为一个复杂变量.消去式(11)和(12)中的变量Pj+1(s),得到

假设不发生交通拥堵,模型应满足:特征多项式p(s)稳定且传递函数.根据Hurwitz稳定性判据可知,不等式即满足特征多项式p(s)稳定的条件.利用范数的性质,得出了满足∥G(s)∥∞6 1的条件,即

传递函数可以展开为

对式(16)进行化简,得到

通过上述分析,满足传递函数||G(s)||∞6 1的充要条件为

3 非线性分析

为了描述交通密度波的演变特征,通过约化摄动法得到了临界点(hc,ac)附近的mKdV方程.在临界点(hc,ac)附近,引入时间变量t、空间变量j、慢变量X和T,有如下定义:

式中:b为待定常数;ε是一个小的正尺度参数,满足0<ε≪1.假设密度ρj满足

把式(19)和(20)带入式(4)中,对式(4)进行泰勒展开,展开到ε的5阶项,得到如下偏微分方程:

式中,系数gi如表2所示.

表1 模型中的系数kiTable 1 Coefficients kiof the model

表2 模型中系数giTable 2 Coefficients giof the model

忽略校正项o(ε)的影响,标准的mKdV方程的扭结-反扭结孤立波解为

假设R′(X,T′)=R′0(X,T′)+εR′1(X,T′),为了获得扭结-反扭结孤立波的传播速度c,必须满足的可解性条件为

根据以上分析,坡度道路上考虑平均流量差预期效应的交通流扭结-反扭结孤立波的一般解可表示为

4 数值模拟

为了验证斜坡上预期效应的平均流量差对交通流的影响,本工作对模型进行了数值模拟.首先对模型进行离散,得到

式中:∆t=0.05为时间步长.

模型的初始条件设置如下:

式中:总格子数N=100.模型的其他参数值可设为ρ0=ρc=0.25,a=1.8,t=3 000,

首先,通过数值模拟来探究坡度因素对交通流稳定性产生的影响.图2为在控制参数k=0.01,t0=1等因素不变的情况下,只改变上坡坡度大小所得到的密度波的时空演化图.图2(a)中没有设置坡度,可以用来与设置坡度后的交通流状态进行对比.图2的(a),(b),(c)均为不稳定状态,也就是稳定性条件都没有得到满足;但随着上坡坡度的不断增大,密度波波动的幅度逐渐减小,最后当上坡坡度增大到θ=6◦时,交通流达到稳定.图2整体的密度波演化趋势可以说明在上坡时,坡度的增大可以改善交通流的稳定性,有助于缓解交通拥堵.当时间t=3 000 s时,对应于图2的密度剖面图如图3所示,流量剖面图如图4所示.从图3和4可以更加直观地看出,当上坡坡度增大到一定值时,加入系统的扰动经过足够长时间后消失,系统处于稳定状态,密度和流量恢复为初始的均匀流.这2个图也可以表明,在一定范围内设置坡度相较于没有坡度是可以增强交通流稳定性的,且在上坡时坡度的增大有利于交通流的稳定.

图2 在k=0.01,t0=1时不同上坡坡度θ下的密度波的时空演化Fig.2 Temporal and spatial evolution of density wave under different uphill slopes θ when k=0.01,t0=1

图3 在k=0.01,t0=1,t=3 000 s时不同上坡坡度θ下的密度剖面Fig.3 Density profile of different uphill slopes when k=0.01,t0=1,t=3 000 s

图4 在k=0.01,t0=1,t=3 000 s时不同上坡坡度θ下的流量剖面Fig.4 Flux profile of different uphill slopes θ when k=0.01,t0=1,t=3 000 s

图5为调整不同上坡坡度θ所模拟出的迟滞环.很明显地,随着上坡坡度θ从0◦增大到3◦,6◦,9◦,迟滞环的尺寸在不断缩小;当θ=9◦时,迟滞环缩小为一个点,此时的交通流达到稳定状态,从迟滞环的角度依然可以得出结论,即当上坡时,一定范围内坡度的增大可以使交通流趋于稳定.

图5 在k=0.01,t0=1,t=3 000 s时不同上坡坡度θ下的迟滞环Fig.5 Hysteresis loop of different uphill slopes θ when k=0.01,t0=1,t=3 000 s

接下来,本工作将通过数值模拟展示下坡时坡度大小对交通流稳定性的影响.图6为k=0.01,t0=1时不同下坡坡度θ下的密度波的时空演化图.图6中的4种交通流模式均为不稳定交通流.当设置θ=0◦时,也就是没有设置坡度的情况,密度波的振幅范围为0.21∼0.29;当设置θ=−3◦时,密度波的振幅范围加大到0.21∼0.31,意味着扰动的波动幅度在增大,不利于缓解交通阻塞.整体比较分析图6中的4张图后可知,设置下坡坡度相比较于无坡度情况是不利于交通流稳定的,且在下坡时坡度的增大会降低交通流稳定性,从而加剧交通拥堵.图7为对应图6的密度剖面图,图8为对应的流量剖面图.从图7和8可知,随着参数θ从0◦逐渐变化为−3◦,其密度的波动情况和流量的波动情况都是在加剧的,也就是说能得出和图6一致的结论,即在一定范围内,交通流的稳定性会随着下坡坡度的增大而不断下降.

图9为当k=0.01,t0=1,t=3 000 s时不同下坡坡度θ情况下的迟滞环.从图中可以发现,当设置θ=0◦,−2◦,−4◦,−6◦时,4种交通流均为不稳定状态,迟滞环的尺寸均较大.但是通过比较分析图9中4个迟滞环的变化趋势可以发现,随着下坡坡度的逐步增大迟滞环尺寸也在不断增大,因此可以得出下坡坡度的加大会加剧交通拥堵的结论.

图6 在k=0.01,t0=1时不同下坡坡度θ下的密度波的时空演化Fig.6 Temporal and spatial evolution of density wave under different downhill slope θ when k=0.01,t0=1

图7 在k=0.01,t0=1,t=3 000 s时不同下坡坡度θ下的密度剖面Fig.7 Density profile of different downhill slopes θ when k=0.01,t0=1,t=3 000 s

图8 在k=0.01,t0=1,t=3 000 s时不同下坡坡度θ下的流量剖面Fig.8 Flux profile of different downhill slopes θ when k=0.01,t0=1,t=3 000 s

图9 在k=0.01,t0=1,t=3 000 s时不同下坡坡度θ下的迟滞环Fig.9 Hysteresis loop of different downhill slopes θ when k=0.01,t0=1,t=3 000 s

为了研究平均流量差预期效应对交通流稳定性的影响,当固定θ=2◦,t0=1时,图10给出了不同平均流量差预期效应强度k=0,0.03,0.06,0.15下的交通密度时空演变图.当t=3 000s时相应的密度剖面图如图11所示,流量剖面图如图12所示.从图中可知,随着参数k的增大,曲线波动的幅度减小,说明考虑平均流量差预期效应可以有效缓解交通拥堵,减小交通密度振荡压力.

图10 在θ=2◦,t0=1时不同k下的密度波的时空演化Fig.10 Temporal and spatial evolution of density wave under different k when θ =2◦,t0=1

图11 在θ=2◦,t0=1,t=3 000 s时不同k下的密度剖面Fig.11 Density profile of different k when θ=2◦,t0=1,t=3 000 s

图13 为系数k=0,0.04,0.08,0.12时迟滞环的流量和密度关系图.由图13可以看出:迟滞环的尺寸很大,随着坡度平均流量差预期效应强度的增大,迟滞环的尺寸明显减小,最后只有一个点.这说明格子流体力学模型中平均流量差预期效应对缓解交通拥堵起到了积极的作用.

5 结束语

图12 在θ=2◦,t0=1,t=3 000 s时不同k下的流量剖面Fig.12 Flux profile of different k when θ =2◦,t0=1,t=3 000 s

图13 在θ=2◦,t0=1,t=3 000 s时不同k下的迟滞环Fig.13 Tysteresis loop of different k when θ=2◦,t0=1,t=3 000 s

考虑坡度公路上平均流量差预期效应对交通系统的影响,本工作提出了改进的格子流体动力学模型.在线性分析时,利用控制方法得到了模型满足稳定性所需的条件;在非线性分析中,通过约化摄动法得到了临界点附近的mKdV方程,以研究交通密度波的传播特性.数值模拟结果表明,随着坡度的增大,上坡过程中交通流稳定性显著提高,而下坡过程中交通流的稳定性降低.此外,斜坡上考虑平均流量差的预期效应对交通流的稳定也起到了积极的作用.