基于教材 整合学科 拓展思维 提升素养

兰衍局

摘  要：拓展性课程有别于基础性课程，是对人的和谐、自主、有差异发展目标的完善与提升;小学数学拓展课程是为了让学生更好地学习、理解和感受数学而设计的，要“突出拓展性课程的兴趣性、活动性、层次性和选择性，满足学生的个性化学习需求”。文章所指的“综合实践类拓展课程”主要从人教版教材的内容出发，依据学生的学习效果，结合核心素养的要求等方面进行拓展和应用，更多关注学生的薄弱知识与技能以及高阶思维的发展，它是一些源于教材、宽于教材、高于教学的数学学习材料，是未来课程发展的需要。笔者认为，小学数学综合实践类拓展课程学习素材研发，要体现以教材实践活动为基础，兼顾不同学科的内容安排，注意积累基本活动经验，关注学生的思维发展和素养提升为重点的基本原则。

关键词：小学数学;拓展课程;综合实践;素材研发

华罗庚说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。”这是对数学广泛运用于生活的精彩描述。此次课程改革提出要在小学阶段开展总课时量15%左右的拓展课程。笔者认为，小学阶段的实践类拓展内容除了体艺类的内容之外，还要关注孩子思维与实践的融合，而数学综合实践活动类的课程内容是最适合不过了。

为此，笔者带领40多位工作室的学员，历时4年左右的时间分别开发了3～6年级共约40节拓展课，我们确定了“基于教材、整合学科、发展思维、提升素养”十六个字的学习素材研发原则，通过寻找教学实际困难，依据核心素养理念整合各学科知识，开展拓展活动。

一、拓展课程学习素材的选择要深度挖掘教材知识

教材是小学数学学习的“根”，离开了教材的拓展课程是“无根之木”。我们要非常清醒地认识到：学生已经学了很多小学数学课程内的知识了，为什么还要再学习拓展课程呢？要避免给孩子新的负担。因此，拓展课程的开发，要对教材的内容进行再“研究”、再“设计”、再“实践”……甚至于“重组”。换句话说，是让学生更加“吃透”教材，从而内化知识，提高兴趣。

比如，教材的有些内容出现在课后练习中，作为一种相关知识拓展练习呈现的，由于没有安排课时进行教学，学生难以系统学习，如“24点游戏”“七巧板”等内容;有些知识的课时数量也相对比较少，比如“位置与方向”“方程”等内容，都可以通过拓展课程补齐短板;此外，教材中有些带星号的练习，往往被师生当成选做的对象，没有很好地发挥习题的实际效果，需要进行拓展研发。比如五年级的一道练习：1/4>（ ）/（ ）>1/5，4/5>（ ）/（ ）>7/10，很多孩子会利用通分的方法完成填空。但是，这样的一道精彩习题，仅仅完成一个答案我们觉得是非常可惜的！由此，我们开发了“夹缝中的分数”这样一堂实践拓展课。在教学中，我们让学生“动手画图、合作交流”等方式探究不同的解题方法。孩子们想出了“通分母”“化小数”“十字交叉相乘”（如图1）等方法。在此过程中，发展了对分数的概念，提升了数学研究能力。

学生在展示自己一种思考方法后，课堂里又展示了其他学生的不同方法，让学生感受寻找两个分数之间的分数的方法的多样性;之后，学生通过思考几种方法的共同点，打通各种方法之间的联系，通过数形结合，让学生深刻感受通分的分数单位越小，两个分数分子之间的中间数就越多，找到的分数也就越多，转化成小数也是一样的道理，计数单位越小，找到的小数就越多。继而感受数的稠密性，发展学生的极限思维。数形对照，以数辅形，以形助数，形象思维与抽象思维联袂而行。既有直观的解释，又便于严谨的逻辑推理，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化。

最后，在班级授课制下，教学往往会受制于教学时间、教学条件等因素的干扰，很多课堂实践的内容被淡化甚至以说教代替实践。比如，“秒的认识”“千米的认识”一课。

二、拓展课程学习素材的选择要注意学科之间的整合

在开发拓展课程的时候，要依据教学大纲兼顾不同学科的教学内容。避免学科之间内容的重复，也能从中挖掘出数学的内涵，整合不同学科的知识，减少课时数量，解放学生。如科学课中“摆”的知识，我们就和统计教学中“用哪个数据代表一般水平”这样的知识相整合，开发了“荡秋千”为题的数学拓展课。

主要研究的内容是在相同时间内“秋千”摆动的次数与物体的重量无关，与摆绳的长短有关。为了达成数学知识与科学知识整合的目标，我们主要制订了两个的教学方案：其一，放手让学生去设计实验方案。比如，要荡秋千的次数是否与物体的重量有关？就要考虑将绳长等外界原因全部归零，再变化物体的重量，从而设计出实验方案……其二，在出现实验数据不一致的时候，让学生思考用“平均数”“众数”等知识，选择合理的数据代表“一般水平”，并用计算机模拟实验精确数据，我们将次数展示尽可能多的小数位数，让数据更具准确性。通過测试单摆的15秒钟的次数与科学数据进行对比，确定可行性（如图2、图3）。

在开发这堂课的过程中，我们认为重点是让孩子掌握数学实验的能力和数据筛选的意义，而不是强调结果的记忆与固化。因此不必将目标定位于“得出结果，掌握一般规律”，而应重在拓展课堂的时间与空间，以及学习方式，避免将实践活动当作知识技能教学是第一步。

数学拓展课程的学习素材不仅可以和科学学科整合，还可以和语文、思品等各种学科整合;有时候还可以走出教材，与历史、人文、文化等统整在一起;甚至和新闻事件整合。比如，此次中国“抗击疫情”行动中，一个官员对于口罩数量从“108亿”只到“18亿”只再到“108万”只，就可以研发“大数的再认识”这样的拓展课，让孩子们进一步感受到“数的大小”。

三、拓展课程学习素材的选择要关注学生的思维发展

一般来说，对学生拓展性课程内容的学习情况宜采用灵活多样的考查方式进行评价，而不应成为期末学业考试的必考内容，否则就容易使主动、积极的实践性学习降格为被动的巩固与训练，不仅会降低学生学习的兴趣，甚至会加重学生的负担。这与我们实践课程改革、构建学科拓展性课程的初衷是相悖的。因此，数学拓展性课程的内容选择不应增加知识，而应以解决问题和发展思维为重点。比如，在小学数学教学中，我们遇到这样一类问题：“买了若干瓶矿泉水，喝完后几个空瓶可换一瓶水，最多可以喝到多少瓶水？”这类“以瓶换水”常被我们当作思考题来考学生，学生也容易在这方面出错。由此，我们提出要依据“空瓶换水”的素材，开设一节“强调引导学生在经历解决问题的过程中，突出感受直观模型的价值、突出解题策略的指导，进而掌握模型独立解决问题的方法，提升素养”的拓展课。下面是该课的主要教学片段：

片段一：画信息，培养等量意识

题目：3个空瓶换1瓶饮料。

图形表征：同学们对这句话都有自己的理解，那你能不能用一幅图把这句话的意思画出来？

师：这两幅图，除了选的图形形状不一样，还有什么不一样的地方？

生：图①画的是换来的1瓶新的饮料，图②是把換来的饮料空瓶和饮料分开画的。

归纳小结：原来我们说的3个空瓶换1瓶饮料，换来的是1份饮料和1个新的空瓶。（板书：3个空瓶=1个空瓶+1份饮料）

片段二：画过程，渗透代数思想

题目：小明有12个空瓶，最多能喝到几瓶饮料？

对比：这两位同学的方法有什么一样和不一样的地方？

质疑：他们还剩余2个空瓶，怎么把它利用好？

生：向老板借一瓶饮料，然后还他。（借的是1瓶饮料，还的是1个空瓶，老板会同意吗？）

片段三：“画”到“算”，深化模型思想

师：通过刚才的学习，我们知道了3个空瓶换1瓶饮料，其实就是用2个空瓶换1份饮料，那18个空瓶你觉得最多可以换多少份饮料呢？

反馈：

（1）画图：如图6所示。

（2）算式：18÷2=9（份）。

……

聚焦“空瓶换饮料”这部分内容，本课还承载着帮助学生经历从实物图到示意图，再到数量关系模型建立的抽象任务，为解决类似的“空瓶换饮料”的问题奠定基础，初步经历在解决问题中进行量与量之间的转换，代数式的恒等变形的过程，为后继学习等式基本性质做铺垫。

这样的一节“等量模型解决问题”的拓展课，学会运用等量模型这一数学思想方法来解决一些简单的实际问题或数学问题，引导学生经历数学抽象、数学推理与数学建模的过程，实现思维的发展。

四、拓展课程学习素材的选择要能提升学生的核心素养

核心素养可以简单地理解为学习者在进行某一科目的学习过程中最终能够获得的能力。目前对于小学数学的学习较为关注，尤其注重的是对学生素质和能力的培养。数学核心素养是学生通过学习能够达到的具有特殊性的综合能力，没有特定的知识点或者是技能要求，与过去理解的数学能力有一定的区别。比如，五年级的教材中有这样一道题目：某茶厂工人要将长、宽各为20厘米，高为10厘米的长方体茶盒装入棱长为30厘米的正方体纸箱，最多能装几盒？教材编写这道思考题的意图是对长方体、正方体表面积与体积计算的应用。而此题是长方体与正方体体积的实际应用，按照一般的方法：纸箱的体积÷茶盒的体积=装几盒，但这显然不符合实际情况。这里需要学生在头脑中形成真实摆放的表象（如图7）。

我们发现，这样的思考题对于发展孩子们的空间观念帮助很大。但是，离开了课件，很多孩子是没有办法想象的，而仅仅依靠三维课件对孩子们的空间发展又不是很有利。于是，我们开发了一堂拓展课，题为“纸箱中的数学问题”。在教学中，我们让学生学会先画出各种摆法的底面图，然后借助底面图现象图形铺满一层之后的样子，进而思考剩余的空间部分形成什么图形。在不断地思考、画图想象中发展学生的空间观念，提升素养。如下教学片段：

某化工厂用一种长方形纸箱分别装牙膏和香皂。纸箱从里面量的数据如图8①所示。（单位：厘米）

牙膏盒和香皂盒从外面量的数据如图8②、③所示（单位：厘米）。如果用纸箱装香皂，一箱最多能装几盒？（主要作品如图9）

本课通过让学生“想一想——摆一摆——画一画”的方式经历从“实物——表象——抽象”的过程，从算式中想象装箱情况，装箱的立体图形变成平面图形，再从不同的平面图到立体图最后回到算式，这样数形结合方式帮助学生在头脑中形成真正的表象。此外，“底面图”贯穿了整节课，借助“底面图”想象立体图形的摆法，又利用画“底面图”找剩余空间，想象剩余空间，再用“底面图”来描述剩余空间的装箱情况。渗透“底面图”内容，运用“底面图”教学手段来解决立体几何知识，丰富了几何课程内容，调动学生多种感官参与学习活动，真正让学生在头脑中有表象，发展学生的数学思维，使他们形成空间观念，进而发展空间想象力，建立空间观念，培养几何直观与推理能力。