证据推理：培育学生“核心素养”的有效路径

张丽霞 武传跃

摘  要：“证据推理”是一种“有根有据”的推理。在小学数学教学中，教师要引导学生运用“证据”进行证据推理。要丰富学生的证据内容、素材，拓宽学生的论证形式，开展丰富多彩的论证活动。通过证据推理，培养学生的证据意识，提升学生的数学学力，发展学生的数学核心素养。

关键词：小学数学;证据推理;求证意识;核心素养

从根本上说，数学是一门理性的科学。在小学数学教学中，教师要有意识地培育学生的逻辑思维，引导学生进行演绎，提升学生数学思维的理性品质。这其中，“证据推理”扮演着重要的作用。所谓“证据推理”，是指学生在数学学习中根据数学的概念、法则、规律等进行抽象、概括、演绎等，进而形成的一种推理。证据推理讲究“推而有据”“推而有理”。通过引导学生进行证据推理，有助于学生形成“求证意识”，培育学生的数学核心素养。

一、追溯：让“证据推理”在数学的严谨表达中萌芽

基于“证据”的数学教学理念最早出现在20世纪90年代的医学领域。当时的循证医学旨在通过科技手段采纳最优可得证据，用于最终临床和政策决策。基于证据理论的数学学习，不仅仅是某一具体的学习方式、方法，而是为解决数学问题运用证据来呈现、说明学习结构并证明学习活动的总称。证据推理能让学生的数学思维相互碰撞，能让学生的数学思考从肤浅走向深刻，能让学生的数学理解从狭隘走向广阔。

比如，教学“平行四边形的面积”（苏教版五年级上册），在对平行四边形的面积进行猜想时，有学生认为“平行四边形的面积等于底乘高”，也有学生根据平行四边形可以推拉成长方形，并且长方形的面积等于长乘宽，平行四边形的底相当于长方形的长，平行四边形的斜边相当于长方形的高，因而猜想平行四边形的面积等于底乘斜边。面对学生的不同猜想，笔者引导学生借助数学实验（注：一是“数方格的方法”，二是“剪拼移的方法”），绝大部分猜想“平行四边形的面积等于底乘斜边”的学生都“改弦易辙”，认为“平行四边形的面积等于底乘高”，但仍有一位学生固执己见，坚持认为“平行四边形的面积可以用底乘斜边进行计算”。笔者本想武断地让学生坐下，但转念一想，何不听听他的意见？为此，笔者让学生陈述己见。只见这位学生振振有词，“老师，我认为可以用底乘斜边来计算，只不过长方形在推拉成平行四边形的过程中，斜边会发生不同的倾斜。我想，倾斜的角度不同，底乘斜边所打的折扣也就不同！”多么精彩的发言，学生的证据是笔者始料未及的。的确，如果我们站到更高的视角来审视长方形的面积和平行四边形的面积，不就是一个夹角的问题吗？这个问题在初中三角函数中将会迎刃而解。对于学生而言，长方形的面积就是一个打了折扣的平行四边形的面积，是一个了不起的证据推理，是学生的一个创造性发现。

在数学教学中，我們要善于倾听学生的发言，只要学生言之有据、言之有理，都应当给予充分地肯定。在数学教学中，要培育学生证据意识，只要有证据，就应当据理力争，而不应当从师（教师）、从众（大众）、从本（教材）。只有培育学生证据意识，学生的数学学习才不会沦落为一种随意性的学习，学生的自主思考、自主探究才能成为一种可能。

二、追问：让学生的“证据推理”在数学的严密论证中生长

学生数学学习过程应当是一个逻辑化的过程。逻辑化的数学学习，不仅要追问数学知识“是什么”，更要追问数学知识“为什么”。在数学教学中，教师要引导学生以“证据”为起点，以学习目标为归宿，在证据与目标之间规划路径，从而引导学生找到适切的学习方式，这是一个证据指引的过程。它能助推学生触摸到数学知识的本质。

比如教学“多边形的内角和”（苏教版四年级下册），基于对“三角形内角和”的学习经验，许多学生在探究（如“撕角法”“量角法”“折角法”等）遭遇失败后，纷纷转向将多边形转变为若干个三角形。但是，不同的学生，对多边形的分割不同，从而导致了学生的证据推理也不同。作为教师，要在学生每一个推理节点处善于追问，从而将学生的证据推理引向深入。比如，有学生从一个顶点出发，将多边形分割成若干个三角形，就不存在多出内角的现象。这时，笔者引导学生思考多边形的边数与所分成的三角形的个数之间的关系，并且追问“为什么会存在着这样的关系”。如有学生认为，一个顶点与其他的对边都构成了三角形，但与两条邻边却不能构成三角形，因而将多边形分成的三角形的个数要比多边形的边数少两个;有学生认为，一个顶点与两边的四条边只能构成两个三角形，与其他的任意一条边都能构成一个三角形，所以将多边形分成的三角形的个数要比多边形的边数少两个，等等。有学生从多个顶点出发，将多边形分成若干个三角形。据此，笔者就引导学生思考：在将多边形分成若干个三角形的过程中有没有多出角，多出了哪几个角，一共多出了多少度，所以多边形的内角和是多少度，等等。通过不断地追问，引导学生探究多边形的内角和，探究多边形的内角和与所分成的三角形的内角和之间的关系，等等。这里，教师不仅引导学生进行证据类比，而且引导学生进行证据跟踪，从而让学生的数学学力、数学素养在证据推理中生长。

著名数学家笛卡尔说：“最优价值的知识是方法的知识。”在数学教学中，要让学生明确证据的重要性，引导学生学会根据证据判断自己的数学推理是否可行、是否正确、是否能达成论证目标。在学生进行论证的过程中，教师不仅仅要适度介入、适恰点拨，而且要引导学生进行适度反思、调整，以期让学生的证据推理朝向预设的目标迈进。

三、追求：让学生的“证据推理”在鲜活的数学里发育

在证据的视野下，学生的数学知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观等交互在一起的。它们共同组成了学生进行证据推理的学习心理、学习行为表现。在数学教学中，教师要引导学生通过证据推理在鲜活的数学里发育、成长。在群体的证据推理过程中，不同的学生还能彼此相互启发，从而突破个体的认知局限，形成学生积极、主动地进行证据推理学习的样态。基于证据的数学推理，不是一种固化的模式，而是让师生、生生共同领略数学的严谨之美、逻辑之美、统一之美。

教学“和与积的奇偶性”（苏教版五年级上册），通常教法是：教师让学生举一些例子，从特殊到一般，简单地得出结论。这样的“不完全归纳”教学，不能让学生“心服口服”。笔者在教学中充分发挥学生的主体性作用，引导学生群策群力、众筹众谋，要求学生的分析有理有据。于是，有学生用字母来表示奇数和偶数，让推理彰显出无懈可击的力量。如“奇数+奇数，即2a-1+2a+1=4a，4a含有质因数2，一定是偶数。”“奇数+偶数，即2a+1+2a+2=4a+3，4a是偶数，所以4a+3是奇数。”有学生数形结合，“1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7+…+99=502。”通过这样的推理，学生得出结论，即“偶数个奇数相加的和是偶数，奇数个奇数相加的和是奇数”。有学生用质因数的知识进行推理，如“奇数乘偶数，偶数乘偶数，因数中只要有偶数，也就是说只要有一个因数中含有质因数2，积中就含有质因数2，因而若干个数相乘，只要有一个数是偶数，积就是偶数。”“只有当所有的因数都是奇数时，积才是奇数。”等等。这样的证据推理，活化了学生的数学思维。不仅如此，当学生得出一个“和”或“积”的奇偶性之后，笔者总是让学生从反面去举例。有学生认为，只要有一个反例不符合规律，结论就不能成立;而只有当所有的正例都成立时，结论才会成立。据此，学生就想方设法地去“找反例”。这样的教学，磨砺了学生的推理思维，培育了学生推理的证据意识、逻辑素养。

数学学习中的推理，无论是合情推理还是演绎推理，都需要证据，都是“基于证据的推理”。这种证据内容，既可以是学生生活经验、事实材料，也可以是学生已有知识判断。换言之，证据推理中的“证据”，既可以是“直接证据”，也可以是“间接证据”。而运用证据进行推理的形式，不仅包括“证实”，也包括“证伪”。证据推理，不仅能让学生掌握推理的方法，更为重要的是有助于发展学生的批判性思维，孕育学生终身受益的理性精神。

基于证据的推理教学，打开了数学教学的另一扇窗。在数学教学中，教师要不断地丰富学生的论证方式，强化学生的证据意识。通过引导学生进行证据推理，开启学生的数学思维、催生学生的数学思想，直抵学生的主体意识、关键能力及数学素养，从而让学生的数学学习洋溢着人性光辉，弥漫着思辨之美，充满着创造精神！