复杂情境下生长儿童数学融通能力的教学寻绎

李相林

摘  要：复杂情境是学科素养的“场域”，融通能力则是儿童数学素养在这个场域的“结晶”。本文通过不同结构特质的复杂情境场域的构建，生长儿童数学融通能力。

关键词：融通能力;复杂情境

复杂情境下发展儿童数学融通能力是“在一种真实的、未知的、不可预测的问题探究场下，儿童参与情境构造，发展‘融合知识方法、领悟数学本质、形成认知结构的思维能力”，是对数学教学中“堆砌式”“碎片化”散状学习的理性匡正，从整体的视角实现融合知识方法、领悟数学本质、形成认知结构的“建筑式”学习，有效解决儿童数学学习中存在的“缺乏判断、不善分析、无意关联、难有融通”浅层次学习问题。

复杂情境下生长儿童融通能力是一种真实性学习、深度学习。复杂不是繁杂，深度并非难度，真实不仅是现实。学段的低高、知识的易难，不等于思维品质由低阶到高阶。在小学阶段的数学教学中，我们可以通过不同结构特质的复杂情境场域的构建，生长高阶高品的融通能力。

一、立足：慧眼捕捉教材“内涵”生长融通能力

教材中不少良好特质的问题可以直接用作复杂情境构建的内核。我们教师应习惯性地用“融析”的目光捕捉这类问题，组织推动以“好问题”“儿童参与构造”等为要素的复杂情境场域运转起来。

【案例1】不就是等差数列求和吗？

四下补充习题：90+91+92+…+99。

多数人见到此题的反应是：不就是等差数列求和吗？用（90+99）×10÷2即可。我们来看看以此题为内核的复杂情境下儿童真实的融析过程。

首先，孩子们在黑板上给出五种方法。分析得出“分组配对”“凑整+分组”“基数法（把每个数看作90）”与“平均数的规律”（单数，即奇数个连续自然数的平均数是正中间那个数）等。

接着，一个融通能力特别强的孩子的发言让大家耳目一新：“老师，现在我更明白为什么说‘乘法是高级运算，而加法是低级运算了。你们看，所有的解法里都有乘法，求很多个数相加的和，不管是凑整、分组、假设，最终的目的都一样，那就是把这么多加数变成几个相同的数，也就是乘法，再把零头处理掉！”（对呀，数学的发展和研究不也是一个从低级向高级迈进的过程吗？）

等差数列求和是小学每种版本奥数教材中的必修内容，重心落在对求和公式的理解、记忆与运用上。而融通能力解法多样化、关系清晰化、结构系统化、认识高度化，学生更易抽象为算法（含公式）且不会形成思维定式，心理转向快，具有高度的思维灵活性。

二、改造：匠心整合教学“实质”生长融通能力

问题的多层结构和“知识丰富领域的问题解决”是我们改造优化教材、构建复杂情境时的重要考量。在丰富与多层的复杂探究场中，个体与集体、一维与多维、独立和共建同时存在，实现由“析”到“融”再到“通”的融通能力过程。

（一）延展式复杂情境

延展式复杂情境是将一个好问题进一步延伸、展开和一般化，成为丰富的数学探索活动的起点，在延展中生长儿童融通能力。

【案例2】有没有更“斜”的？

四下教材练习十四第2题：在方格纸上画一个底4厘米、高3厘米的平行四边形。

学生按要求每人独立画出一个平行四边形后，教师在实物投影上展示两种不同的画法，学生观察比较，发现两种画法都符合数据要求，只是倾斜度不同。

教师进行延展：你能画出一个符合要求且更“斜”的平行四边形吗？

学生们立刻兴奋起来，一个个更“斜”的平行四边形展示出来。

在“有没有更‘斜的？”刺激下，“超级斜”（如图1）诞生了！

“还有没有更‘斜的？”教师继续延展。

学生的思维由直观操作进入无限世界，借助想象和理性思维，融通了多种画法的有序倾斜，纷纷提出自己的想法。“我觉得有更斜的平行四边形，如果把方格纸变得和黑板一样大。”“一条线，最后变成一条线！”“不是一条线，差一点点才变成一条线……”“但是它还是一个平行四边形，只不过无限接近于一条线！”学生已经隐约想象出“临界点”。其实，学生的脑海中已经有了“动态几何”的轨迹，底、高不变，随着倾斜角度的变小，平行四边形无限接近于一条线。在延展式复杂情境中，数学极限思想和等积变形也在学生思维的融析中得到发展。

（二）递进式复杂情境

递进式是结构较复杂、思维次序关联性很强的问题情境，融析过程中环环相扣、层层递进，方能抵达思维核心，如同一层一层剥去玉米苞衣，因此又称“剥玉米苞”式情境。

【案例3】“三阶幻方”如此美妙！

四下教材练习七第6题：用方格中的数（如图2），按定序写算式。观察算式特点，算和，找发现。

49+35+81      18+53+94

42+37+86      68+73+24

38+51+76      67+15+83

492+357+816   618+753+294

教學中，我们以此问题为内核，进行递进式改造，构建复杂情境。学生由外而内，经历了四个层次的思维分析、关联、融通的过程。

表层发现：规律是什么？通过观察、比较和计算，学生发现数序相反的四组算式中，三个两位数的和都是165，三个三位数的和都是1665。

深层思考：为什么三个两位数的和是165？经过多角度分析，有学生用连线法（如图3）得出：十位数字之和是15，个位数字之和是15，即15个十加15个一得165，这在其他算式中也得到验证。此题中，为什么三个三位数的和是1665，也自然关联得出缘由。

核心层融通：为什么相同数位上数字之和是15？学生的思维融析并未停步，而是抽丝剥茧，继续深入。结合表格数据特征，最终发现此题最核心的原因在于利用了三阶幻方“幻和一定”的性质。

数学文化层融入：经历了观察、比较、关联和层层深入、不断融通后，学生对三阶幻方趣味盎然。“洛河神书”“九宫格”“杨辉法”等在课后资料查阅中纷纷映入学生脑海，交汇出一幅三阶幻方数学文化图。

在这个递进式探究场中，两次“为什么”的融析让数学思维的有序性得以体现，而数学文化的融入也让学生强烈感受到数学如此美妙！

（三）嵌入式复杂情境

嵌入式复杂情境是把指向同一实质的两个（以上）关联问题进行嵌入构造，学生从不同维度融析，对事物的本质和规律认识更全面、更深刻，思维周密性很强。算法数学和思辨数学两种形态的相得益彰在嵌入式情境融析中体现较多。

【案例4】两种数学形态的解释！

针对四下“三位数乘两位数的积是几位数”的实质，我们将教材中“132×28……”与“最大的三位数乘最大的两位数，积是（    ）”两个问题进行了修改和嵌入。

学生通过算法（计算）发现：当两个乘数最高位的乘积满十时，则三位数乘两位数的积是五位数;当两个乘数最高位的乘积不满十时，则积是四位数。而90×150这一特例又让学生反思纠正：三位数乘两位数时，最高位向前进位则积为五位数，不进位则积为四位数。

后题计算后，学生给出了具有一定逻辑的解释：三位数乘两位数，乘积范围在1000～98901间，因此积可能是四位数，也可能是五位数。

学生从算法数学和思辨数学两个维度得出“三位数乘两位数的积可能是四位数，也可能是五位数”的结论，融通了“算法数学的具体与可见”和“思辨数学的逻辑与概括”的互生互补。

在五下探讨“一个数的因数的个数”时，学生给出了更为严密的解释：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，因数个数在“1～它本身”之间，所以个数有限。学生在思维融析后表现出很强的“合理性选择”倾向。

三、创新：巧意借力儿童“生成”生长融通能力

儿童在数学学习的过程中产生的很多基于自身体验的疑问和发现等，具有真实性与独特性。以这些价值点为内核，创新情境构造，在不断生成中生长儿童的融通能力。

【案例5】有0°角吗？

“钟面上的分针和时针重合时组成的是什么角？”是四上单元知识结构交流时一个孩子提出的问题，他有着自己的思考。概念教学，基本上是规定、说明和强调，可不可以有些原理的领悟、关系的融通、结构的建构呢？教学时，我们以这个“节外生枝”的想法为内核，构建情境，展开融通能力。

由钟面角生成“有没有0°角”的问题，生成“0°角有必要存在”的成果，又由这一成果生成“0°角是不是锐角”的问题。

“问题球”在孩子间不断传递、碰撞开来，最终大家融析生成这样一个思维图式（如图4）。

源于兒童自身的创新情境更具亲切感和探究性，融通能力的批判性凸显得更为丰盈。儿童不会不经思考就附和他人意见，他们发现自身错误时更愿意纠正并接受其中的教训，变“理解性”的学会为“批判性”的会学。

从应用性和客观标准性很强的SOLO水平分类来看，复杂情境下的融通能力主要处于高阶的“多元结构”向“关联结构”跨越阶段，时而达到“扩展抽象”层次（最高层次）。在儿童与数学的深度遇见中，激活儿童心智，唤醒儿童生命，找到了人（儿童），发展了人（学科素养）。