实施素养导向：德国基础教育数学课程大纲的分析与启示

刘胜峰

（福建省厦门实验小学）

课程标准（大纲）是具体学科对国家教育理念、知识观、学习观、教学评价、课程文化的综合体现，是基于学科教育实践过程的经验积累和新认识的具体设计。对于基础教育阶段的数学课程标准（大纲）而言，它要服从于国家教育培养目标的总体要求，其内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。

德国是联邦制国家，教育的治理权分散在各个州。各州都自己编制数学课程大纲，以其作为教材编写者、研究人员和一线教师开展数学教育的指导性文件，确保数学教育取得成效。本文以2016～2017学年开始使用的德国首都柏林和勃兰登堡州的《柏林1～10年级数学课程大纲》为例，比较中德两国的数学课程基本理念、内容以及目标，以之为我国数学课程的改革和发展带来启示。

一、德国数学课程大纲的基本理念

《柏林1～10年级数学课程大纲》将1～10年级的学习内容划分成A～H共8个阶段，其中1～2年级需要达到B，3～4年级需要达到C，5～6年级需要达到D，而7～10年级跨度较大，每上升一个年级都需要达到一个新的阶段。我国《义务教育数学课程标准（2011年版）》则是将共计九年的学习内容划分成三个学段。

（一）课程结构划分注重阶段与整体相结合

从课程结构而言，除了课程类型和课时比例安排存在差异外，两个国家的数学课程标准（大纲）都表现出整体性、综合性、均衡性等特点，都涉及了阶段性和整体性之间的关系，淡化了传统意义上的小学与初中的区分，突出学生的生理和心理的阶段性特征、相应年龄与年级之间的对应与划分。

（二）课程价值观注重数学能力的培养

受“以全面的教育为使命”理念的影响，《柏林1～10年级数学课程大纲》以及其他州制定的小学数学课程，都把“除了传授具体的数学知识以及工作方式以外，还要传授有关思维过程和决策制定的一般性观点”视为数学课程的核心任务。他们认为，“学生获得的关于数学方法的知识最有价值，这是由人类知识增长的无限性与个体获得知识的有限性之间的矛盾决定的”，数学课程应与现代公民的日常生活紧密联系，以“能力”作为课程质量产出的主要评价对象，学生在掌握数学能力后能够在未来的工作与生活中获得发展与成功。这样的数学课程价值观与我国有着较大的区别，我国的数学课程价值观则认为，“数学课程除了具体知识和技能的教学，更重要的是数学思维方式与数学精神的培育”。

《柏林1～10年级数学课程大纲》以“学生学习过程的表现”区分出不同的数学能力水平，不仅对学生在学习数学的过程中应该掌握哪些能力做出了详细的要求，还对学生小学毕业时应获得的数学能力做出了规定。它建构了完整且层次分明的数学能力模型，模型里的六种数学能力及其水平都是环环相扣、螺旋上升的，具有很强的可操作性。六种数学能力具体为：数学论证能力、解决问题的能力、数学建模能力、数学描述能力及关联能力。

数学能力模型对于德国数学课程大纲的重要性，就尤如我国《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的十个核心概念。两者都是反映课程内容的核心思想、是体现课程内容的主线、是把课程内容与课程目标有机关联起来的脉络，更加突出课程内容的本质。他们既是数学课程内容的核心和聚焦点，也是数学课堂教学的目标点，更是数学教师落实数学教育根本任务的着力点。

二、德国数学课程大纲中的内容划分

课程内容的选择是根据特定的教育价值观及相应的课程目标来选择的，“选择什么样的课程内容才最有价值”是教育中必须正视的根本性问题。

（一）课程内容的设计注重学生的个性化发展

关于数学课程内容的设计，《柏林1～10年级数学课程大纲》认为，“对数学能力的掌握往往与现有的知识理论有关，并且始终受到数学内容的约束。”“数学学习能力的发展贯穿在德国数学教育从一年级直到十年级的每部分课程内容中，数学学习过程中能力标准在课程具体内容之间和难易程度分配中起着重要作用。反过来，数学学习过程中能力标准的划分取决于数学内容的主题、复杂程度和要求范围，并且可以在每个阶段和每种思想上以各种形式证明他们。”

因此，《柏林1～10年级数学课程大纲》先从“学习过程中能力标准”全面阐述课程的总目标，再把“学习过程能力标准”与“知识内容划分”进行融合对应，安排了“数字与运算”“量与测量”“空间与图形”“方程与函数”“数据与概率”五个部分的内容。

更重要的是，《柏林1～10年级数学课程大纲》对课程内容的划分不仅按年级，还按学校类型，不同学校同一年级的课程内容水平要求也不一样。比如，表1就是一至十年级课程内容水平的要求。

表1 一至十年级课程内容水平的要求表

表格中的课程内容学习水平从A级到H级代表着“该级别特别需要掌握的内容”，依次顺序是从简单到复杂，每个字段表示的是各个级别的学习积累，先前级别的内容通常是后续阶段相关学习内容的先决条件。三四年级的课程内容对于入学阶段或早期阶段的学习要求是必不可少的，五年级则是基于德国各州文化教育部联席会议颁布的《中小学教育标准》中的要求，学生在从小学过渡到综合中学、实科中学或文理学校时，要达到上述表格中六年级的标准。综合性中学或是文理中学的同年级学生的数学课程内容不一样，这真正体现了“不同的人在数学上获得不同的发展”的理念。

（二）课程内容的实施注重层层深入

课程内容是实现课程标准（大纲）培养目标的载体。学生通过数学学习活动，能够达到什么样的水平，与学习内容中相关的数学能力锻炼相关，与各个知识领域的需求相关。能力的获取是长久进行的过程，学习水平的发展必须始终在与过程相关的数学能力范围内，其中课程内容起着重要的作用。受建构主义知识观的影响，《柏林1～10年级数学课程大纲》非常强调数学知识结构的核心是对知识的态度和获得知识的能力，因此要充分协调各个年级的课程内容关系，使得数学课程内容能够循序渐进、层层深入。比如，其对“数字与运算”水平的要求划分如表2（以1～6年级为例）。

表2 “数字与运算”水平的要求划分

数学学习的内容要依存于学生的需求，是整体对自然、人类和社会的统合的解释，不是简单地划分为一个个独立的部分。《柏林1～10年级数学课程大纲》把宏观的数学能力作为划分课程内容维度的依据，再通过对课程内容水平划分反映与之对应的具体能力水平。可见，德国的教育不仅关注学生的知识掌握，还关注学生知识掌握的过程和能力达到的水平。此外，德国的数学教育不仅教给学生基本事实与概念（硬件知识和知识的硬件），还注重教“软知识”，让学生获得“方法的知识”和“个人经历体验的知识”。

三、德国数学课程大纲的年级目标

数学课程目标对教育目的和教学目标的达成起着承上启下的作用，前者是教育方针的总的培养目标的体现，后者是单元、章节和课堂教学所要达成的目标。《柏林1～10年级数学课程大纲》第二部分介绍了“数字与运算”“量与测量”“空间与图形”“方程与函数”“数据与概率”五部分的知识内容，在第三部分以年级为单位规定了各个内容所对应的具体目标要求，并联系和证实第一部分所提出的总体目标。

（一）核心目标注重数学能力的发展

《柏林1～10年级数学课程大纲》提出，学生学习数学应达到的核心目标是“学生数学能力的发展”。该发展主要由三个部分组成：一是学生借助数学的帮助，认识与了解自然科学及社会文化现象并对其进行探索与分析，最后用数学的视角对他们进行判断和评价；二是学生自己能够认识数学术语，包括数学符号、图像、表达及公式，并对他们有系统的认识，能用他们来描述与解答数学问题；三是学生能够将数学问题与日常生活中所遇到的问题相结合，提出具有独创性的想法，同时自主阐明和解释问题的能力也得到增长，能够通过对问题的阐释与辨析提高数学启发能力。

（二）阶段目标注重生活化与数学化

《柏林1～10年级数学课程大纲》中1～6年级的课程阶段目标是：数学需要生活化的研究、发现与行动，需要根据学生的年龄特点来探讨数学角度的潜能与限制。通过数学课，学生根据以往的数学经验，能够探索各种关系，探究结构，掌握术语，找到合适的表达方式并合理选择。这为进行结构化思考以及为日常生活和职业领域所需的数学技能奠定了坚实和长久的基础，并为数学学科的进一步、可持续性的学习建立了联系。此外，在德国的小学数学课上，学生应掌握数学教育的基本技能，这也为中学课程的进一步学习甚至是以后一生中数学研究的要求创造了先决条件。

（三）整体目标注重知识与能力的掌握

《柏林1～10年级数学课程大纲》中对五个部分的内容的整体目标概括为：数字与运算包括数字的表示与排列，对数量关系的描述，对计算方法的运用及对运算概念的培养；量与测量包括尺寸与单位的概念，对尺寸的测量计算与在实际情况中的运用；空间与图形包括对几何对象特性和其之间联系的描述，对几何对象本身的描述和几何图形的使用；方程与函数包括项与方程式的表示，求解方程与方程组以及配方和函数的使用；数据与概率包括数据的收集，表示与评估，计数策略的应用和计算概率。

《柏林1～10年级数学课程大纲》中“数字与运算”内容的学习目标具体如表3和表4。

表3 “数字处理”学习目标

表4 “算式概念和简便运算”学习目标

（四）具体年级学习目标注重学生的年龄心理特点

《柏林1～10年级数学课程大纲》对于具体年级学习目标的规定照顾到了各个年级学生的年龄心理特点。比如，其认为一二年级的学习目标是使学生获得感性知识和初步了解事物的能力，逐步学会读、写、算等最基本的知识和能力，养成能够坐下来读书的习惯，初步学会独立思考和分析比较。从其对各部分内容学习目标要求的行为动词或是中心短语的表述，包括相关术语的运用中，都可以看出德国课程大纲对各年级目标的要求是层层深入的、是步步提高的，这也体现出了逐渐深化的过程。这是符合人的认识规律的。

四、德国数学课程大纲的启示

德国的小学数学教育既有东方传统的重视知识体系架构、重视基础知识学习、重视教师作用的特点，同时，也有西方教育重视学生自主探究、强调合作学习、培养创新能力、尊重个性发展的特点。在理念、创新和实践等方面都很有特点，值得研究、借鉴。

（一）要培养学生独立思考和分析创造的能力

德国各州都编制有学科大纲，类似于我国的学科课程标准。以《柏林1～10年级数学大纲》为例，《柏林1～10年级数学大纲》“旨在对学生小学毕业时应获得的一般数学技能和与数学内容相关的数学技能做出规定。”一般技能主要包括：解决问题的能力、关联能力、数学论证能力、数学建模能力及数学描述能力。相应的数学内容领域有：算数和运算，空间和形状，模式和结构，大小和计量，数据、频率和概率。其以一二年级为第一教育单元，三四年级为第二教育单元。两个单元的教育目的是使学生获得感性知识和初步了解事物的能力，逐步学会读、写、算等最基本的知识，养成能够坐下来读书的习惯，初步培养独立思考和分析创造的能力。

（二）要培养学生的数学思维能力

德国和我国的课程标准（大纲）也有相同的部分，如都把数学思维能力的培养作为数学教育的主要目标之一，要求学生在学习数学或解决数学问题的过程中，能运用“直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解”等思维过程；都提出学习过程不仅需要接受知识，而且要善于发现问题和提出问题，学生要学会数学思考，发展提出、分析和解决数学问题的能力；都要求学生能采取正确的数学策略和方法解决在数学或其他情境中出现的问题，能够就数学问题相互交流，学会质疑。这些要求包含数学交流、知识运用和数学创新，等等。

（三）要重视“学习过程标准”规划

通过中德两国数学课程标准（大纲）的比较，解析德国的小学数学课程大纲以及大纲所提出的教学建议，吸取其课程大纲在内容选择、编排、呈现等方面的可取之处，可以为我国的数学教育及课程标准的编写提供案例参照，拓展课程标准的编写思路，优化课程标准的结构体系，进而为教师和学生提供最适合的支持，为数学课程改革提供决策参考。

中德两国的数学课程标准（大纲）最大的区别在于，德国的教学大纲不仅以“数学内容”来作为划分标准，还以“学习过程”来作为划分标准，其详细建构出了数学能力水平体系。以“学习过程”划分的数学能力水平，可以很容易地厘清学生在学习数学的过程中应该掌握哪些能力及其水平层次，是可评价、可测量的。德国的一线数学教师执行课程大纲时，有明确的“学习过程”能力水平层次目标作为依据，就可以将教学重点放在积极的、建设性的、独立的学习过程之上，知道应该提供更多自主学习的机会，从现实情况出发，借助之前的经验，采用多种多样的上课方式，丰富针对性的练习形式，尽可能地帮助学生获得数学能力。

“学习过程标准”规划了实现这些目标的方法和能力，也帮助学生了解在数学基本概念及其运算后，要注重培养解决现实问题的能力。随着年龄的增长，学生会逐渐关心自己是否学会了对事实进行数学处理的能力，对事实建立类似的问题模型的能力，在数学方面进行辩论和交流的能力和跨学科发展的能力。此外，当他们对自己的数学能力充满信心之后，就会产生更多的观察数学现象和问题的兴趣，更会坚持不懈地专注于数学任务的完成和数学问题的解决。

（四）要构建层次分明的数学能力模型

对数学教育而言，完整且层次分明的数学能力模型能够引导数学教学的发展及评价数学教学的质量。该模型不仅能让教师明确数学能力的培养目标及应达到的水平，而且能帮助教师判断学生的数学能力水平现状，以便进行有针对性的教学或辅导。德国的实践表明，构建这样一个模型是有积极意义的。

数学知识的掌握和数学能力的发展都是数学教学目标的重要组成部分，但是二者的关系不是相互等同而是基础与目的的关系。数学知识的掌握是基础，数学能力的培养是目的。在这方面，我国的小学数学教育仍然缺少学生学习过程的指导框架，这也正是我们目前不断探索的“数学素养体系”的原因之一。我们需要可测量的、层次分明的、具体的数学教育质量标准，再将其作为日常数学课程与教学的指导和支持，作为提高学生数学素养的关键；我们需要整合数学知识的掌握与数学能力的发展，使之作为转变培养方式的根本途径，真正地实现以素养为导向的数学课堂教学目标。