以立体几何为背景的江苏中高考题的命题趋势

江苏省宜兴硕博教育培训中心 孙 宇

一、利用初中的方法来解答高中题

例1：如图1 是一个用铁丝围成的篮框，我们来仿制一个类似的柱体形篮框。如图2，它是由一个半径为r、圆心角90°的扇形A2OB2，矩形A2C2EO、B2D2EO及若干个缺一边的矩形状框A1C1D1B1、A2C2D2B2、…、AnBnCnDn，OEFG围成，其中A1、G、B1在 上，A2、A3…、An与B2、B3、…Bn分别在半径OA2和OB2上，C2、C3、…、Cn和D2、D3…Dn分别在EC2和ED2上，EF⊥C2D2于H2，C1D1⊥EF于H1，FH1=H1H2=d，C1D1、C2D2、C3D3、CnDn依次等距离平行排放（最后一个矩形状框的边CnDn与点E间的距离应不超过d），A1C1∥A2C2∥A3C3∥…∥AnCn。

（1）求d的值；

（2）CnDn与点E间的距离能否等于d？如果能，求出这样的n的值，如果不能，那么它们之间的距离是多少？

例2：如图3，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1 的长分别为14cm 和62cm。分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm。现有一根玻璃棒l，其长度为40cm。（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；

（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度。

综合分析：在江苏高考的2016 年、2017 年连续出现了立体几何的问题。上面的例1 是2016 年无锡中考的最后一题，例2 是2017年的江苏高考真题，这种题型也可在教材上找到它的影子，如苏科版《数学2》（必修）第60 页练习第4 题。这两道题目的解题方法类似，而且例2 作为高考真题可以利用初中的方法进行解答。这两道题目的 基本解题方法均是将立体图形转变为平面图形求解。而立体图转变为平面图的基本方法有两种：一是将图形进行展开（如例3 及其变式），另一种就是通过截面图来进行求解——例1 作出俯视图、例2 作出截面图。对于例1，由于是等腰三角形为背景，只要画出俯视图后，基本上理解清楚题意就可以很快求解出来；对于例2，作出截面图，然后需要利用相似三角形的方法进行求解。读者可以自行做一下这两道例题，相信会有很大收获。

二、江苏高考应用题对中考数学命题的渗透与影响

例3：请你设计一个包装盒，如图4 所示，ABCD是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm。

（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

【变式】在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600 平方厘米的矩形纸板ABCD，如图5，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面为矩形EFGH，如图6，设小正方形的边长为x厘米。

（1）当矩形纸板ABCD的一边长为90 厘米时，求纸盒侧面积的最大值；

（2）当EH∶EF=7 ∶2，且侧面积与底面积之比为9 ∶7 时，求x的值。

综合分析：例3 及变式的命题背景类似，均是以长方体的展开图为背景，求解相关问题。试题的来源均是这样一道题——苏科版《数学1》（必修1）第二章《函数》的复习参考题：如变式图所示，在一张边长为20cm 的正方形铁皮的4 个角上，各剪去一个边长是xcm 的小正方形，折成一个容积是ycm³的无盖长方体铁盒，试写出用x表示y的函数关系式，并指出它的定义域。题目的解答难度不大，但是却体现了高考命题和中考命题的一种趋势，以立体几何为背景的题型开始显示出威力。立体图形包装盒问题，除了出现在2011 年江苏高考题（例3），还出现在2006 年无锡中考真题、2010 年无锡中考真题中；再从2016 年无锡中考模拟题到2017 模拟题（如变式2）、2018 及2019 年模拟题，近几年这类题型层出不穷，大有“翻身”的趋势。