对流Cahn-Hilliard方程的全局吸引子和分歧

张 强，李俐玫

（1.中国民用航空飞行学院计算机学院，四川广汉618307； 2.四川师范大学数学科学学院，四川成都610066）

本文研究如下用于描述晶格气体［1］和二元合金相分离［2］的带对流项的Cahn-Hilliard方程

其中，u（x，t）是未知函数，μ∈R是系统参数，a≠0，b≥0是常数.

Leung［1］在系统（1）中参数μ小于某一临界值的条件下得到了稳态解的表达式，并且发现气体表面的不稳定性可以解释相分离，但是并没有给出相分离的机制.Emmott等［2］用系统（1）研究二元合金泡沫的动力学行为，发现了表面速度依赖于外加驱动场和分离表面的相对尺寸大小，然而精确的亚稳相分离机制并没有得到.此外，Kwek［3］证明了系统（1）古典解的存在性，Gao等［4］找到了该系统的行波解，Watson等［5］讨论了粗糙动力学，Eden等［6］研究了惯性流形，更多模型和研究参见文献［7-10］.

当系统（1）中b＝0时，得到Kuramoto-Sivashinsky方程，它是物理中用于描述燃烧火焰前阵波传播［11］、反应扩散［12］等现象的模型，并被学者们广泛研究（参见文献［13-14］）.这里需要说明的是文献［14］分析了Kuramoto-Sivashinsky方程的吸引子分歧（该结果可以看作是本文的一个特例，见注3.1）.

利用文献［15-16］建立的吸引子分歧理论，分析了系统（1）的动力学行为，得到了吸引子分歧和吸引子稳定性结果，从数学理论上给出相分离的准确机制.关于吸引子分歧的更多工作参见文献［17-22］，关于分歧的研究可参见文献［23-26］.

1 预备知识

根据文献［27-28］，（2）式中定义的算子 A：H1→H是一个扇形算子，是H1在H2中的闭包.系统（1）解的存在性结果可以由标准的Galerkin方法获得，本文在此省略.这样系统（4）定义了一个算子半群S（t）：H→H，并且S（t）满足S（t）u0＝u（·，t）.

2全局吸引子的存在性

下面给出关于系统（1）的全局吸引子存在性定理，该定理也将用于下一节主要结果的证明中.

定理2.1当μ≤1时，系统（1）在H中存在一个全局吸引子.

证明第一步，将系统（1）中第一个方程乘以u，并在（0，2π）上积分得到

3 吸引子分歧和吸引子的稳定性

下面将重点分析带对流项的Cahn-Hilliard方程的动态分歧和分歧吸引子的稳定性，给出如下主要结果.

定理3.1对于系统（1）有如下结论成立：

1）当μ≤1时，u＝0是全局渐近稳定的；

2）当μ＞1时，稳定性从u＝0转移到Ωμ，其中Ωμ是从u＝0处分歧出的一个吸引子；

3）Ωμ由系统（1）的稳态解构成并且同胚于S1；

4）Ωμ的表达式为

证明第一步，对系统（1）的线性算子Lμ作特征值和特征函数分析，Lμ对应的特征方程为

容易得到（21）式的特征值和标准正交特征函数为

可以推出对任一 θ∈R，δ（μ）sin（x+θ）+h（x+θ，δ）仍然是系统（1）的稳态解，所以下面的集合

由系统（1）的稳态解构成.从T的表达式可以看出T是H中的一个圆周S1.因为Ωμ与S1同胚，根据文献［16］中的定理5.10可推出Ωμ＝T，所以Ωμ是由系统（1）的稳态解构成.定理3.1中的结论3）和4）得证.

注3.1定理3.1中的结论对于b＝0的情形同样成立，即定理3.1对Kuramoto-Sivashinsky方程仍然正确.

致谢本文得到中国民航飞行学院青年基金（Q2014-54）的支持，谨致谢意.