有关一种数列极限计算题型的思考

【摘 要】极限的计算是高等数学学习的重点。极限计算方法众多，学生通常容易掌握各种不同类型的未定式的极限计算，但对数列极限的计算普遍感到比较困难。本文从一道数列极限的计算题出发，结合教材常规题型，分析数列极限计算题型的解题思路。

【关键词】数列极限;单调有界收敛准则;递推式

1   问题提出

极限的思想贯穿高等数学整本教材。因此，极限的计算在高等数学的学习过程中非常重要，而且，由于极限思想渗透到各个章节，所以极限的计算方法也丰富多彩。这一方面激发了学生学习这一块的兴趣，另一方面学习这一块是比较具有挑战性的，学生会时常遇到困难。抽象的数列极限计算题或者证明题，一直是学生学习过程中的一个难点。笔者在教学过程中，遇到学生问这样一道计算数列极限的题。

这是一道给出通项递推式的极限题。学生给出的上述解答过程是不是正确的呢？不妨回忆教材所学内容，寻找突破口。在教材中，常遇到已知通项递推式求数列极限的题，如例2。

2   问题分析

例2 已知，证明存在并求出该极限。

例2的求解过程分为两步，第一步先证明数列单调有界，保证极限存在;第二步在递推公式两边同时取极限，解出具体的极限值。可以发现例1（解法一）直接进行了第二步，而没有证明该极限存在，因此还必须先证明该极限是存在的。而对例1的前面几项进行试算，发现该数列不具有单调的趋势。这就给解题造成了困难，常规的单调有界收敛准则不能用了，那该怎么办呢？遇到这种情况，通常有两种思路，一种是另寻他法来证明极限存在，如例3所示;另一种是找出的通项表达式，直接计算。

例3是先假设极限存在，推算出极限值后，再根据极限的定义证明该极限等于推算出的极限值。我们知道极限的定义可以用来证明极限存在，但不能直接求出极限值。因此对于没有单调性的数列，可以采用这样一种方式来处理。那么，回到例1，按照例3的思路，如果要完善解法一的解答过程，就可以尝试去证明。

对于例1的解法一，由于，用数学归纳法证明，即当时，结论成立;设时，，则有，结论成立。下面證明。

经过这样一个补充，就完善了例1解法一的解答过程。那么在做完善工作时都是对已有的题型进行分析，做一个类似的模仿。这种模仿不仅帮助学生有效地解决了问题，同时也展示了数学学习的一种方法。学生不断模仿，不断摸索，不断总结，从而提高对数学知识的掌握程度，提高自己的解题能力。特别是在遇到复杂问题的时候，要从更基础的更简单的类似问题寻找突破口。只有常规思路用得得心应手了，才能一眼发现问题，从而解决问题。

在上述解答过程中用到了无穷级数求和的知识，等比级数。解法二成功地避开了证明，但也对解题者知识掌握的综合程度要求更高。

例1的求解过程，很好地展现了“已知，求”这一类数列极限题的常规思路：先用单调有界准则证明存在，再设递推式对两边同时求极限，得到最后的极限值A;如果单调有界准则证明受阻，就退而求其次，先假设极限存在并求出A，然后再用定义去证明。这里还有一种思路就是由递推式得到具体的，然后直接计算，从而避开极限单调性的证明。

3   结语

本文从一道数列极限题入手，提供了一种解题的思路，那就是当学生遇到比较困难、比较复杂的题型的时候，要善于跟教材上的基础题型、跟已接触过的一些题型作类比，作思维的迁移，从而保证探索复杂题的有效性。这样既能快速找到解题的切入口，也能提高解题的准确率。

【作者简介】

郑彭丹（1981～），女，湖南岳阳人，硕士研究生，讲师，研究方向：概率论与数理统计。