ATIS作用下弹性需求混合交通均衡的效率损失

余孝军，刘作志，舒亚东

(贵州财经大学数统学院，贵阳550025)

0 引 言

学者们从不同方面对先进出行者信息系统(Advanced Traveler Information Systems，ATIS)进行研究.Huang 等[1]评估了存在排队现象的多用户类一般交通网络中ATIS 的作用.Lo 等[2]提出动态交通分配问题的元胞变分不等式模型，并评估了ATIS的作用.Huang等[3]得到ATIS作用下的多用户类多准则Logit 型交通均衡分配模型.郭仁拥等[4]提出ATIS作用下的多用户类多准则随机交通均衡分配演化模型，并利用不动点定理分析了模型不动点的存在性.学者还对ATIS作用下，固定需求交通均衡行为的效率损失问题进行了研究.刘天亮等[5]探讨利己用户和ATIS用户组成的混合交通均衡效率损失上界.Huang等[6]研究ATIS作用下随机用户均衡行为的效率损失问题.张俊婷等[7-8]分别考虑ATIS和道路收费共同作用下多用户类多准则混合随机均衡行为相对系统最优和随机系统最优的效率损失问题.

智能的交通个体在进行出行决策前，会根据交通现状选择是否出行，但交通网络中的出行需求并不是一个常量，而是关于出行成本的变量，常用需求函数刻画出行成本与出行需求间的关系.本文探讨ATIS作用下弹性需求混合交通均衡的效率损失问题.构建ATIS 作用下弹性需求混合交通均衡分配的等价变分不等式模型，定义此均衡行为的效率损失；得到该类混合交通均衡行为的效率损失上界表达式，并给出一个简单算例.

1 ATIS作用下弹性需求混合交通均衡分配模型

1.1 符号定义

在城市交通网络G=(N,A)中，N为顶点集，A为有向路段集，W为所有OD对集合，Rw为OD对w∈W间的所有路径集.交通网络中的每个OD 对w∈W间存在着完全理性的利己用户u 和配置先进出行者信息系统的ATIS用户atis.利己用户u 追求自身效用的最大化，即最小化自身出行成本；ATIS用户atis根据接收到的信息，判断是否选择出行，一旦确定出行，则遵从系统最优原则出行为OD 对w∈W间利己用户u 的弹性出行需求；为OD对w∈W间ATIS用户atis的弹性出行需求；为利己用户u 在路径r∈Rw,w∈W上的流量；为ATIS 用户atis 在路径r∈Rw,w∈W上的流量；若路段a∈A在路径r∈Rw上，则否则为利己用户u 在路段a上的流量；为ATIS用户atis在路段a上的流量；va为路段a上的总流量，；va为路段a上的流量向量为利己用户u 的路段流量向量，其中，|A|表示网络中有向路段的数量；为ATIS 用户atis 的路段流量向量，；v为路段流量向量，v≡(v1,…,v|A|)；f为路径流量向量，其中， |W| 表示网络中OD 对的数量， |R|w|W|表示OD 对w|W|间的路径数量；q为需求向量分别为利己用户u 和ATIS 用户atis 在OD 对w∈W上的逆需求函数；假设路段出行成本函数ta(va)是可分离函数，且为路段流量va的连续可微严格递增凸函数，且对∀c∈[0,1] 满足ta(cx)≥cta(x).

显然，交通网络中的流量守恒和非约束条件为

式(1)～式(6) 可写成矩阵形式，即Ω=，其中，是路段/路径关联矩阵，Λ=[Λrw] 是OD 对/路径关联矩阵，如果r∈Rw，则Λrw=1，否则Λrw=0.显然Ω是闭凸集.

1.2 模型构建

Nagurney 等[9]给出如下多用户类弹性需求交通均衡分配结论：

引理1在M类用户组成的弹性需求多用户类交通网络中是弹性需求下多用户类交通均衡分配解的充要条件是下面变分不等式(VI)成立.

本文考虑两类不同用户，即利己用户u 和ATIS用户atis，记为利己用户u 在路段a上的出行成本，为ATIS 用户atis 在路段a上的出行成本，则有

式中：t′a(va)是路段出行成本函数ta(va)的一阶导函数.将式(8)和式(9)代入式(7)，可得ATIS 作用下弹性需求混合均衡交通分配模型.

引理2在ATIS 作用下弹性需求混合交通网络中，是该类混合交通均衡分配解的充要条件是对任意的下面的VI成立.

定义ATIS作用下弹性需求混合均衡交通分配的效率损失为

即社会总剩余最大值与均衡时的社会总剩余之比，显然，ρ≥1.

2 界定效率损失的上界

在界定ATIS作用下弹性需求混合交通均衡分配的效率损失之前，由Chau 等[10]的引理4.2，可得如下定理：

定理1如果对任意非负的的非增函数，则

证明因为是非增函数，则有

即

对所有的OD对w∈W求和，则可得式(14)成立.

同理可得

定理2假设可分离路段出行成本函数ta(va)是路段总流量va的连续可微、严格递增凸函数，且对∀c∈[0,1] 满 足ta(cx)≥cta(x). 则∀va≥0 时，成立.

证明由Karakostas 等[11]中的式(7)，可知对任意的va≥0，有

式(18) 中第2 个不等式成立原因为ta0=ta(0)≥0 ；又 因 ∀c∈[0,1] ，不 等 式ta(cx)≥cta(x)成立.所以有

接下来，用非线性规划法探讨ATIS 作用下弹性需求混合交通均衡分配的效率损失上界.对任意给定的，讨论非线性规划问题，即

设

由于函数F(va) 的Hessian 矩阵是半负定矩阵，故F(va)是变量的凹函数，从而F(va)有全局最大值.令分别为变量的Lagrange 乘子，式(20)的一阶最优性条件为

由式(22)和式(23)可知，对任意的路段a∈A，非线性规划问题式(20)在极值点时，和有且只有一个成立.当时，由式(22)可知

由路段出行成本函数ta(va) 的假设可知，式(26)有唯一最优解，设其为代入式(24)可得

由路段出行成本函数ta(va)的假设可知式(28)的解为故

式(29)中不等式成立的原因是定理2成立.令

式中：ζ表示均衡时交通网络中各路段上利己用户的流量占该路段总流量比例的最大值.

定理3假设可分离路段出行成本函数ta(va)是路段总流量va的连续可微、严格递增凸函数，同时对∀c∈[0,1] 满足ta(cx)≥cta(x).设是VI 问题式(10)的解并且是最优化问题式(12)的解.则ATIS 作用下弹性需求混合交通均衡分配的效率损失存在上界，即

证明设是VI问题式(10)的解，即有

将式(14)和式(17)代入式(33)，可得

即

故

因此，可得式(31)成立.

3 算例计算

本文算法都是基于传统和经典的方法，网络规模可能对效率损失上界值产生影响，但在表达形式上不影响本文结论.为说明算法的有效性，用2 个顶点1 条有向路段的简单交通网络来说明，如图1 所示.路段出行成本函数为ta(va)=va，利己用户和ATIS 用户对应的逆需求函数分别为：.

图1 算例所用简单网络Fig.1 Simple network used in example

通过求解VI问题式(10)，可得

计算可得

求解式(12)可得社会总剩余最大时的最优解为

根据ξa,ζ的定义可得，ξa=0.286,ζ=0.714，所以，定理3 显然成立.

4 结 论

现有关于ATIS作用下效率损失研究的文献大都是考虑固定需求情形下混合交通均衡行为的效率损失，未对ATIS 作用下弹性需求混合交通均衡行为的效率损失进行探讨.本文在ATIS 作用下的弹性需求异质性交通网络中，针对利己用户和ATIS 用户的择路原则的异质性，探讨了该类混合交通均衡分配的效率损失问题.构建ATIS 作用下弹性需求混合交通均衡分配的变分不等式模型，运用非线性规划方法得到该类混合交通均衡分配的效率损失上界表达式.研究表明，ATIS作用下的效率损失上界和均衡时的社会总收益与社会总剩余之比，以及均衡时路段上ATIS 用户流量与总流量之比有关.下一步的研究将探讨更紧的上界及随机交通网络的情形.