无理数e的学术研究

张文 贵州民族大学

引言：无理数e的故事，这就要从古早时候说起了。至少在微积分发明之前半个世纪，就有人提到这个数，所以虽然它在微积分里常常出现，却不是随著微积分诞生的。那么是在怎样的状况下导致它出现的呢？这篇文章主要介绍关于无理数e的基本定义与存在性。

一、无理数e的定义

（一）e的极限定义

即数列{Xn}单调递增，而{Yn}单调递减；又对∀n有：

2=X1≤Xn＜Yn＜Y1=4,

于是数列{Xn}与{Yn}都收敛，

这个“e”符号是由瑞士科学家欧拉在1727年引进的。

（二）e的收敛级数定义

易知Tn≤Sn，事实上Tn＜Sn(n＞2)

同事Tn单调增加，所以当n→∞时，Tn→T

设当n→∞时，Sn→S,所以S≥T

下证S≤T

设m＜n是一个固定的整数，Tn的前m+1项为

由于m＜n，所以A＜Tn

令n无限增长而m不变，A→Sm，T_n→T

所以Sm≤T，进而S≤T

所以S=T

而T=lim(n→∞)Tn=e,所以S=e

二、e的存在性与无理性证明

（一）e的存在性证明

证明极限

①当x＞0时，首先让x取正整数，即x=n,n=1，2，3…若x≠0而(1+x)＞0有伯努利不等式(1+x)^n＞1+nx，这个不等式可有二项式定理推出，并且对-1＜x＜0时不等式任然成立，可由数学归纳法证明。因此，对伯努利不等式将x换成，便有

说明f(n)是随n的增加而增加的，即f(n)是单调递增数列，另一方面由二项定理知

说明f(n)是单调增加有界数列，f(n)的极限存在，用e表示，即

其次，对任意x＞0，必存在两个相邻的数m 和 m+1，使得m≤x＜m+1，因而

综上（I）（II）（III）对于x＞1，x＜-1极限得到了证明。

（二）e的无理性证明

证明e是无理数的方法很多，这里只介绍一种简单易懂的方法。

首先有：

那么2＜e＜3，就说明e不是一个整数。为了证明e是一个无理数，可用反证法假设e是一个有理数，那么就令，其中p、q均为正整数。由于e不是整数，故q≥2于是有：

显然左边的e×q!为整数，而等式左边的第一项也为整数，故等式右边第二项也为整数q≥2知q+1≥3。

因此

这与整数的性质矛盾，故e为无理数。