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数学分析中定积分的求解方法

2020-07-01罗睿贵州民族大学

消费导刊 2020年17期
关键词:曲边积分法换元

罗睿 贵州民族大学

几何定义:可以理解为在Oxy坐标平面上,由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴围成的曲边梯形的面积值(一种确定的实数值)。

一、提出背景

在生活中,很多与我们日常生活息息相关的问题需要用数学来解决,以面积为例,比如买房子时需要计算面积,而面积怎么计算就是数学的知识。而通常,能够通过具体的公式来计算的都是规则的平面或立体图形,而那些不规则的图形面积又怎么计算呢?基于此,为了解决就提出了定积分的概念。简单来说,就是利用极限的思想,将曲边梯形分解成若干小矩形,那么曲边梯形的面积就近似等于这些小矩形面积之和,分割越精细,近似程度越高。故为了得到更加精确的接近曲边梯形面积的近似值,必须用到极限这个工具,即小矩形的个数n要趋于无穷。

二、定积分的定义及线性性质

设f(x)是定义在[a,b]上的函数,在(a,b)中任意插入若干分点(这里插入n-1个),a=x0<x1<…<x(n-1)<xn=b来划分[a,b],在每一个部分区间[x(i-1),xi]中任取一点ξi,作和式,其中,Δxi=xi-x(i-1),设λ为Δxi(i=1,2......n)中的最大数,即λ=max{Δxi},(i=1,2......n),当λ→0时,如果和式σ的极限存在,即,且此极限不依赖于ξi的选择,也不依赖于对[a,b]的分法,就称此极限值为f(x)在[a,b]上的定积分,

三、定积分的求解方法

(一)凑微分法

这种换元法就称为凑微分法。

(二)换元积分法

换元公式:f(x)是[a,b]上的连续函数,作代换x=φ(t),其中φ(t)在闭区间[α,β]上有连续导数φ,(t),当α≤t≤β时,a≤φ(t)≤b,换元积分通常分为代数换元与三角换元。对于换元积分,其实和凑微分的基本思想是一致的。

换元积分的思想就是通过一些简单的代换来计算一些复杂的积分,通常大部分的积分是不能直接计算的,都需要通过一些特殊的技巧来求,有些甚至不止作一次代换。

(三)分部积分法

不定积分中,对于可微函数u(x)和v(x),有(u v),=u,v+u v,,则有u v,=(uv),-u,v,两端作不定积分的运算,得,即,我们就把(1)式称为分部积分公式。而对于定积分来说,如果u,(x) ,v,(x)在[a,b]上连续,则。这就是定积分的分部积分公式。

定积分的应用不仅仅是求解题目,更得和现实生活联系起来,当然,前提是求解出结果。对于任意给定的定积分,求解思路万变不离其宗,注意观察选取合适的方法求解,因为很多的求解方法并不唯一[3]。

四、结语

本文主要通过凑微分法、换元积分法、分部积分公式及其他例子介绍如何求解定积分。定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分;也可以存在定积分,而不存在不定积分。一个连续函数,一定存在定积分和不定积分;若只有有限个间断点,则定积分存在;若有跳跃间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。

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