螺旋波等离子体中螺旋波与Trivelpiece-Gould波模式耦合及线性能量沉积特性参量分析*

李文秋 赵斌 王刚3) 相东

1) (中国科学院空天信息创新研究院， 北京 100094)2) (普林斯顿大学， 普林斯顿等离子体物理实验室， 新泽西 08543， 美国)3) (中国科学院大学电子电气与通信工程学院， 北京 100049)4) (北京微电子技术研究所， 北京 100094)(2020 年1 月9日收到; 2020 年3 月31日收到修改稿)

采用有限温度等离子体介电张量模型， 在考虑粒子热效应情形下， 通过求解传导边界条件下等离子体柱中本征模的色散关系， 分析了螺旋波等离子体中典型参量条件下螺旋波与Trivelpiece-Gould (TG) 波的耦合特性及线性能量沉积特性. 在ω/(2π) = 13.56 MHz和TeV，i = 0.1TeV，e参量条件下计算结果表明: 对于螺旋波，存在截止静磁场B0，H，cutoff与截止等离子体密度n0，H，cutoff， 在B0 ＞ B0，H，cutoff或n0 ＜ n0，H，cutoff条件下， 螺旋波变为消逝波; 在ω/ωce ∈ (0.01， 0.10)范围内， 对于m = 0 角向模， TG波Landau阻尼致使的能量沉积占主导地位， 而对于m = 1角向模， 螺旋波Landau阻尼或TG波Landau阻尼致使的能量沉积哪个占据主导地位则取决于B0的大小; 在ωpe/ωce ∈ (3， 100)范围内， TG波Landau阻尼致使的能量沉积占主导地位; 在整体能量沉积过程中， 对于m = 0模和m = 1模， Landau阻尼致使的能量沉积均占据主导地位.

1 引 言

螺旋波等离子体源(helicon plasma sources，HPS)因其高电离率产生的高等离子体密度特性，在纳米电路刻蚀、深空电磁推进系统、卫星姿态调控、激光等离子体尾波场加速及引力波探测等领域正受到越来越多的关注[1-3]. 自1960年Aigrain[4]首次使用螺旋波(helicon wave， H-mode)的概念描述高电导率介质中传播的低频电磁波，1991年Chen[5]首次利用螺旋波的Landau阻尼机制解释HPS中存在的高电离率现象以来， 关于HPS中的高电离率物理机制至今仍作为热点问题得到许多物理学家的研究. 1994年—1998年，Shamrai 等[6-8]发现在螺旋波放电中存在一种静电性质的 Trivelpiece-Gould (TG)波， 其通过在等离子体柱表面附近与螺旋波进行模式耦合而将能量沉积入等离子体中， 但其无法解释在等离子体柱中心处出现的峰值密度现象. 1999年—2001年，Chen 和Blackwell[9，10]通过测量螺旋波等离子体中电子能量分布函数， 发现在螺旋波放电中并不存在强Landau阻尼引起的高能电子分布， 从而推翻了1991年提出的螺旋波强Landau阻尼机制.2003年， Kline和Scime[11]认为螺旋波(泵浦波)可以通过参数不稳定性模式转换为离子声波和TG波， 而离子声湍流可在局部通过散射加热电子. 2008年， Kim和Hwang[12]指出碰撞效应在体模式转换过程中起到重要作用， 并进一步指出模式耦合层(mode coupling surface， MCS)附近螺旋波的碰撞阻尼率足以解释等离子体柱中心密度峰值现象. 2016年， Shinohara[3]和Isayama等[2，13]指出， 当碰撞效应非常小时， 螺旋波与TG波之间的体模式转换将在波能量沉积过程中起到重要作用. 国内方面， 成玉国等[14]采用线性扰动波假设，分析了轴向静磁场对螺旋波和TG波能量沉积的影响; 平兰兰等[15]利用Helic code[16-18]， 分析了轴向静磁场和等离子体密度对功率沉积及其分布的影响. 至今， 虽然关于螺旋波等离子体中能量沉积的全部物理机理并未完全明朗， 但越来越多的细节正在被不断揭晓， 这为我们最终彻底理解螺旋波等离子体的高电离机制提供了有力支撑.

由于考虑粒子热效应会将求解本征模色散关系过程变得异常复杂， 故至今有关求解螺旋波和TG波横向波数的研究均采用冷等离子体模型， 为研究精确、完整起见， 实际情形中粒子的热效应应当予以考虑. 故本文利用包含粒子热效应的有限温度等离子体介电张量模型， 在不同等离子体色散函数(plasma dispersion function， PDF)近似条件下， 通过理论求解螺旋波和TG波本征模色散方程， 分析了螺旋波等离子体典型参量情形下螺旋波和TG波的耦合色散特性， 并参数分析了碰撞阻尼、Landau阻尼、多普勒频移回旋阻尼及异常多普勒阻尼四种线性能量沉积机制致使的波能量沉积特性. 本文所得分析结果对揭示螺旋波等离子体高电离率物理机理具有一定的理论意义.

2 理论模型

图1所示为典型螺旋波等离子体源中放电管横向界面示意图， 半径为 a 的有限温度等离子体柱浸没在沿 z 轴的均匀静磁场 B0ez中， 且被传导金属边界包裹. 等离子体柱中径向等离子体密度均匀分布， 且只存在电子及携带单位正电荷的氩离子， 其中电子温度远高于粒子温度.

2.1 等离子体区域中的电磁场分布与本征模色散关系

假定扰动电磁场的传播因子为 ej(mθ+kzmz-ωt)，利用 M axwell 方程组:

其中 kzm为第 m 个角向模的轴向波数( m 为角向模数); ϵ 为温等离子体介电张量. 借助等价符号∂/∂z=jkz，∂ /∂t=-jω，∂ /∂θ=jm ， 求得如下关于横向电磁场分量 Ez和 Bz满足的波动方程:

其 中 R =ϵ⊥+ϵ†，L =ϵ⊥-ϵ†. ϵ⊥，ϵ†，ϵ‖为 温 度各向同性、无漂移、零阶有限拉莫尔半径效应近似下的温等离子体介电张量元素[20]:

其 中张量各元素可表示为:

其 中 kz为 轴 向 波 数;为 ℓ 粒 子等离子体频率;为 ℓ 粒 子 回 旋频 率;为 ℓ 粒子热速度，νℓ为 ℓ 粒子碰撞频率[5，21，22]:

其中等离子体密度 n0的单位为 m-3， 氩气气压 pAr的单位为mTorr (1 mTorr≈0.133 Pa)， 电子温度 TeV，e与 离 子 温 度 TeV，i的 单 位 为eV，λei=23-0.5ln(10-6n0/Te3V，e) 为 电 子-离 子 库 仑 对 数[23]，Λ=40 为 氩 元 素 原 子 量，mℓ为 ℓ 粒 子 质 量，e=1.602×10-19C 为电子电量，ω 为波频率，k0=ω/c为自由空间波数，c 为光速; Z (ξ) 为等离子体色散函数[24]:

在螺旋波等离子体频率范围内，ωci≪ω＜ωce≪ωpe， (4)式可化简为[25]

其 中 γe=νe/ω，k 为 总 波 数，c osθ=kz/k . 求 解(11)式， 得到关于总波数 k 的两个解:

其 中 ζe=(ω+jνe)/ωce，δ0=c/ωpe为 等 离 子 体 趋肤深度. 至此， 可根据(12)式、波数间关系得到横向波数 k⊥m，H和 k⊥m，TG的具体数值.

求解波动方程(3)式， 得到等离子体区域磁场分量分布[15]:

其中， Jm为m阶 Bessel函数. 利用 M axwell 方程，得到电场分量分布:

其中 fm与 gm为场幅值系数.

最后， 利用边界条件: Ez和 Eθ在边界 r =a 处为零， 即

将场分布代入(19)式和(20)式， 经过整理， 得到角向模数 m 对应的径向模式色散关系如下所示:

可以看到， (21)式是边界约束条件下波数 kzm，k⊥m及之间关于贝塞尔函数的隐函数方程， 联立(12)式和(21)式， 可得到精确场分布.

2.2 线性能量沉积特性

在螺旋波等离子体中， 存在由碰撞阻尼(collision damping， CD)、朗 道 阻 尼(Landau damping， LD)、多普勒频移回旋阻尼(Doppler shifted cyclotron damping， DSCD)及异常多普勒阻尼(anomalous Doppler damping， ADD)致使的螺旋波与TG波线性能量沉积机制. 四种阻尼效应通过波-粒互作用机制将电磁波的能量传递给等离子体， 从而实现电子和离子的加热. 利用复数形式坡印廷定理， 得到螺旋波与TG模第 m 个角向模的功 率沉积 Pabs为

本文计算中， 中性工质气体为氩气; 等离子体柱半径 a =2.5cm ; 射频波频率 ω =2π×13.56MHz ;离子温度 TeV，i=TeV，e/10 ; 根据宗量 ξ 的大小， 等离子 体色散函数采取以下两种渐进形式[27]:

其中， Π 为某一子项的值不再单调递减时对应的该子项的项序.

3 数值计算与结果分析

在螺旋波等离子体典型参量条件下，n0=1×1012cm-3，B0=50G (1 G = 10—4T)，pAr=3mTorr ， 利用(4)式， 精确计算得到不同TeV，e值与不同 TeV，i值条件下螺旋波与TG波的耦合色散曲线. 由图2(a)可知， 在 TeV，e约为几电子伏条件下， 等离子体柱中同时存在螺旋波与TG波;每个 kz值对应两个不同数值的横向波数，k⊥，H和k⊥，TG(其中较大者 k⊥，TG为TG波的横向波数， 较小者 k⊥，H为螺旋波的横向波数模); 螺旋波与TG模在MCS处发生模式耦合: kz=kz，MCS=0.38/cm ，Real(k⊥)=Real(k⊥，MCS)|Real(k⊥，H)=Real(k⊥，TG)=1.8/cm;曲线上， MCS上侧为TG-mode branch， 下侧为H-mode branch; 此外， MCS的位置对电子温度的依赖较为明显: 随着 TeV，e的增大，kz，MCS逐渐增大，而 R eal(k⊥，MCS) 变化较为微弱; 电子温度的变化对螺旋波与TG波横向波数的影响亦有不同: 在远离MCS处， 电子温度的变化对螺旋波横向波数的影响可以忽略， 而对TG波横向波数的影响甚为显著; 在MCS附近， 电子温度的变化对螺旋波与TG波两者横向波数的影响均较为显著. 另一方面，当电子温度给定，TeV，e=3eV ， 图2(b)表明离子温度对螺旋波与TG波耦合色散关系的影响极其微小， 完全可以忽略， 这是因为离子质量远大于电子质量， 导致其热速度远远小于电子热速度， 从而使得离子热速度与波相速的相互作用远不如电子热速度与波相速的相互作用那样强烈.

图 2 粒子温度对螺旋波与TG波耦合色散关系的影响 (a)电子温度的影响; (b)离子温度的影响Fig. 2. Influence of particle temperature on dispersion relation between helicon and TG waves: (a) Electron temperature effect; (b) ion temperature effect.

作为影响螺旋波与TG模耦合关系的核心参量 之 一， 轴 向 静 磁 场 TeV，e=3eV 对 螺 旋 波 与TG波横向波数的决定关系如图3所示. 在参量TeV，e= 3 eV， kz= 0.25 cm—1， n0= 1 × 1011cm—3，pAr= 0.1 mTorr条件下， 图3计算结果表明: 存在一个临界轴向静磁场 B0，MCS， 螺旋波与TG波在B0=B0，MCS处发生模式耦合; 对于螺旋波， 存在一个截止轴向静磁场 B0，H，cutoff， 当 B0＞B0，H，cutoff时螺旋波成为消逝模; 碰撞效应的存在使得Real(k⊥，H)=Real(k⊥，TG) 的位置转移至修正模式耦合层(modified mode coupling surface， mMCS)，在B0= B0，mMCS处，I mag(k⊥，H)／=0 ， 暗示B0=B0，mMCS处并非螺旋波与TG波发生模式耦合的位置; TG模可在 B0＞B0，mMCS区域内传播， 而螺旋波只能在 B0，mMCS＜B0＜B0，H，cutoff区域内传播. 作为影响螺旋波与TG模耦合关系的另一个核心参量，图4所示为等离子体密度参量 n0对螺旋波与TG模横向波数的决定关系， 在参量条件TeV，e= 3 eV，kz= 0.25 cm—1， B0= 60 G，pAr=0.1mTorr 下， 计算 结 果 表 明: 存 在 一 个 临 界 n0，MCS， 螺 旋 波 与TG波在 n0=n0，MCS处发生模式耦合; 对于螺旋波， 存在一个截止 n0，H，cutoff， 当 n0＜n0，H，cutoff时螺旋波成为消逝模; 碰撞效应的存在使得Real(k⊥，H)=Real(k⊥，TG) 的 位 置 转 移 至mMCS，在 n0=n0，mMCS处，I mag(k⊥，H)／=0 ; TG模 可 在n0＜n0，mMCS区 域 内 传 播， 而 螺 旋 波 只 能 在n0，H，cutoff＜n0＜n0，mMCS区域内传播.

图 3 螺旋波与TG波横向波数对轴向静磁场的依赖关系Fig. 3. The perpendicular wave number of helicon and TG waves given as functions of axial static magnetic field.

图 4 螺旋波与TG波横向波数对等离子体密度的依赖关系Fig. 4. The perpendicular wave number of helicon and TG waves given as functions of plasma density.

图5 描 述 了 在 TeV，e=3eV，pAr=3mTorr 参数条件下， 螺旋波轴向波数的实部与虚部随轴向静磁场/等离子体密度的变化关系. 图5(a)暗示， 在n0=1×1012cm-3等 离 子 体 密 度 条 件 下， 在ω/ωce≈0.2 ( B0=30G )处螺旋波开始出现回旋阻尼， 且随着轴向静磁场的减小， 回旋阻尼强度显著增 大; 当 波 频 率 ω /(2π)=1GHz 时， 在 ω/ωce≈0.8—0.9范围内开始出现回旋阻尼[28]. 图5(b)暗示， 在 B0=30G 条件下， 螺旋波在 ωpe/ωce≈100( n0=1×1012cm-3)处开始出现回旋阻尼， 且随着等离子体密度的增大， 回旋阻尼强度逐渐增大.

图6描述了 TeV，e=3eV，n0=1×1012cm-3，B0=48.4G ( ω /ωce=0.1 )，pAr=3mTorr 参数条件下， 螺旋波与TG波的径向功率沉积分布. 图6(a)显示， 对于 m =0 模， 螺旋波与TG波碰撞阻尼与Landau阻尼致使的功率沉积均在中心处取得峰值， 且TG波Landau阻尼致使的功率沉积占据主导地位; 图6(b)显示， 对于 m =1 模， 回旋阻尼与异常多普勒阻尼致使的功率沉积在中心处取得峰值， 而碰撞阻尼与Landau阻尼致使的功率沉积在偏离中心处取得峰值且占据主导地位.

图 5 螺旋波轴向波数随参量变化情况 (a)轴向波数随轴向静磁场变化; (b)轴向静磁场随等离子体密度变化Fig. 5. The axial wave number of the right hand polarized wave is given as a function of (a) axial static magnetic field and(b) plasma density.

图 6 螺旋波与TG波径向功率沉积分布 (a) m = 0 角向对称模; (b) m = 1 角向对称模Fig. 6. Radial power deposition profiles of the helicon and TG waves for: (a) m = 0 mode; (b) m = 1 mode.

图7 和图8描述了 n0=1×1012cm-3， B0=48.4 G ( ω /ωce=0.1 )，pAr=0mTorr 参 数 条 件 下，螺旋波与TG波的功率沉积随电子温度/离子温度的变化关系. 在螺旋波等离子体典型电子温度范围内， 对于 m =0 模， 图7(a)显示在 TeV，e＜0.5eV 范围内， 螺旋波和TG波碰撞阻尼致使的功率沉积占据主要地位， 而在 TeV，e＞0.5eV 范围内， 螺旋波和TG波Landau阻尼致使的功率沉积在整个功率沉积机制中占据主导地位; 对于 m =1 模， 图7(b)显示在 TeV，e＜0.5eV 范围内， TG波碰撞阻尼致使的功率沉积占据主要地位， 而在 TeV，e＞0.5eV 范围内， TG波Landau阻尼致使的功率沉积在整个功率沉积机制中占据主导地位. 另一方面， 在给定电子温度( TeV，e=1eV )条件下， 图8描述了螺旋波与TG波的功率沉积随离子温度的变化关系， 由图可知， 对于 m =0 模与 m =1 模， 离子温度的变化对螺旋波与TG波各类阻尼致使的功率沉积的影响完全可以忽略不计， 与功率沉积随电子温度变化不同的是， 在 TeV，i/TeV，e∈(0.1，10) 范围内， TG波Landau阻尼致使的功率沉积始终在整个功率沉积机制中占据主导地位. 此外， 一个重要的结论是粒子热效应的引入显著地改变了波功率沉积特性: 与仅包含碰撞效应的冷等离子体模型计算结果不同的是， 热效应的计入导致的朗道阻尼、回旋阻尼及异常多普勒阻尼为我们提供了更加清晰的波能量沉积细节特性， 即， 对于 m =0 模， 图7(a)揭示了螺旋波和TG波Landau阻尼在功率沉积中的主导地位; 而对于 m =1 模， 图7(b)则揭示了TG波Landau阻尼在功率沉积中的主导地位; 回旋阻尼与异常多普勒阻尼亦对功率沉积有所贡献， 但在当前参量条件下其占比很小.

图 7 螺旋波与TG波功率沉积随电子温度的变化关系 (a) m = 0 模; (b) m = 1 模Fig. 7. Power deposition profiles of helicon and TG waves are given as functions of electron temperature for: (a) m = 0 mode;(b) m = 1 mode.

图 8 螺旋波与TG波功率沉积随离子温度的变化关系 (a) m = 0 模; (b) m = 1 模Fig. 8. Power deposition profiles of helicon and TG waves are given as functions of ion temperature for: (a) m = 0 mode; (b) m =1 mode.

图 9 螺旋波与TG波功率沉积随轴向静磁场的变化关系 (a) m = 0 模; (b) m = 1 模Fig. 9. Power deposition profiles of helicon and TG waves are given as functions of axial static magnetic field for: (a) m = 0 mode;(b) m = 1 mode.

图9 描述了 TeV，e=3eV，n0=1×1012cm-3，pAr=3mTorr 参数条件下， 螺旋波与TG波的功率沉积在 ω /ωce∈(0.01，0.1) 范围内的变化情况. 由图9(a)可知， 对于 m =0 模， TG波Landau阻尼致使的功率沉积在整个功率沉积中占据主导地位，且随着 ω /ωce的增大这种主导特性逐渐增强; 对于m=1 模， 图9(b)表明， 在 ω /ωce∈(0.01，0.05) 范围内， 螺旋波的Landau阻尼致使功率沉积占据主导地位， 而在 ω /ωce∈(0.05，0.1) 范围内， TG波的Landau阻尼致使功率沉积占据主导地位. 这些结论表明: 对于不同角向模数， 轴向静磁场对波能量沉积影响不同; 此外我们应注意到， 相比碰撞阻尼和Landau阻尼， 回旋阻尼与异常多普勒阻尼致使的功率沉积始终很小.

图10描述了 TeV，e=3eV，B0=100G，pAr=3 mTorr参数条件下， 螺旋波与TG波的功率沉积在 ωpe/ωce∈(3，100) 范围内的变化情况. 对于螺旋波， 其功率沉积随等离子体密度的增大总体呈现上升趋势; 而对于TG波， 其功率沉积随等离子体密度的增大总体呈现下降趋势. 对于 m =0 模和m=1 模， 图10(a)和图10(b)表明TG波的功率沉积在整个功率沉积机制中占据主导地位， 更精确地说， 是TG波Landau阻尼致使的能量沉积占据主导作用; 在两个角向模式中，m =1 模在TG波L andau阻尼致使的能量沉积过程占据主导地位.

图 10 螺旋波与TG波功率沉积随等离子体密度的变化关系 (a) m = 0 模; (b) m = 1 模Fig. 10. Power deposition profiles of helicon and TG waves are given as functions of plasma density for: (a) m =0 mode; (b) m = 1 mode.

4 结 论

基于有限温度等离子体均匀填充圆柱传导边界物理模型， 在考虑粒子热效应条件下， 通过理论分析螺旋波等离子体典型参量条件下螺旋波与TG波的耦合色散特性及线性阻尼致使的能量沉积特性， 得到了一些有用的结论: 1)电子温度对螺旋波与TG波模式耦合层的位置有显著影响; 相较于TG波可在更广参量范围内传播， 螺旋波仅能在一定参量范围内传播; 2)螺旋波与TG波角向对称模( m =0 模)的碰撞阻尼与Landau阻尼致使的能量沉积均在等离子体柱中心轴处取得峰值， 而角向非对称模( m =1 角)的碰撞阻尼与Landau阻尼致使的能量沉积均在偏离中心轴处取得峰值;3)在螺旋波等离子体典型电子温度范围 TeV，e∈(3 eV， 5 eV)内， 对于 m =0 模， 螺旋波与TG波Landau阻尼致使的功率沉积占据主导地位， 而对于 m =1 角， TG波Landau阻尼致使的功率沉积占据主导地位; 4)在 ω /ωce∈(0.01，0.10) 范围内，对于 m =0 模， TG波Landau阻尼致使的功率沉积占据主导地位， 而对于 m =1 模， 螺旋波Landau阻尼或TG波Landau阻尼致使的功率沉积何者占据主导地位则取决于轴向静磁场大小; 5)在ωpe/ωce∈(3，100) 范围内， 随着等离子体密度增大，螺旋波功率沉积总体呈现上升趋势， 而TG波功率沉积总体呈现下降趋势; 对于 m =0 模和 m =1 模，TG波Landau阻尼致使的功率沉积在整个功率沉积中占据主导地位. 综上分析， 在低磁场中等密度螺旋波等离子体中， TG模Landau阻尼致使的功率沉积占据主导地位. 这些结论为我们揭示螺旋波等离子体高电离率物理机理提供了重要的线索.