素材：触发思维生发的实然张力

蒋旭良

【摘要】数学的本质问题可以概括为：数学对象能否被看成一种独立存在？在对基本数学哲学问题的思考中，我们把数学学习素材作为学生思维自然生发的现实领域，通过对教学现场“用教材”现象的审视，在实践中回归认知原点，唤醒数学思考;顺应认知规律，触发数学思维;挖掘“角落素材”，奠基数学思想。

【关键词】数学学习素材;现象规避;认知原点;认知规律;  “角落素材”

数学的本质问题可以概括为：数学对象能否被看成一种独立存在？显然，和其他任何自然科学一样，数学中很多重要概念都源于实践，或者说可以在真实的世界中找到其現实原型，它不可能是一种不依赖思维的独立存在。正如恩格斯所说：“所谓纯数学都是研究抽象的东西，它的一切数量严格来说都是想象的数量。”但实际上，内容多样的背景素材才是各项数学活动的基石，也是学生能够解决数学各类问题、在数学活动过程中获得经验、建构数学知识体系、发展数学求异思维、提高数学核心素养的基本载体，是学生感受数学与生活的各种联系、体验数学有效价值的重要资源。

【内涵诠释】

素材，是学生从现实生活中搜集获得的、未经整理加工的、感性的、分散的原始材料。在我们的解释框架中，数学学习素材，既包括数学课本上的文本、图片、物体及数量等静态的学习材料，同时又涵盖学生和老师这两个重要的课程资源。在实际的教学过程中，课程目标的实现，起关键性作用的是学生自己，学生作为个体，他的知识水平、生活体验、思维方式等都是课程、教材开发的重要素材。假如把人脑看作是发展思维的“加工厂”，那么，学生在平时生活中获得的数学素材就是“原料”，学习的结果则是“产品”，而对“产品”质量起作用的第一要素就是来自人脑外部的“原料”。合适而又有效的学习素材可以优化教学内容，有利于学生参与教学活动，形成探究式的学习方式，引发数学思考，提升学习质量。

【现象规避】

学习效率高低的关键是学习素材的效度。在平时的教学中可以发现，教师在实际教学中对如何选择和应用教学素材有着不同的认识和看法，综合分析，以下几种现象有待规避。

1.唯教材论

毫无疑问，教材中的例题是课堂教学的重点所在。客观地讲，例题就是经过精选的素材，因此，大部分教师主观上也无意去改变例题，进而在“教教材”的过程中，更多的考虑摆环节、“教”知识。实际上，所谓“教材无非是个例子”，对于教学素材的选择与应用，我们应恪守“有效第一”的原则，尽快从“教教材”走向“用教材教”。

2.唯生活论

受数学生活化的影响，部分教师认为所有的教学环节必须是与生活密切联系的，在素材的选用过程中，戴上了数学来源于生活的“帽子”，忽略了数学的本质。数学的客观性（即现实性）是数学的重要特性，但数学的结构与方法都是抽象的，牵强附会和形式主义所产生的结果只能是误导。

3.唯新颖论

为了摆脱教材桎梏，部分教师自由地修改教材提供的一些学习材料，学生在上课时基本不用或很少用到课程教材。这已然成为许多公开课的“靓丽风景”。这些教师认为只有跳出“老套套”，课才有“花头”，容易出彩，才能充分展示教师的教学功底。名曰“二度开发”，实为“舍本逐末”。著名的数学特级教师封礼珍这样讲过：“教学改革不能停留于表面形式，更应注重学生的内涵。”教师在选择和应用教学素材的同时，应该着眼于学生思维能力的发展、主体意识的唤醒和快乐情感的培养。从一个极端（唯教材）走向另一个极端（唯新颖）都不是科学的态度。

4.选择性忽略

许多教师在教学时，对于考点知识内容紧抓不放，情有独钟，而对于教材中所提供的 “你知道吗？”、习题插图等素材则选择性忽略，将其“打入冷宫”。其实，这些素材内容丰富，隐含着深刻的数学思想方法，具有很强的典型性和高度概括性，而且在呈现方式上也是生动活泼、图文并茂的，可以有效激发学生的学习兴趣，拓宽知识面，生发思维，提高数学综合素养。作为一个重要的素材领域，我们在使用教材的过程中，不可以有丝毫偏颇。

【实践考量】

学习素材是学生开始相应内容学习的引子，它不仅起着引发学生学习欲望的作用，还承担着将学生生活经验、学习背景与学习主题相连接，促进学生理解相关知识，发展学生抽象、概括等能力，生发数学思维的作用。在教学实践中，素材的选择不能仅关注其是否有趣、是否能激发学生的学习动机，还要关注其是否有利于学生思维的发展，让学生知道怎样思维，掌握如何思维。

一、回归认知原点，唤醒数学思考

1.以挑战性为起始点

数学的各项教学活动离不开学生的认知水平和已有的知识经验，应该建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。因此，教师选择的素材必须基于学生熟悉的认知现实，且具有一定的挑战性。在教学实践中，教师要熟悉学生的学习起点，避免为了很好地完成教学任务，把学生的学习起点归零，使得学生现有的知识水平与即将获得的知识之间不能实现实时链接，致使学生的思维处于被动状态，思维品质难以得到发展。

【案例辨析】 “分数的意义”教学片段

在教学五年级“分数的意义”一课，引入新课时，不同的学习素材，产生的效果大相径庭。

A教师：

把4个苹果平均分给2个小朋友，每人几个？

把2个苹果平均分给2个小朋友，每人几个？

把1个苹果平均分给2个小朋友，每人几个？

B教师：

师：知道分数吗？请你以最快的速度，任意写一个分数（生写并汇报）。

师：你写的分数表示什么意义？

生1：表示把西瓜平均切成4片，其中一片就是1∕4。

生2：表示把一个物体平均分成5份，其中的4份就是4∕5。

…………

教育心理学的研究表明，只有难度相当的素材，才能有效激发起学生的学习欲望，尝到学习成功的快乐。比较两位教师的学习素材，显然可以发现，A教师在教学过程中，没有关注学生在三年级已经初步认识了分数这样一个基本现实，完全是在按照学生认识分数的逻辑起点提供学习材料，导致素材提供过于简单，缺乏挑战性，使学生失去探索的动力，限制了学生思维的进一步发展。而B教师在组织学习的过程中，充分关注学生已有的认知基础，通过让学生自己写一个分数，并说说分数的意义，激发了学生进一步探索、认识分数的兴趣。显然这样的材料更适合学生的现实起点，对学生而言更有挑战性，更有利于激发学生富有个性的思考。因此，选择有价值的学习素材必须了解学生的学习现实、知识储备，这有利于实现学生的思维与认知水平的无缝对接，才能激活学生的思维，激发学生的学习兴趣，在有限的教学时间里让学生获得最大的收益。

2.以生活性为固着点

数学学习素材是课堂中学生学习活动的载体，是活动的物质基础。教育心理学的研究表明，只有当学习素材与学生已有的知识经验相联系时，才能激发学生学习和解决问题的兴趣，数学才是活的、富有生命力的。因此，教师在选择素材时应紧扣教学内容、贴近学生的生活实际，素材的选择应利于深化对所学内容的认识，应能使情感的体验更深刻，使探索活动更深刻。《数学新课程标准（2011版）》也强调，素材的选用应当充分考虑学生的认知水平和活动经验，在反映数学本质的前提下盡可能地贴近学生的现实，以利于他们经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程。这样的素材才能激发学生主动探索的动机，进而使学生获得对数学的理解。

【案例辨析】 “平均数”教学片段

在引入平均数概念时教师提供了以下素材。

（1）学生一组5人，一组4人进行拍球比赛。

（2）列表统计拍球结果，进行比较并宣布结果。

师：甲组获胜。（此时有不少学生轻声嘀咕不公平。）

师：为什么不公平？

生：两组人数不一样，不能这样比较。

师：怎样比较才合理呢？

在这个过程中，老师为学生提供的素材隐含了数学问题：在整体数量不相等的情况下，比较总数是不公平的，必须通过比较平均数才能反映样本的大小。学生通过上述材料发现个体比较、总数比较都是不公平的。在头脑风暴过程中，学生在不断地寻求着用其他的方法解决公平问题的策略，并力求努力地去解决它，激起了学生探索平均数的浓厚兴趣。所以，正确地把握教材的内涵，才能正确合理地选择好学习素材，让学生借助恰当的学习材料，自主探究，亲历知识的形成过程，使学生深刻地理解知识的丰富内涵，感悟数学与现实生活的密切联系。同时在探究的过程中，学生逐步掌握数学探究的方法，在自身和教材知识之间搭起了一座探究的桥梁，变“要我学”为“我要学”。

二、顺应认知规律，触发数学思维

1.以认知差异为发散点

在新课程标准中有这样的理念，不同的人在数学上可以获得不同的发展。我们认为学生的差异性是客观存在的，并且学生的差异性很强，我们不可能消除学生的各种差异性，应该让学生实现有差异和个性化的发展。当学生个体在面临不同的学习材料时，由于学生生活经验的不同，他们的选择也会有所不同。我们教师应该因材施教、因人施教，如教师一味地统一材料或统一要求，就有可能使一些学生失去探索的兴趣和信心。我们教师要为学生提供尽可能丰富的学习素材，这样学生才会有更多的选择和更大的发展空间，才有可能使每位学生都能置身于主动探索之中，实现有差异的发展，提升数学思维能力。这样的课堂学生的发展是可持续的，是具有生命力的。

【案例辨析】 “长正方形的认识”教学片段

用下面的小棒摆出不同的长方形。

教师让学生选择几根小棒，提出问题，让学生摆出不同的长方形，可以摆几种？（学生自己动手操作，教师不干预，教师巡视，然后进行反馈）

师：还有其他摆法吗？

生：我选择了两根中小棒和两根短小棒，摆成了一个长方形

…………

师：如果一位同学先选了一根中小棒，接下去可以怎样选？可能拼成什么图形？

一问激起千层浪……

教师在课堂教学中，因材施教，实施个性差异教学很重要，这样才会使学生得到个性化的发展。在这个教学片段中教师较好地处理了学习素材，对同一学习素材提出了几个不同层次的操作要求，展示了每位学生的个性化探索结果，同时教师所提出的开放性问题，思考性极强，学生的学习兴趣一下子被激发，使不同的学生可以达到不同的学习层次，获得最优的发展。开放的、多元的学习素材，给学生创造了自由思考的空间，满足了不同学生的数学学习需求，较好地体现了因材施教的思想，也有利于培养学生的空间观念，使学生的思维能力得到进一步提升，同时也把素材本身的价值发挥到了更高点。

2.以“错误”资源为生长点

学生在认知过程中，可能会出现一些不合理的想法，或者会发生错误，教师切记不要批评，可以将错就错，看看之后会发生什么情况，产生什么后果，让学生自己纠错，教师可以把学生的错误当作一种最好的教学资源。在教学过程中，我们把带有普遍性的典型错误作为课堂生成的教学素材，及时调整教学思路，引导学生讨论思辨，从而将典型错误转化成有利的学习素材，将错误幻化成美丽，使课堂成为一种灵性的课堂。

【案例辨析】 “除数是小数的除法”教学片段

学生自己独立完成课后想想做做“17.3÷4.3”这道题目，在余数这个问题上，一部分学生认为商是4，余数是1，这个知识点既是教学的难点，也是教学的重点。因此，教师可以有意识地将不同的解法板书在黑板上，通过巧妙的引导，引发学生进行争论思辨。最终学生终于统一了意见，确定余数应该是0.1，并明确了正确找到余数的关键点？

本案例中教师在选择生成性材料时，有意让学生暴露错误，让学生针对错误展开探究、争辩和交流，在精彩之处挑起不同的见解或矛盾，困惑之时给学生留足探究空间，学生主动积极地去观察、分析、思考和比较，从而发现了其中的规律，提出了自己的见解，不断张扬自己鲜活的个性，学生在交流碰撞中不断擦出思维的火花，不仅有效地提高了课堂教学效率，而且使学生的情感态度、价值观都得到了彰显。

三、挖掘“角落素材”，奠基数学思想

1.以习题插图为支撑点

教学实践中，我们经常可以发现许多老师非常重视对主题图的运用，但往往忽视习题中插图的点拨，单纯依靠学生看看说说了事，对插图的编排意图、教育功效没有进行挖掘。仔细观察苏教版教材不难发现，习题中的插图打破了学科的界限，设计了多学科知识，生活原型得到体现，为学生直观地认识、理解题意提供感性支撑，启发学生思考，发展数学思维能力。

【案例辨析】 苏教版三年级下册教材P70第8题。教材用意是借助插图，让学生初步认识小数，让学生从长度的低级单位换算成高级单位，并用分数十分之几来表示低级单位和高级单位的关系。

在教学中，当有些学生借助教材插图理解了1厘米、3厘米为什么是1分米的十分之几后，教师可以借助插图举一反三：从直尺上除了可以看到几厘米是1分米的十分之几，你还能看到什么是什么的几分之几吗？短暂的思考后，学生的回答精彩万分，有的学生想到了几毫米是1厘米的十分之几，有的想到了几分米是1米的十分之几，更有甚者想到了1厘米是1米的百分之一……

适度的拓展远远超出了教者的预想，教学素材的功效达到了最大化。

2.以“你知道吗？”为助力点

在教材中，我们时常会发现这样的一个小栏目——“你知道吗？”内容有这几个方面：数学历史、有关数学知识的介绍、生活中的数学以及生活常识与信息。其中数学史和教学内容相关的数学知识约占了七成。因其内容简单，常常成为教师忽略的角落。其实通过巧妙整合，将“你知道吗？” 纳入整个数学教学体系，可以使学生了解数学的背景知识，感受在人类文化发展中数学的积极作用，激发学生学习数学的兴趣，让学生渗透数学思想，进一步感受数学的优美。

（1）由“你知道吗？”引出数学知识。如在教材中教学“运算律和简便计算”的时候，讲述“数学王子高斯”的故事，这是个巧算求和的故事，教师可以巧设问题情境，激发学生学习的兴趣，从而让学生慢慢引出运算律和简算内容。通过利用“你知道吗？”的内容，创设趣味盎然的学习情境。学生会利用自己的好奇心，急切地、主动地想帮助小高斯解决困難，在这个过程中，学生获得数学知识，并且还经历丰富多彩的学习过程，思维得到了训练，情感也得到了培养，数学知识的学习与数学文化的熏陶有机地融为了一体。

（2）将“你知道吗？”融入新知探究。如教师在教学“探究三角形面积计算公式”时，可以在“你知道吗？”栏目中相继引入刘徽的“以盈补虚”法。学生又多掌握了一种推导方法，拓展了思维空间，发展了求异思维，还感受到古代数学发展的历史。

（3）依托“你知道吗？”开展综合实践。如结合“你知道吗？”栏目中的面积单位内容可以组织学生开展“不同的面积单位究竟有多大”的综合实践活动，积累面积单位大小的生活经验;根据“你知道吗？”栏目中的二进制内容，可以设计数学综合实践课，在帮助学生认识二进制内容的基础上，使其初步感受数学知识的建构过程，扩展了学生计数知识的结构。

四、结语

数学的本质是什么？数学是否具有客观真理性？这些数学哲学问题无疑在影响着每一位数学教师的理性思考。我们已经明确，数学对象并非不依赖思维的独立存在，而是抽象思维的产物;然而，它又有着确定的客观内容，是思维对于客观属性的反映。学习素材的选择与使用，对学生数学知识的理解和数学能力的形成影响很大。教师在教学过程中，组织不同的素材，或对相同素材的不同组织，会对学生的学习过程和学习效果产生不同的影响。因此，如何在教学中提炼学习素材，选择有利于学生思维投入的合理、有效的学习材料至关重要。只有精心选择有价值的学习素材，运用有张力的学习素材，学生的思维才会得到充分的发展，课堂也定会收获更多实效。

【参考文献】

[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M]，北京师范大学出版社，2012.

[2]孔凡海.数学建模读本[M].江苏教育出版社，1998：3-21.

[3]教育部.义务教育教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京师范大学出版社，2012：107-112.