基本几何图形在初中数学解题中的应用分析

摘 要：平面几何是初中数学的重要教学内容，也是学生后续学习立体几何的基础。随着学习的深入，几何内容的难度会逐渐增加，教学内容更加复杂。在处理复杂的几何图形问题时，学生的几何基础知识储备以及利用基础图形拆解复杂图形的能力尤为重要。通过基础的图形，学生能够将相关的知识点应用到难题的处理中，方便学生快速找到问题的切入点，高效解决复杂的几何问题。本文以苏教版初中数学为例，借助具体的几何问题梳理基本几何图形在复杂几何问题中的应用，为广大师生提供学习与解题参考。

关键词：几何图形;初中数学;基础

一、 基本图形与基本图形分析法

在幾何内容中，图形是重要的表达形式，基本几何图形就是组成图形要素的最基本但又不缺失特定性质的图形组成，如平行四边形、直角三角形、圆形等。在解决几何问题时，根据已知条件，确定基本的图形要素，借助这些基本图形的性质解决问题的思路方法就是基本图形分析法，是一种以学生对几何图形性质的准确把握与应用的思维方法。

对众多的图形要素进行归纳，可以发现初中数学的基本几何图形要素数量不多，但正是这些有限的图形组合形成很多具备较强思维要求的难题。实际上，在复杂的几何问题中，图形要素都是由很多基本图形组成的，在这种复杂的问题背景下，很多基础的几何性质就会被学生忽略。所以解决这些问题的有效方法就是确定组成图形的基本要素，借助基本图形的性质来确定问题的解决方法。

二、 基于基本图形的教学应用

（一）固定基本图形与概念原理之间的联系

在几何教学中，很多概念原理的界定都是通过基本图形实现的，因此在教学过程中，教师要充分利用这种图示化的表达。既有利于学生有效掌握原理内容，更能帮助学生养成借助基本图形去审视问题、思考问题的思维习惯，让学生一看到某些图形就能联想到相应的定理内容，一用到特定的概念原理就能想到相关的图形表达，真正实现数学原理与基本几何图形的有机融合。

例如，在讲解平行线的性质与定理时，学生应该联想到“三线八角”所包含的基本图形。在讲解圆的垂径定理时，就会联想到图1所示的图形，这个由圆和三角形、线段等基本几何要素组合的图形通过各个图形的性质界定了垂径定理的性质，是定理性质的直观化表达，这种可视化教学情境会让学生更加深入地理解定理内容。

（二）梳理归纳教学解题中常见的基本图形

几何问题千变万化，涉及的图形也各不相同，但是在教学中，教师需要引导学生从诸多的联系中归纳总结一些出现频次比较高的基本图形，这是在解决几何问题时学生能够识别或构造这些基本图形的基础。这一过程也可以提升学生的空间想象与分析推理能力。比如在《轴对称》这一章节里，综合题中一直会出现的两个等边三角形的“拉手问题”，好多题目都是由最基础的图形构成或者旋转以后形成的，好多结论都是通用的。

比如图2：已知△ABC和△CDE均为等边三角形，并且B、C、D三点共线，如图。

1. 有几对全等三角形（证一对）？

2. 除了全等得到的相等线段和相等角外，还有几对相等线段？几对相等角？请简单说明。

3. 设AD、BE交于H，请求出∠AHB的度数（你能用几种方法）。

4. 连接FG，请证明△CFG的形状及线段FG和BD的位置关系。

5. 连结CH，求证CH平分∠BHD。

还有比如在教角平分线那一节内容时，一直会出现的有关内角、外角平分线的题目，这也是比较典型、比较基础的，如果学生能够记住方法结论，那么好多题目都可以事半功倍了。

如图，直线m与直线n互相垂直，垂足为O，A、B两点同时从点O出发，点A沿直线m向左运动，点B沿直线n向上运动。

（1）若∠BAO和∠ABO的平分线相交于点P，在点A、B的运动过程中，∠APB的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值;若发生变化，请说明理由;

（2）若△ABO的两个外角的平分线AQ、BQ相交于点Q，AP的延长线交QB的延长线于点C，在点A、B的运动过程中，∠Q和∠C的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出∠Q和∠C的度数;若发生变化，请说明理由。

对于这么复杂的题目，如果同学们能够对几个基本图形熟悉的话，那么解决这类题目就会简单很多。

三、 基本图形分析法的解题实践

【案例】 如图3所示，点P为锐角MAN内的一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作圆O，与直线CP相交于D，连接AP、BD，圆O与AP相交于点E。

（1）求证∠BPD=∠BAC;

（2）连接EB、ED，当tan∠MAN=2，AB长度为25，在动点P的运动过程中，如果∠BDE=45°，试求解PD的长度。

【分析】 本题是动态问题，因一个角的变化而涉及不同线之间的关系，分层设问将三角形、圆等几何问题与三角函数、方程等代数思想方法相结合，具备一定的难度。仔细观察图形，可以发现复杂的图形都是由经典的基本图形构成的，这就为学生的求解确定了方向，通过准确阅读题意，结合已知信息与待求解的问题去拆分已知图形，通过典型的几何图形及其性质来求解。

【求解】 （1）要证明∠BPD与∠BAC相等，结合图形信息，可以发现通过全等三角形来证明这两个角相等比较困难，因此可以转换思路，直接从证明角相等入手，通过构造一个过渡角，转换求解过程。

如图4所示，将已知图形进行简化，构造常规四边形以及外角组成的基本图形。由图形信息可知，由于PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，因此就有∠ABP+∠ACP=180°，因此∠1+∠3=∠2+∠3=180°，可得∠1与∠2相等，也就是∠BPD与∠BAC相等。

（2）解决这个问题的关键是圆内部同弧所对的圆周角相等，可以得到三角形ABP为等腰直角三角形的条件，再借助勾股定理、相似三角形、三角函数等几何、代数方法构建方程进行求解。根据已知条件中的AB长度为25，tan∠MAN=2，可以联想到在图形中构造直角。

如图5所示，对图形进行简化处理，得到经典的“八字形”以及圆。因为∠BPE=∠BDE=45°，并且∠ABP为直角，因此可得△ABP是等腰直角三角形，求解得出BP与AB的长度均为25，而tan∠BPD=tan∠MAN=2，设PD长度为x，那么BD长度就为2x，问题就转变成直角三角形BPD中的勾股定理的应用，有PD2+BD2=BP2，即x2+（2x）2=（25）2，求解得到x的值为2，因此PD的长为2。

四、 结语

本文结合具体案例梳理了基本几何图形的识别与融合在解决复杂平面几何问题中的应用，加深了对初中数学几何问题的认识。在日常教学中，教师要通过强化基本几何图形在解题中的应用，通过解题实践帮助学生掌握基本几何图形的运用方式，提升学生的几何问题解题能力，为学生后续的学习与发展奠定坚实的基础。

作者简介：龚美玉，江苏省常熟市，江苏省常熟市唐市中学。