关于高中数学模型的探索与研究

摘 要：在高中数学中，根据所用到的数学知识和方法的特征，大致可以分为：1. 函数模型，2. 线性规划模型，3. 解析几何模型，4. 数列模型，5. 排列组合模型，6. 统计概率模型。在现实生活中，很多应用性的问题需要用数学模型去解决。问题的解答需要三个步骤来实现：一是分析数据或相关图形特征，二是建立恰当的数学模型，三是根据建立的数学模型解答实际问题。本文将通过一些范例来探究高中数学中常见的数学模型。

关键词：高中数学;数学模型;现实生活

在當今教育教学中，素质教育日益深入，数学建模成为转知识为能力的桥梁和纽带。用建立“数学模型”的思想方法以解决实际问题已经成为高中数学这门学科的时尚潮流，深受学生的欢迎和喜爱。

一、 函数模型

在实际生活中，常常隐含着量与量之间的变化关系，通过仔细分析变量的内涵，建立变量之间的函数关系式，利用导数知识、不等式知识等求出极值或最值，如利润、运费、产量、用料等问题，都可以考虑建立函数模型来解决。

例1 如图，某地有三家电子厂，矩形ABCD的两个顶点A，B和CD的中点P处为三家电子厂的位置，AB=20km，BC=10km。当地政府规划在该矩形范围内（含边界）且与A，B等距离的一点O处，建设一座污水处理厂来处理这三家电子厂的污水，并在AO、BO、PO位置铺设三条排污管道。怎样选择污水处理厂的位置，才能使得铺设的污水管道的总长度最短？

二、 线性规划模型

在实际问题中，常常遇到安排统筹、合理分配、最优化问题，都可以考虑建立线性规划模型来解决。

例2 某工厂生产甲种零件和乙种零件，已知生产甲零件1只需要耗A原材料1千克、B原材料2千克;生产乙零件1只需要耗A原材料2千克、B原材料1千克，每只甲零件的利润为300元，每只乙零件的利润为400元，该工厂计划生产这两种零件中，要求每天消耗A、B原材料都小于或等于12千克，通过生产计划的合理安排，每天应生产甲、乙两种零件各多少只时，该工厂获得的总利润最大？

三、 解析几何模型

对于建筑工程、力学、天文、光学、轨迹等实际问题，常常可以抽象为解析几何模型来解决。

例3 已知相距2km的两地A、B在某荒漠上，现准备在该荒漠上围成一片植物园，植物园的图形是以AB为一条对角线的平行四边形，根据规划，该植物园围栏总长度为8km，问该植物园的最大面积能达到多少？

解：平行四边形相邻两边长之和为4km，根据椭圆的定义，平行四边形另外两顶点C、D在以A、B为焦点的椭圆上。以线段AB所在直线为x轴，以线段AB的中点为原点建立如图所示的直角坐标系，则AC+BC=4，即2a=4，a=2，c=1，∴b=3，得椭圆方程为：x24+y23=1。

由于点C、D在椭圆上运动，故当点C、D在y轴上时，（S△ABCmax=3，该植物园的最大面积为23km2。

四、 数列模型

在实际问题中，像增长率、银行信贷、养老保险、工资问题等问题，可以考虑建立数列模型解决。

例4 刚刚大学毕业参加工作的小刘，想在当地购买一套价值32万的商品房，首付为7万，其余向银行按揭20年，采取分期付款方式，已知月利率为0.483%，问：小刘每月应向银行付款多少元？（精确到1元，参考数据：1.00483240≈3.1785）

答：小刘每月应向银行付款1762元。

五、 排列组合模型

排列组合在实际生活中也应用很广泛，比如抽奖问题、排队、选派任务、比赛场次等问题，可以考虑用排列组合模型解决。

例5 把5本不同的书本摆成一排，若书本A与书本B相邻，且书本A与书本C不相邻，则不同的摆法有多少种？

解：将书本A与B捆绑在一起，然后与其他三种书本进行全排列，共有A22A44种方法，将书本A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种书本进行全排列，共有A22A33种方法，故符合题意的摆法共有A22-A33=36（种）。

例6 有4名优秀教师甲、乙、丙、丁被派到A、B、C三所不同学校去支教，要求每所学校至少派到一名教师，那么不同的选派方式共有多少种？

解：如果A学校分到2名教师，则有C24×A22=12种，同理B学校分到2名教师有12种，C学校分到2名教师有12种，共有12×3=36（种）不同的选派方式。

六、 统计概率模型

在现实中，经常会碰到一些有关把握程度、可能性、选择性等问题，可以考虑用统计概率模型解决。

例7 在2年保修期内，汽车会受维修费等因素的影响，某汽车制造厂生产A、B两种品牌汽车，生产每辆汽车的利润与该汽车首次出现故障的时间有关，现从该厂已售出的两种品牌汽车中各随机抽取50辆，统计数据如下：

问：如果该厂生产的汽车都能售出，记生产一辆A品牌汽车和B品牌汽车的利润分别为x1、x2，由于该厂资金有限，只能生产其中一种品牌的汽车，如果从经济效益的角度考虑，该厂应生产哪种品牌的汽车？

解：依题意得，x1的分布列为

因为E（x1>E（x2，所以应生产A品牌汽车。

综上诸例，在数学教学中，根据学生所学知识，教师可以经常组织学生进行一些数学建模活动，以提高学生学习数学的热情，还需培养学生较好的阅读能力、理解能力，灵活运用数学符号语言去解决实际问题。通过数学建模活动，学生能够感受到数学是一门实用性很强且有趣的学科，对提高学生数学素养有很大的帮助。

作者简介：范立东，广东省梅州市，广东梅县东山中学。