基于二次函数背景，探究角度的建构策略

开远市教科所 赵宏伟

在近两年的初中数学学业水平考试压轴题中，以二次函数为背景，构造满足角度要求的直线成了新的考点.这类题目既考查锐角三角函数的应用，又考查灵活多变的构造方法，既能凸显学生的认知水平，又需要融入一些技能、技巧和方法.下面，笔者通过几个例题加以分析.

一、退守正切，构造角度

解析：由于∠BDC 是确定的角，我们需要探究一下∠BDC 的度数或它的某一三角函数值，才能方便地构造未知角.连接BC，考察△BCD 的形状.由可得点B 的坐标（4，0），由x=0 可得点C 的坐标（0，-4）.又∵点D 的坐标是（1，-5），∴BC＝，CD＝，BD＝.∴BC2＋CD2＝BD2.∴△BCD是直角三角形，tan∠BDC＝=4.要使∠MCE＝∠BDC，只需要tan∠MCE＝tan∠BDC＝4.∵点M 在线段BD 上，∴设直线BD 的解析式为y＝kx＋b.把点B，D 的坐标代入这个解析式，得解得.∴直线BD 的解析式为.设点M 的坐标为（x，）.∵∠MCD 是锐角，点C 的纵坐标为-4，∴yM

图1

方法感悟：求点M，使∠MCE＝∠BDC，可以转化为探寻∠BDC的度数，进而可以转化为探究△BCD的形状.通过推理计算，我们得到的结论为∠BCD是直角.由于∠BDC不是特殊角，于是退而守之，将原问题转化为计算∠BDC的正切值问题.在直角三角形中，一个角的正切值等于角的对边比邻边，由此可以建立等量关系，进而可以列出方程，求出相关的量，最终使原问题得以解决.

二、等腰三角形奠基，构造二倍角

图2

例2（2018·河南）如图2，抛物线y＝ax2＋6x＋c 交x 轴于A，B 两点，交y 轴于点C，直线y＝x-5 经过点B，C，过点A 的直线交直线BC 于点M.连接AC，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2 倍时，请直接写出点M 的坐标.

解析：∵直线y＝x-5 经过点B，C，∴B，C 的坐标分别是（5，0），（0，-5）.把这两个坐标代入抛物线的解析式，得解得a＝-1，c＝-5.∴抛物线的解析式为y＝-x2+6x-5.∴点A 的坐标是(1，0)，点B 的坐标是(5，0).

由构造的角度是已知角的2 倍联想到等腰三角形的顶角的外角是底角的2 倍，进而想到以∠ACB 为等腰三角形的一个底角构造等腰三角形，即可使原问题得以解决.如图3 所示，作线段AC 的中垂线，交BC 于M，连接AM，则MC＝MA，∠AMB＝2∠ACB，点M 即为所求.∵点M 在直线BC 上，∴设点M 的坐标为（x，x-5）.∵MC＝MA，∴（x－0）2＋（x－5＋5）2＝（x－1）2＋（x－5－0）2.解得x＝.此时，y=x－5＝.∴点M 的坐标是（）.

图3

由于∠ACB 是锐角，我们还需要探究是否存在两解.过A 作AH⊥BC，垂足为H.∵OB＝OC＝5，∴∠OBC＝45°，△ABH 是等腰直角三角形，H 在线段AB 的中垂线上.∴点H 在抛物线的对称轴上.∴点H 的坐标为（3，-2）.∴AM＞AH.∴在线段BC 上还存在一点M′满足条件，且M′与M 关于点H 对称，即∠AM′M＝∠AMM′＝2∠ACB.∴由对称性可得点M′的坐标（）.

方法感悟：在构造二倍角时，等腰三角形奠定了思考方向和方法.在求解压轴题时，同学们只有提高了辨析力与反思力，并进行全面探究，才能防止漏解.

三、等价转化，探寻特殊角

例3 （2019·贵州）已知抛物线y＝ax2＋bx＋3 经过点A（1，0）和点B（-3，0），与y 轴交于点C，点P 为第二象限内抛物线上的动点，如图4，点E 的坐标为（0，-1），点G 为x 轴负半轴上的一点，∠OGE=15°.连接PE，若∠PEG=2∠OGE，请求出点P 的坐标.

解析：设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x+3)=a(x2+2x-3)，比较可得-3a=3.解得a=-1.∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.∵∠OGE=15°，∴∠PEG=2∠OGE＝2×15°＝30°.∵∠OGE＝15°，∴∠OEG=75°.又∵∠PEG＝30°，∴∠PEO＝45°.设PE 交x 轴于Q，则OQ＝OE.∴点Q 的坐标是（-1，0）.∴直线PE 的解析式为y＝－x-1.由方程组得x2＋x－4＝0.解得x=.∵点P 在第二象限，∴舍去正值，保留负值，即x=.此时y=－x－1＝.∴点P 的坐标是().

图4

方法感悟：本题虽然是由特殊角转化到特殊角，但是需要由表及里，深入挖掘已知条件，认真观察图形，发现内在的等量关系.