数形结合思想方法在中学数学解题中的运用

2020-06-24章福枝钱爱林

湖北科技学院学报 2020年2期

章福枝,钱爱林

(1.咸安区实验学校,湖北咸宁 437005;2. 湖北科技学院教务处,湖北咸宁 437100)

数学思想，是数学的生命，是数学的灵魂。中学阶段常用的数学思想方法有：转化思想、类比思想、分类讨论思想、整体思想、方程思想、函数思想、数形结合思想、抽样统计思想等等。这些数学思想时时刻刻渗透于中学教学中，它是提升学生数学能力的加速器。而在这些数学思想方法中，数形结合思想举足轻重。[1～3]

数与形，本是相依倚。数无形时少直观，形少数时难入微。我国著名数学家华罗庚如是说。也就是说数学的数与形是不可分割的一个整体。正如他所言，几何代数统一体，永远联系切莫分离。

什么是数形结合思想？

数形结合思想，即通过数与形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。也就是抽象思维与形象思维的结合，以形解数，以数解形，使抽象问题具体化，复杂问题简单化，优化解题途径，方便简捷，从而使问题迎刃而解。[4]

在应用数形结合的思想方法解决中学数学问题的过程中，主要体现为以下几种具体的方法。

一、解析法[5]

所谓解析法，就是通过选择适当的坐标系，建立数与形的对立关系，进行数与形的相互转化，从而实现了问题解决的解题方法。

解析法是双面工具，一方面利用它可以把几何问题转化为代数问题，经过计算和推理，得到相关的代数结论，从而解决几何问题，即“以数解形”；另一方面利用它也可把代数问题转化为几何问题，经过观察和证明，得到相关的几何结论，从而解决代数问题，即“以形解数”。

“以数解形”，使用普遍，但是关于“以形解数”，其应用常使人觉得要碰巧才能奏效。如果我们充分地研究了代数问题的几何意义，适当地建立几何模式，那么“以形解数”还是有规律可循的。事实上，解析几何中的一些元素(例如：直线斜率、直线截距、两点间距离、点到直线的距离、点到平面的距离、定比分点坐标、三点共线的充要条件、圆、椭圆、抛物线、双曲线等)大都可以作为沟通数形关系的桥梁，实现“数”与“形”的转化，达到“以形解数”的目的，以下我们择要介绍几种“以形解数”的模式。

1.直线斜率模式[5]

[例1]，若方程|(x-1)(x-3)|=kx有四个不相同的实数根，求k的范围。

[分析]此题若用零点区分法去掉绝对值符号后再用一元二次方程的知识讨论k的范围则繁难，若考虑引进函数通过函数的图像关系求解则容易。

图1

[例2]，[6]如果数x、y满足等式(x-2)2+

图2

[简评]此类题目在近年高考试题中经常出现，其解题快法是“以形解数”——斜率模式。

2.直线截距模式

如果待解问题涉及形如a·f(t)+b·ψ(t)的式子，可转化为直线m=ax+by的形式，根据直线截距的几何意义和相关约束条件研究截距变化规律，实现问题解决。现行中学数学课本中新添的“简单的线性规划”就是采用的这种模式。另外本文再举一例说明。

[例3]，设x、y满足|x-1|+|y|=2,求x-2y的最大、最小值。

图3

[简评]此例的解法是“以形解数” ——直线截距模式,这个解法的要点有二:一是画出约束条件的图形；二是求出目标函数m=ax+by的最值。

3.两点间距离模式

图4

4.其他模式

除上述三种常用模式外，还有几种可用模式都可作为“以形解数”的工具，如：

空间两点间距离模式：

二、向量法

所谓向量法就是以向量作为沟通数与形的相互关系,进行数与形的相互转化的工具,运用向量知识求得问题解决的方法。

向量代数属于现代数学，用它来解决数学问题有时具有较突出的简化作用和较广泛的使用范围。由于向量本身兼有数与形的特征,因而它是实现数形转化的得力工具。一方面,向量具有有向线段的表达方式,通过适当解释可把形的关系式转化为向量的关系式,即把几何问题转化为向量问题,再经过对向量的化简或计算实现问题解决;另一方面,向量又具有坐标表达式,运用恰当的解释可把数的关系式转化为向量的关系式,即把代数问题转化为向量问题,再通过对向量的运算实现问题解决。