借助图形活动发展理性思维

朱卫峥

《数学课程标准（2011年版）》明确指出：数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种教学活动过程的结果。数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中不断积淀，是在数学学习过程中不断积累的。

一、经历操作，形成有条理的探究经验

小学生的思维特征决定他們侧重于亲身经历所得到的感受，动手操作能把抽象的知识转化为形象化、直观化。教师应精心设计和组织学生经历实验操作，在活动过程中获得多样的学习感受和多方面的体验信息。

1.呈现竖着/横着划分的规律

师：我们先请这个同学介绍他的发现。

生：我发现横着是4个点，有这样的4行，算式就是4×4。

师：同样是表示4个4，还可以怎样分？

生：现在是竖着看的，一列有4个点，有这样的4列，也是4个4。

2.呈现斜着划分的规律

师：我们再看看这个同学发现的规律，哦，斜着也有规律的吗？规律是什么？谁看明白了？

生：斜着分，从1个点开始，一个一个点增加，加到对角线时，再又一个一个点减少，直到一个点为止。

师：谁听明白他的意思了？（一生重复）

师：恩，这个算式蛮有意思，谁能解释？（结合点阵图将式子1+2+3+4+3+2+1中的加数与点子结合起来分析）

师：同学们再观察一下，这个最大的数就是指哪几个点？师生一起讨论算式的意思。

生：最大的数表示的是斜着的对角线上的点，它和正方形点阵横着、竖着的点的个数是一样的。（教师将“4”用不同颜色的改过来）

生：1+2+3+4+3+2+1，其实也是表示4个4

在讨论中教师示范出4个4的意思。

1+2+3+4+3+2+1

二、分析运用，积累丰富活动经验

那怎样使学生认识深刻？唯有还知识本来的面目，让学生感受知识产生过程中的挑战，激发学生学习的积极性。教师在设计教学环节时就该考虑将一个个问题的设计环环相扣，引着孩子们的思维由一汩汩细流汇聚成汪洋的一片，思维的火花在不断地碰撞中产生智慧的种子。整个过程，充满思维的灵性，学生经历了被挑战的过程，体验到了思考带来的乐趣，领悟到了数学学习的魅力！

师：同学们非常能干，从这幅点阵图中发现了3种规律，现在请用你自己发现的这些规律来研究第5幅图的规律？请把你的想法在纸上表示出来。（学生独立完成，然后同桌交流）

师：谁来介绍你是怎样研究第5幅点阵图的规律的？

学生介绍，课件显示5×5的正方形点阵，根据学生回答在课件上进行三种规律的划分，在黑板上完成板书：

25=5×5=1+2+3+4+5+4+3+2+1=1+3+5+7+9

师：三个算式，最终表示的都是？

生：有5个5的正方形点阵图，总共有25个点。

对教材知识点的深入挖掘需要我们不断地学习和反思。重视数学思想就是对“以不变应万变”的追根溯源，即方法都是从思想中得到衍生的。但是，每节课的数学思想被提炼出来以后，怎样将其从抽象的描述变为形象的表达，怎样让学生明白其精髓，怎样巧妙合理地让其在教学环节中得以凸显，这常常困扰着大家。

三、推理验证，提升理性思维

学生的思维应该是一直处于一种积极、愉悦的思考过程当中，有了积极的思考，心底才会有所感悟。其次，数学思想的渗透在现如今的数学课堂上也被提高到一个越来越重要的位置上来，而本节课力图要体现的就是在探索规律的过程中渗透数形结合的思想。

师：刚才我们已经研究了第4幅、第5幅点阵图的规律，如果是第8幅呢？你能直接用算式表示点的排列规律吗？如果有困难，你也可以借助格子图先画出第8幅正方形点阵图，再来研究。（学生思考并作业）

师：谁来说说你是如何研究的？为什么？那还有不同的规律发现吗？

生：64=8×8

=1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1

=1+3+5+7+9+11+13+15

师：大家都是这样研究的吗？你们的推理是不是正确呢？请看大屏幕，我们来验证一下。（课件演示第8幅点阵图）

师：照这样推理，第9幅正方形点阵图又会是怎样的？

1.第N幅正方形点阵图的点总共有几个呢？

生1：N×N

生2：1+2+3+…+N+…+3+2+1

生3：1+3+5+…（2N-1）

师：了不起！这可是你们初中要学习的等差数列，你都已经知道了，真的很能干！

师：那如果现在有100个点组成了一幅正方形点阵图，想象一下，会是什么样子的？

师：看到1+2+3+…+50+…+3+2+1，你想到了怎样的正方形点阵图？总共有几个点？看到1+3+5+7+9+11+13呢？1+3+5+7+…+35呢？

师：同学们真的很能干，通过研究自己发现了点阵中的3种不同规律，我们可以像这样横着、竖着、斜着、拐弯着去研究，从而列出不同的算式，但是这些方法之间也还是有联系的，它们最终表示点的个数是一致的。

师：刚才我们研究的是正方形点阵中的规律，那长方形和三角形点阵中又有怎样的规律呢？请你独立完成作业纸的第1、2两题，做好的同学可以互相交流，教师巡视。

师：同学们，今天我们通过研究点阵中的规律发现了“数与图形”之间还有这种巧妙的关系。你们的发现和两千多年前古希腊的一个伟大数学家毕达哥拉斯的想法是一致的。（课件出示图片）毕达哥拉斯对数的研究非常着迷，他认为：数不但有量的多少，而且也具有几何形状。于是，他就把数想象成小石子或者小圆点，摆成点阵图来研究。希望同学们能像毕达哥拉斯这样喜欢数学、善于思考，也成为一个伟大的数学家！

总之，数学活动经验的积累是一个长期的过程，教师是学生经验积累的开发者和引导者，因此教师要以研究者的心态，根据不同的教学内容，选择合适的教学活动，优化学生的学习活动，探寻数学活动经验在课堂教学中实施策略。学生通过各种不同方式的学习活动，才能达到对数学知识的理解与感悟，从而逐步积累，形成数学活动经验。